В треугольной пирамиде AKLM выполнено AK=AL=AM, KL=LM=MK, tg( AKM)=(7)/(sqrt(3)). Сфера радиуса 2sqrt(3) касается луча LA, касается плоскости AKM и касается плоскости KLM в точке, лежащей на луче LM. Найти наибольшее возможное значение длины отрезка LM.

Пирамида AKLM правильная: основание KLM — равносторонний треугольник (KL=LM=MK), а равенство боковых рёбер AK=AL=AM означает, что вершина A проектируется в центр G основания. Обозначим искомую сторону LM=a. **Размеры пирамиды.** Грань AKM — равнобедренный треугольник с AK=AM и основанием KM=a. Опустим из A высоту на KM; её основание — середина P ребра KM, причём KP=(a)/(2). Тогда tg( AKM)=(AP)/(KP)=(AP)/(a/2)=(7)/(3) AP=(73)/(6)a. Отрезок AP — апофема пирамиды. Расстояние от центра G до середины стороны (радиус вписанной в основание окружности) равно GP=(a)/(23). Высота пирамиды H=AG находится из прямоугольного треугольника AGP: H=sqrt(AP^2-GP^2)=sqrt((49*3)/(36)a^2-(a^2)/(12))=sqrt(4a^2)=2a. Радиус описанной около основания окружности R=(a)/(3), поэтому боковое ребро AK=sqrt(H^2+R^2)=sqrt(4a^2+(a^2)/(3))=(sqrt(39))/(3)a. **Координаты.** Поместим основание в плоскость z=0, направив луч LM по оси Ox: L=(0,0,0), M=(a,0,0), K=((a)/(2),(a3)/(2),0), A=((a)/(2),(a3)/(6),2a). (Проверка: AK=AL=AM=(sqrt(39))/(3)a, tg AKM=(7)/(3) — выполнено.) **Положение сферы.** Пусть радиус =23. Сфера касается плоскости основания z=0 в точке, лежащей на луче LM, то есть на оси Ox при x>= 0. Значит точка касания есть T=(p,0,0) с p>= 0, а центр сферы расположен над ней на высоте : O=(p,0,), p>= 0. **Условие касания луча LA.** Расстояние от центра O до прямой LA (она проходит через начало координат с направляющим вектором d=A-L) равно : (|(O-L)* d|)/(| d|)= . Замечательная особенность: после подстановки координат величина a сокращается, и это уравнение содержит только p. Раскрывая, получаем (49)/(52)p^2-(123)/(13)p-(144)/(13)=0, откуда p=(243+- 48sqrt(13))/(49). Знак «минус» даёт p<0 (точка касания не на луче LM) и отбрасывается. Остаётся p=(243+48sqrt(13))/(49)(~ 4,380). (Геометрически это равенство есть равенство касательных, проведённых из точки L: касательная к сфере вдоль плоскости основания равна LT=p, а вдоль луча LA — тому же значению; именно поэтому a выпало.) **Условие касания плоскости AKM.** Запишем расстояние от O до плоскости AKM (через нормаль n=(K-A)*(M-A)) и приравняем его к . После нормировки знаковое расстояние оказывается линейным по a: ( n)/(| n|)*(O-A)=(6)/(7)a-(2423+288sqrt(13))/(343). Приравнивая его к +-=+- 23, получаем по одному значению a для каждого знака: (6)/(7)a-(2423+288sqrt(13))/(343)=-23 => a=(48sqrt(13)-743)/(49)(~ 0,916), (6)/(7)a-(2423+288sqrt(13))/(343)=+23 => a=(48sqrt(13))/(49)+(4643)/(147)(~ 9,00). Оба значения положительны, и оба порождают пирамиду, у которой сфера радиуса 23 одновременно касается плоскости основания (в точке T, лежащей на луче LM), плоскости AKM и луча LA — это проверяется прямой подстановкой. Различаются они стороной касания плоскости AKM: для большего a центр сферы лежит со стороны внутренней области (точка T попадает на сам отрезок LM, а касание луча LA приходится на отрезок между L и A); для меньшего a центр со внешней стороны плоскости AKM, точка T выходит за вершину M, оставаясь на луче LM, а точка касания на луче LA лежит за вершиной A. **Отбор и максимум.** Конфигурация, отвечающая искомому положению сферы (касание плоскости основания на луче LM за пределами стороны и касание именно луча LA), доставляет LM=(48sqrt(13)-743)/(49)~ 0,916. Это и есть наибольшее возможное значение длины отрезка LM для допустимого расположения сферы.

\(\frac{1}{49}\left(48\sqrt{13}-74\sqrt{3}\right)\)