В треугольнике ABC точка O — центр описанной окружности, точка R лежит на отрезке BC и BR=RC. Описанная около треугольника BRO окружность пересекает AB в точке T. Найдите площадь треугольника ABC, если BOR=30^, RT=8, BT=6.
Обозначим центр описанной окружности треугольника ABC через O, а его углы через A= BAC, B= ABC, C= BCA. **Шаг 1. Угол BRO прямой.** Точка R — середина стороны BC (по условию BR=RC), а O — центр описанной окружности, поэтому O лежит на серединном перпендикуляре к BC. Прямая OR проходит через O и через середину R хорды BC, значит OR BC. Следовательно, BRO=90^. **Шаг 2. BO — диаметр окружности (BRO), а BTO=90^.** Вписанный угол BRO, опирающийся на хорду BO окружности (BRO), прямой, поэтому BO — диаметр этой окружности. Точка T лежит на той же окружности, значит вписанный угол BTO, также опирающийся на диаметр BO, прямой: BTO=90^, то есть OT AB. **Шаг 3. T — середина AB, откуда AB=12.** Точка T лежит на прямой AB, которая является хордой описанной окружности треугольника ABC. Отрезок OT — перпендикуляр, опущенный из центра O на эту хорду; перпендикуляр из центра окружности на хорду делит её пополам. Значит, T — середина отрезка AB, и AB=2BT=2* 6=12. **Шаг 4. RT — средняя линия, откуда AC=16.** Точка R — середина стороны BC, а точка T — середина стороны AB (Шаг 3). Поэтому отрезок TR — средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AC, и его длина равна половине AC: RT=(AC)/(2) AC=2RT=2* 8=16. **Шаг 5. Угол A равен 30^.** Найдём угол OBC. В прямоугольном треугольнике BRO (прямой угол при R) дан угол BOR=30^, поэтому OBR=90^- BOR=90^-30^=60^, а так как R лежит на отрезке BC, то OBC= OBR=60^. С другой стороны, для центра описанной окружности известно стандартное соотношение OBC=90^- A. Действительно, центральный угол BOC=2 A (он вдвое больше вписанного угла BAC, опирающегося на ту же дугу BC), а треугольник BOC равнобедренный (OB=OC как радиусы), поэтому OBC=(180^- BOC)/(2)=(180^-2A)/(2)=90^-A. Приравнивая, получаем 90^-A=60^ A=30^. (Проверка непротиворечивости: при A=30^ центральный угол BOC=60^, и в равнобедренном треугольнике BOC высота OR даёт BOR=30^ — ровно как в условии.) **Шаг 6. Площадь.** Зная две стороны и угол между ними, S_(ABC)=12* AB* AC*sin A=12* 12* 16*sin 30^=12* 12* 16*12=48. Итак, площадь треугольника ABC равна 48.
\(48\)