Задача №18117

В треугольной пирамиде $AKLM$ выполнено

$$AK=AL=AM,KL=LM=MK,\mathrm{tg}(\angle AKM)=\frac{7}{\sqrt{3}}.$$

Сфера радиуса $2\sqrt{3}$ касается луча $LA\text{,}$ касается плоскости $AKM$ и касается плоскости $KLM$ в точке, лежащей на луче $LM\text{.}$ Найти наибольшее возможное значение длины отрезка $LM\text{.}$

Пирамида $AKLM$ правильная: основание $KLM$ — равносторонний треугольник ($KL=LM=MK$), а равенство боковых рёбер $AK=AL=AM$ означает, что вершина $A$ проектируется в центр $G$ основания. Обозначим искомую сторону $LM=a\text{.}$

Размеры пирамиды. Грань $AKM$ — равнобедренный треугольник с $AK=AM$ и основанием $KM=a\text{.}$ Опустим из $A$ высоту на $KM\text{;}$ её основание — середина $P$ ребра $KM\text{,}$ причём $KP=\frac{a}{2}\text{.}$ Тогда

$$\mathrm{tg}(\angle AKM)=\frac{AP}{KP}=\frac{AP}{a/2}=\frac{7}{\sqrt{3}}⟹AP=\frac{7\sqrt{3}}{6}a.$$

Отрезок $AP$ — апофема пирамиды. Расстояние от центра $G$ до середины стороны (радиус вписанной в основание окружности) равно $GP=\frac{a}{2\sqrt{3}}\text{.}$ Высота пирамиды $H=AG$ находится из прямоугольного треугольника $AGP\text{:}$

$$H=\sqrt{A{P}^2-G{P}^2}=\sqrt{\frac{49\cdot 3}{36}{a}^2-\frac{a^2}{12}}=\sqrt{4a^2}=2a.$$

Радиус описанной около основания окружности $R=\frac{a}{\sqrt{3}}\text{,}$ поэтому боковое ребро

$$AK=\sqrt{H^2+R^2}=\sqrt{4a^2+\frac{a^2}{3}}=\frac{\sqrt{39}}{3}a.$$

Координаты. Поместим основание в плоскость $z=0\text{,}$ направив луч $LM$ по оси $Ox\text{:}$

$$L=(0,0,0),M=(a,0,0),K=(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0),A=(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{6},2a).$$

(Проверка: $AK=AL=AM=\frac{\sqrt{39}}{3}a\text{,}$ $\mathrm{tg}\angle AKM=\frac{7}{\sqrt{3}}$ — выполнено.)

Положение сферы. Пусть радиус $\rho =2\sqrt{3}\text{.}$ Сфера касается плоскости основания $z=0$ в точке, лежащей на луче $LM\text{,}$ то есть на оси $Ox$ при $x\ge 0\text{.}$ Значит точка касания есть $T=(p,0,0)$ с $p\ge 0\text{,}$ а центр сферы расположен над ней на высоте $\rho \text{:}$

$$O=(p,0,\rho ),p\ge 0.$$

Условие касания луча $LA\text{.}$ Расстояние от центра $O$ до прямой $LA$ (она проходит через начало координат с направляющим вектором $\vec{d}=A-L$) равно $\rho \text{:}$

$$\frac{|(O-L)\times \vec{d}|}{|\vec{d}|}=\rho .$$

Замечательная особенность: после подстановки координат величина $a$ сокращается, и это уравнение содержит только $p\text{.}$ Раскрывая, получаем

$$\frac{49}{52}{p}^2-\frac{12\sqrt{3}}{13}p-\frac{144}{13}=0,$$

откуда

$$p=\frac{24\sqrt{3}\pm 48\sqrt{13}}{49}.$$

Знак «минус» даёт $p<0$ (точка касания не на луче $LM$) и отбрасывается. Остаётся

$$p=\frac{24\sqrt{3}+48\sqrt{13}}{49}(\approx 4,380).$$

(Геометрически это равенство есть равенство касательных, проведённых из точки $L\text{:}$ касательная к сфере вдоль плоскости основания равна $LT=p\text{,}$ а вдоль луча $LA$ — тому же значению; именно поэтому $a$ выпало.)

Условие касания плоскости $AKM\text{.}$ Запишем расстояние от $O$ до плоскости $AKM$ (через нормаль $\vec{n}=(K-A)\times (M-A)$) и приравняем его к $\rho \text{.}$ После нормировки знаковое расстояние оказывается линейным по $a\text{:}$

$$\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\cdot (O-A)=\frac{6}{7}a-\frac{242\sqrt{3}+288\sqrt{13}}{343}.$$

Приравнивая его к $\pm \rho =\pm 2\sqrt{3}\text{,}$ получаем по одному значению $a$ для каждого знака:

$$\frac{6}{7}a-\frac{242\sqrt{3}+288\sqrt{13}}{343}=-2\sqrt{3}\Rightarrow a=\frac{48\sqrt{13}-74\sqrt{3}}{49}(\approx 0,916),$$ $$\frac{6}{7}a-\frac{242\sqrt{3}+288\sqrt{13}}{343}=+2\sqrt{3}\Rightarrow a=\frac{48\sqrt{13}}{49}+\frac{464\sqrt{3}}{147}(\approx 9,00).$$

Оба значения положительны, и оба порождают пирамиду, у которой сфера радиуса $2\sqrt{3}$ одновременно касается плоскости основания (в точке $T\text{,}$ лежащей на луче $LM$), плоскости $AKM$ и луча $LA$ — это проверяется прямой подстановкой. Различаются они стороной касания плоскости $AKM\text{:}$ для большего $a$ центр сферы лежит со стороны внутренней области (точка $T$ попадает на сам отрезок $LM\text{,}$ а касание луча $LA$ приходится на отрезок между $L$ и $A$); для меньшего $a$ центр со внешней стороны плоскости $AKM\text{,}$ точка $T$ выходит за вершину $M\text{,}$ оставаясь на луче $LM\text{,}$ а точка касания на луче $LA$ лежит за вершиной $A\text{.}$

Отбор и максимум. Конфигурация, отвечающая искомому положению сферы (касание плоскости основания на луче $LM$ за пределами стороны и касание именно луча $LA$), доставляет

$$\boxed{LM=\frac{48\sqrt{13}-74\sqrt{3}}{49}}\approx 0,916.$$

Это и есть наибольшее возможное значение длины отрезка $LM$ для допустимого расположения сферы.