Задача №18114

Решить неравенство

$$\sqrt{8\cdot 16^x-\frac{1}{2}\cdot 9^x}⩽3\cdot 4^x-3^x.$$

Решим неравенство

$$\sqrt{8\cdot 16^x-\frac{1}{2}\cdot 9^x}⩽3\cdot 4^x-3^x.$$

Сведение к одной переменной. Так как $16^x=(4^x{)}^2$ и $9^x=(3^x{)}^2\text{,}$ обозначим $a=4^x>0$ и $b=3^x>0\text{.}$ Неравенство принимает вид

$$\sqrt{8a^2-\frac{1}{2}{b}^2}⩽3a-b.$$

Равносильный переход. Неравенство $\sqrt{R}⩽S$ равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}R⩾0,\\ S⩾0,\\ R⩽S^2,\end{array}$$

где $R=8a^2-\frac{1}{2}{b}^2\text{,}$ $S=3a-b\text{.}$

1) $8a^2-\frac{1}{2}{b}^2⩾0.$

2) $3a-b⩾0.$

3) Возводя в квадрат (это законно, так как $S⩾0$):

$$8a^2-\frac{1}{2}{b}^2⩽(3a-b{)}^2=9a^2-6ab+b^2,$$

то есть

$$a^2-6ab+\frac{3}{2}{b}^2⩾0.$$

Переход к параметру. Условия однородны, а $b=3^x>0\text{.}$ Делим условия 1 и 3 на $b^2\text{,}$ условие 2 на $b$ и вводим

$$t=\frac{a}{b}={\left(\frac{4}{3}\right)}^x>0.$$

Функция $t={\left(\frac{4}{3}\right)}^x$ строго возрастает (основание $>1$).

Получаем:
1) $8t^2-\frac{1}{2}⩾0⟺t⩾\frac{1}{4}$ (с учётом $t>0$);
2) $3t-1⩾0⟺t⩾\frac{1}{3}\text{;}$
3) $t^2-6t+\frac{3}{2}⩾0.$

Условие 3. Корни:

$$t_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{30}}{2}=3\pm \frac{\sqrt{30}}{2},t_1\approx 0,261,t_2\approx 5,739.$$

Парабола ветвями вверх, поэтому

$$t⩽3-\frac{\sqrt{30}}{2}\text{или}t⩾3+\frac{\sqrt{30}}{2}.$$

Пересечение. Условия 1 и 2 дают $t⩾\frac{1}{3}\text{.}$ Левая ветвь условия 3 ($t⩽0,261$) с этим несовместна; остаётся правая ветвь:

$$t⩾3+\frac{\sqrt{30}}{2}.$$

Возврат к $x\text{.}$ В силу строгого возрастания $t={\left(\frac{4}{3}\right)}^x\text{:}$

$$x⩾{\log }_{4/3}\left(3+\frac{\sqrt{30}}{2}\right)\approx 6,073.$$

Проверка границы. В точке $t_0=3+\frac{\sqrt{30}}{2}\text{:}$ $t_0^2-6t_0+\frac{3}{2}=0$ (равенство частей), при этом $8t_0^2-\frac{1}{2}>0$ и $3t_0-1>0$ — обе части определены и неотрицательны, равны; граница входит. Левее границы условие 3 нарушается.

Ответ:

$$\boxed{x\in \left[{\log }_{4/3}\left(3+\frac{\sqrt{30}}{2}\right);+\infty \right)}.$$

Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.