Задача №18113

Решить уравнение

$$\frac{7}{{\cos }^{2}x}-\frac{7\sqrt{7}}{\cos x}+10=0.$$

Решим уравнение

$$\frac{7}{{\cos }^{2}x}-\frac{7\sqrt{7}}{\cos x}+10=0.$$

Область допустимых значений. В уравнении присутствуют дроби $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ и $\frac{1}{\cos x}\text{,}$ поэтому необходимо $\cos x\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$ Это условие будем держать в уме при отборе корней.

Замена. Введём новую переменную $t=\frac{1}{\cos x}\text{.}$ Поскольку $\cos x\ne 0\text{,}$ такая замена корректна, причём из $|\cos x|\le 1$ следует ограничение

$$|t|=\frac{1}{|\cos x|}\ge 1,$$

то есть допустимы только значения $t\le -1$ или $t\ge 1\text{;}$ этим ограничением воспользуемся при обратном переходе.

Уравнение принимает вид квадратного относительно $t\text{:}$

$$7t^2-7\sqrt{7}t+10=0.$$

Решение квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:

$$D=(7\sqrt{7}{)}^2-4\cdot 7\cdot 10=49\cdot 7-280=343-280=63,\sqrt{D}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}.$$

Тогда

$$t=\frac{7\sqrt{7}\pm 3\sqrt{7}}{2\cdot 7}=\frac{\sqrt{7}(7\pm 3)}{14}.$$

Отсюда

$$t_1=\frac{\sqrt{7}\cdot 4}{14}=\frac{2\sqrt{7}}{7},t_2=\frac{\sqrt{7}\cdot 10}{14}=\frac{5\sqrt{7}}{7}.$$

Оба корня положительны и удовлетворяют требованию $t\ge 1$ (так как $t_1=\frac{2\sqrt{7}}{7}\approx 0,756$ — здесь нужно проверить аккуратнее на этапе обратного перехода; формально же оба корня вещественны, поэтому возвращаемся к переменной $x$).

Обратный переход. Вспомним, что $t=\frac{1}{\cos x}\text{,}$ значит $\cos x=\frac{1}{t}\text{.}$

Для первого корня:

$$\cos x=\frac{1}{t_1}=\frac{7}{2\sqrt{7}}=\frac{7}{2\sqrt{7}}\cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{7\sqrt{7}}{14}=\frac{\sqrt{7}}{2}.$$

Но $\frac{\sqrt{7}}{2}=\frac{2,6457\dots }{2}\approx 1,323>1\text{,}$ а косинус любого вещественного аргумента удовлетворяет $|\cos x|\le 1\text{.}$ Следовательно, уравнение $\cos x=\frac{\sqrt{7}}{2}$ не имеет решений, и корень $t_1$ посторонний (именно он соответствует недопустимому $|t_1|<1$).

Для второго корня:

$$\cos x=\frac{1}{t_2}=\frac{7}{5\sqrt{7}}=\frac{7\sqrt{7}}{35}=\frac{\sqrt{7}}{5}.$$

Здесь $\frac{\sqrt{7}}{5}\approx 0,5292\text{,}$ и $0<\frac{\sqrt{7}}{5}<1\text{,}$ поэтому уравнение разрешимо. Так как $\frac{\sqrt{7}}{5}\ne 0\text{,}$ условие ОДЗ $\cos x\ne 0$ автоматически выполнено.

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение $\cos x=\frac{\sqrt{7}}{5}\text{:}$

$$x=\pm \arccos \left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ.

$$\boxed{x=\pm \arccos \left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.}$$