Решить систему cases_3 18sin x-_3 3y+|_3cos x-_3 3y|=1, (1)/(4)(x-(pi)/(4))^2+(1)/(3y^2) 1.cases

Рассмотрим систему cases_3 18sin x-_3 3y+|_3cos x-_3 3y|=1, (1)/(4)(x-(pi)/(4))^2+(1)/(3y^2) 1.cases **Область допустимых значений.** В первом уравнении стоят логарифмы _3(18sin x), _3(3y) и _3(cos x), поэтому необходимо 18sin x>0, 3y>0, cos x>0, то есть sin x>0, cos x>0 и y>0. Значит, точка x лежит (с точностью до периода) в первой четверти, где одновременно sin x>0 и cos x>0; при этом y>0. **Преобразование первого уравнения.** Введём обозначения A=_3 18sin x-_3 3y=_3(18sin x)/(3y)=_3(6sin x)/(y), B=_3cos x-_3 3y=_3(cos x)/(3y). Уравнение принимает вид A+|B|=1. Раскроем модуль по знаку B. **Случай 1: B 0, то есть cos x 3y.** Тогда |B|=B и A+B=_3(6sin x)/(y)+_3(cos x)/(3y)=_3(6sin xcos x)/(3y^2)=_3(sin 2x)/(y^2). Уравнение _3(sin 2x)/(y^2)=1 равносильно sin 2x=3y^2, откуда (1)/(3y^2)=(1)/(sin 2x). Подставим это во второе (ограничивающее) неравенство системы: (1)/(4)(x-(pi)/(4))^2+(1)/(sin 2x) 1. Так как x лежит в первой четверти, 0<2x<pi и 0<sin 2x 1, поэтому (1)/(sin 2x) 1. Кроме того 14(x-4)^2 0. Следовательно левая часть не меньше 1, и неравенство возможно лишь как равенство, причём одновременно (x-(pi)/(4))^2=0 и sin 2x=1, то есть x=(pi)/(4). Тогда sin 2x=1, y^2=(sin 2x)/(3)=13, y=(1)/(3), и 3y=3. Проверим условие случая cos x 3y: cos(pi)/(4)=(2)/(2)~0,707, 3y=3~1,732, так что cos x 3y не выполнено. Полученная точка не удовлетворяет условию случая 1, значит **случай 1 решений не даёт**. (Заметим попутно общий вид условия случая 1: подставляя 3y=sqrt(3sin 2x)=sqrt(6sin xcos x) в неравенство cos x 3y и возводя в квадрат при cos x>0, получаем cos^2 x 6sin xcos x, то есть tgx16; но неравенство системы заставляет x=(pi)/(4), где tgx=1>16 — противоречие.) **Случай 2: B<0, то есть cos x<3y.** Тогда |B|=-B и A-B=_3(6sin x)/(y)-_3(cos x)/(3y)=_3((6sin x)/(y)*(3y)/(cos x))=_3(18sin x)/(cos x)=_3(18tgx). Уравнение _3(18tgx)=1 равносильно 18tgx=3, то есть tgx=(1)/(6). Так как sin x>0 и cos x>0, отсюда x=arctg(1)/(6) (значение в первой четверти). Существенно, что в этом случае переменная y из уравнения выпала: при любом y, для которого выполнено условие случая cos x<3y, первое уравнение системы обращается в верное равенство. Для x_0=arctg16 имеем cos x_0=(6)/(sqrt(37)), поэтому условие случая cos x_0<3y означает y>(2)/(sqrt(37))~0,329. Как увидим, оно автоматически следует из ограничивающего неравенства, поэтому отдельного ограничения не добавит. **Учёт второго неравенства.** При x=x_0=arctg16 неравенство системы даёт (1)/(3y^2) 1-(1)/(4)(x_0-(pi)/(4))^2. Обозначим C=1-(1)/(4)(arctg16-(pi)/(4))^2. Поскольку |x_0-4|<2, имеем 14(x_0-4)^2<1, то есть C>0. При y>0 и C>0 неравенство равносильно 3y^2(1)/(C) y^2(1)/(3C) y(1)/(sqrt(3C))=(3C)^(-1/2). То есть y(3(1-14(arctg16-(pi)/(4))^2))^(-1/2). Численно C~0,9038 и нижняя граница (3C)^(-1/2)~0,6073. Эта граница больше, чем требование случая y>0,329, поэтому условие cos x_0<3y выполнено для всех допустимых y. Других ограничений на y нет. **Ответ.** Система имеет бесконечное семейство решений x=arctg(1)/(6), y(3(1-14(arctg16-(pi)/(4))^2))^(-1/2) (численно x~0,1651, y0,6073).

\(\left\{\left(\operatorname{arctg}\frac{1}{6},\ y\right),\ \text{где}\ y\geqslant\left(3\left(1-\frac{1}{4}\left(\operatorname{arctg}\frac{1}{6}-\frac{\pi}{4}\right)^2\right)\right)^{-1/2}\right\}\)