В треугольнике ABC точка O — центр описанной окружности, точка R лежит на отрезке BC и BR=RC. Описанная около треугольника BRO окружность пересекает AB в точке T. Найдите площадь треугольника ABC, если ∠BOR=30∘, RT=8, BT=6.
Обозначим центр описанной окружности треугольника ABC через O, а его углы через A=∠BAC, B=∠ABC, C=∠BCA.
Шаг 1. Угол ∠BRO прямой. Точка R — середина стороны BC (по условию BR=RC), а O — центр описанной окружности, поэтому O лежит на серединном перпендикуляре к BC. Прямая OR проходит через O и через середину R хорды BC, значит OR⊥BC. Следовательно,
∠BRO=90∘.Шаг 2. BO — диаметр окружности (BRO), а ∠BTO=90∘. Вписанный угол ∠BRO, опирающийся на хорду BO окружности (BRO), прямой, поэтому BO — диаметр этой окружности. Точка T лежит на той же окружности, значит вписанный угол ∠BTO, также опирающийся на диаметр BO, прямой:
∠BTO=90∘,то естьOT⊥AB.Шаг 3. T — середина AB, откуда AB=12. Точка T лежит на прямой AB, которая является хордой описанной окружности треугольника ABC. Отрезок OT — перпендикуляр, опущенный из центра O на эту хорду; перпендикуляр из центра окружности на хорду делит её пополам. Значит, T — середина отрезка AB, и
AB=2BT=2⋅6=12.Шаг 4. RT — средняя линия, откуда AC=16. Точка R — середина стороны BC, а точка T — середина стороны AB (Шаг 3). Поэтому отрезок TR — средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AC, и его длина равна половине AC:
RT=2AC⟹AC=2RT=2⋅8=16.Шаг 5. Угол A равен 30∘. Найдём угол ∠OBC. В прямоугольном треугольнике BRO (прямой угол при R) дан угол ∠BOR=30∘, поэтому
∠OBR=90∘−∠BOR=90∘−30∘=60∘,а так как R лежит на отрезке BC, то ∠OBC=∠OBR=60∘.
С другой стороны, для центра описанной окружности известно стандартное соотношение ∠OBC=90∘−∠A. Действительно, центральный угол ∠BOC=2∠A (он вдвое больше вписанного угла ∠BAC, опирающегося на ту же дугу BC), а треугольник BOC равнобедренный (OB=OC как радиусы), поэтому
∠OBC=2180∘−∠BOC=2180∘−2A=90∘−A.Приравнивая, получаем
90∘−A=60∘⟹A=30∘.(Проверка непротиворечивости: при A=30∘ центральный угол ∠BOC=60∘, и в равнобедренном треугольнике BOC высота OR даёт ∠BOR=30∘ — ровно как в условии.)
Шаг 6. Площадь. Зная две стороны и угол между ними,
SABC=21⋅AB⋅AC⋅sinA=21⋅12⋅16⋅sin30∘=21⋅12⋅16⋅21=48.Итак, площадь треугольника ABC равна 48.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Мехмат МГУ (архив)