Решить неравенство sqrt(8* 16^x-(1)/(2)* 9^x) 3* 4^x-3^x.

Решим неравенство sqrt(8* 16^x-(1)/(2)* 9^x) 3* 4^x-3^x. **Сведение к одной переменной.** Так как 16^x=(4^x)^2 и 9^x=(3^x)^2, обозначим a=4^x>0 и b=3^x>0. Неравенство принимает вид sqrt(8a^2-(1)/(2)b^2) 3a-b. **Равносильный переход.** Неравенство sqrt(R) S равносильно системе cases R 0, S 0, R S^2,cases где R=8a^2-(1)/(2)b^2, S=3a-b. 1) 8a^2-(1)/(2)b^2 0. 2) 3a-b 0. 3) Возводя в квадрат (это законно, так как S 0): 8a^2-(1)/(2)b^2 (3a-b)^2=9a^2-6ab+b^2, то есть a^2-6ab+(3)/(2)b^2 0. **Переход к параметру.** Условия однородны, а b=3^x>0. Делим условия 1 и 3 на b^2, условие 2 на b и вводим t=(a)/(b)=((4)/(3))^x>0. Функция t=(43)^x строго возрастает (основание >1). Получаем: 1) 8t^2-12 0 t 14 (с учётом t>0); 2) 3t-1 0 t 13; 3) t^2-6t+(3)/(2) 0. **Условие 3.** Корни: t_(1,2)=(6+-sqrt(30))/(2)=3+-(sqrt(30))/(2), t_1~ 0,261, t_2~ 5,739. Парабола ветвями вверх, поэтому t 3-(sqrt(30))/(2) или t 3+(sqrt(30))/(2). **Пересечение.** Условия 1 и 2 дают t 13. Левая ветвь условия 3 (t 0,261) с этим несовместна; остаётся правая ветвь: t 3+(sqrt(30))/(2). **Возврат к x.** В силу строгого возрастания t=(43)^x: x _(4/3)(3+(sqrt(30))/(2))~ 6,073. **Проверка границы.** В точке t_0=3+(sqrt(30))/(2): t_0^2-6t_0+32=0 (равенство частей), при этом 8t_0^2-12>0 и 3t_0-1>0 — обе части определены и неотрицательны, равны; граница входит. Левее границы условие 3 нарушается. **Ответ:** xin[_(4/3)(3+(sqrt(30))/(2));+inf). *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(\left[\log_{4/3}\left(3+\dfrac{\sqrt{30}}{2}\right);+\infty\right)\)