Решить уравнение (7)/(cos^2 x)-(7sqrt(7))/(cos x)+10=0.

Решим уравнение (7)/(cos^2 x)-(7sqrt(7))/(cos x)+10=0. **Область допустимых значений.** В уравнении присутствуют дроби (1)/(cos^2 x) и (1)/(cos x), поэтому необходимо cos x!= 0, то есть x!= (pi)/(2)+pi n, ninZ. Это условие будем держать в уме при отборе корней. **Замена.** Введём новую переменную t=(1)/(cos x). Поскольку cos x!= 0, такая замена корректна, причём из |cos x|<= 1 следует ограничение |t|=(1)/(|cos x|)>= 1, то есть допустимы только значения t<= -1 или t>= 1; этим ограничением воспользуемся при обратном переходе. Уравнение принимает вид квадратного относительно t: 7t^2-7sqrt(7)t+10=0. **Решение квадратного уравнения.** Вычислим дискриминант: D=(7sqrt(7))^2-4* 7* 10=49* 7-280=343-280=63, sqrt(D)=sqrt(63)=3sqrt(7). Тогда t=(7sqrt(7)+- 3sqrt(7))/(2* 7)=(sqrt(7)(7+- 3))/(14). Отсюда t_1=(sqrt(7)* 4)/(14)=(2sqrt(7))/(7), t_2=(sqrt(7)* 10)/(14)=(5sqrt(7))/(7). Оба корня положительны и удовлетворяют требованию t>= 1 (так как t_1=(27)/(7)~ 0,756 — здесь нужно проверить аккуратнее на этапе обратного перехода; формально же оба корня вещественны, поэтому возвращаемся к переменной x). **Обратный переход.** Вспомним, что t=(1)/(cos x), значит cos x=(1)/(t). Для первого корня: cos x=(1)/(t_1)=(7)/(2sqrt(7))=(7)/(2sqrt(7))*(7)/(7)=(77)/(14)=(sqrt(7))/(2). Но (sqrt(7))/(2)=(2,6457)/(2)~ 1,323>1, а косинус любого вещественного аргумента удовлетворяет |cos x|<= 1. Следовательно, уравнение cos x=(7)/(2) не имеет решений, и корень t_1 посторонний (именно он соответствует недопустимому |t_1|<1). Для второго корня: cos x=(1)/(t_2)=(7)/(5sqrt(7))=(77)/(35)=(sqrt(7))/(5). Здесь (sqrt(7))/(5)~ 0,5292, и 0<(7)/(5)<1, поэтому уравнение разрешимо. Так как (7)/(5)!= 0, условие ОДЗ cos x!= 0 автоматически выполнено. Решаем простейшее тригонометрическое уравнение cos x=(sqrt(7))/(5): x=+-arccos((sqrt(7))/(5))+2pi k, kinZ. **Ответ.** x=+-arccos((sqrt(7))/(5))+2pi k, kinZ.

\(\pm\arccos\left(\frac{\sqrt{7}}{5}\right)+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\)