Задача №18116

Решить систему

$$\{\begin{array}{l}{\log }_{3}18\sin x-{\log }_{3}3y+\left|{\log }_3\cos x-{\log }_{3}3y\right|=1,\\ \frac{1}{4}{\left(x-\frac{\pi }{4}\right)}^2+\frac{1}{3y^2}⩽1.\end{array}$$

Рассмотрим систему

$$\{\begin{array}{l}{\log }_{3}18\sin x-{\log }_{3}3y+\left|{\log }_3\cos x-{\log }_{3}3y\right|=1,\\ \frac{1}{4}{\left(x-\frac{\pi }{4}\right)}^2+\frac{1}{3y^2}⩽1.\end{array}$$

Область допустимых значений. В первом уравнении стоят логарифмы ${\log }_3(18\sin x)\text{,}$ ${\log }_3(3y)$ и ${\log }_3(\cos x)\text{,}$ поэтому необходимо

$$18\sin x>0,3y>0,\cos x>0,$$

то есть $\sin x>0\text{,}$ $\cos x>0$ и $y>0\text{.}$ Значит, точка $x$ лежит (с точностью до периода) в первой четверти, где одновременно $\sin x>0$ и $\cos x>0\text{;}$ при этом $y>0\text{.}$

Преобразование первого уравнения. Введём обозначения

$$A={\log }_{3}18\sin x-{\log }_{3}3y={\log }_3\frac{18\sin x}{3y}={\log }_3\frac{6\sin x}{y},$$ $$B={\log }_3\cos x-{\log }_{3}3y={\log }_3\frac{\cos x}{3y}.$$

Уравнение принимает вид $A+\left|B\right|=1\text{.}$ Раскроем модуль по знаку $B\text{.}$

Случай 1: $B⩾0\text{,}$ то есть $\cos x⩾3y\text{.}$ Тогда $\left|B\right|=B$ и

$$A+B={\log }_3\frac{6\sin x}{y}+{\log }_3\frac{\cos x}{3y}={\log }_3\frac{6\sin x\cos x}{3y^2}={\log }_3\frac{\sin 2x}{y^2}.$$

Уравнение ${\log }_3\frac{\sin 2x}{y^2}=1$ равносильно $\sin 2x=3y^2\text{,}$ откуда $\frac{1}{3y^2}=\frac{1}{\sin 2x}\text{.}$

Подставим это во второе (ограничивающее) неравенство системы:

$$\frac{1}{4}{\left(x-\frac{\pi }{4}\right)}^2+\frac{1}{\sin 2x}⩽1.$$

Так как $x$ лежит в первой четверти, $0<2x<\pi$ и $0<\sin 2x⩽1\text{,}$ поэтому $\frac{1}{\sin 2x}⩾1\text{.}$ Кроме того $\frac{1}{4}{\left(x-\frac{\pi }{4}\right)}^2⩾0\text{.}$ Следовательно левая часть не меньше $1\text{,}$ и неравенство возможно лишь как равенство, причём одновременно

$${\left(x-\frac{\pi }{4}\right)}^2=0\text{и}\sin 2x=1,$$

то есть $x=\frac{\pi }{4}\text{.}$ Тогда $\sin 2x=1\text{,}$ $y^2=\frac{\sin 2x}{3}=\frac{1}{3}\text{,}$ $y=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{,}$ и $3y=\sqrt{3}\text{.}$ Проверим условие случая $\cos x⩾3y\text{:}$

$$\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707,3y=\sqrt{3}\approx 1,732,$$

так что $\cos x⩾3y$ не выполнено. Полученная точка не удовлетворяет условию случая 1, значит случай 1 решений не даёт.

(Заметим попутно общий вид условия случая 1: подставляя $3y=\sqrt{3\sin 2x}=\sqrt{6\sin x\cos x}$ в неравенство $\cos x⩾3y$ и возводя в квадрат при $\cos x>0\text{,}$ получаем ${\cos }^{2}x⩾6\sin x\cos x\text{,}$ то есть $\mathrm{tg}x⩽\frac{1}{6}\text{;}$ но неравенство системы заставляет $x=\frac{\pi }{4}\text{,}$ где $\mathrm{tg}x=1>\frac{1}{6}$ — противоречие.)

Случай 2: $B<0\text{,}$ то есть $\cos x<3y\text{.}$ Тогда $\left|B\right|=-B$ и

$$A-B={\log }_3\frac{6\sin x}{y}-{\log }_3\frac{\cos x}{3y}={\log }_3\left(\frac{6\sin x}{y}\cdot \frac{3y}{\cos x}\right)={\log }_3\frac{18\sin x}{\cos x}={\log }_3(18\mathrm{tg}x).$$

Уравнение ${\log }_3(18\mathrm{tg}x)=1$ равносильно $18\mathrm{tg}x=3\text{,}$ то есть

$$\mathrm{tg}x=\frac{1}{6}.$$

Так как $\sin x>0$ и $\cos x>0\text{,}$ отсюда $x=\mathrm{arctg}\frac{1}{6}$ (значение в первой четверти). Существенно, что в этом случае переменная $y$ из уравнения выпала: при любом $y\text{,}$ для которого выполнено условие случая $\cos x<3y\text{,}$ первое уравнение системы обращается в верное равенство.

Для $x_0=\mathrm{arctg}\frac{1}{6}$ имеем $\cos x_0=\frac{6}{\sqrt{37}}\text{,}$ поэтому условие случая $\cos x_0<3y$ означает $y>\frac{2}{\sqrt{37}}\approx 0,329\text{.}$ Как увидим, оно автоматически следует из ограничивающего неравенства, поэтому отдельного ограничения не добавит.

Учёт второго неравенства. При $x=x_0=\mathrm{arctg}\frac{1}{6}$ неравенство системы даёт

$$\frac{1}{3y^2}⩽1-\frac{1}{4}{\left(x_0-\frac{\pi }{4}\right)}^2.$$

Обозначим $C=1-\frac{1}{4}{\left(\mathrm{arctg}\frac{1}{6}-\frac{\pi }{4}\right)}^2\text{.}$ Поскольку $\left|x_0-\frac{\pi }{4}\right|<2\text{,}$ имеем $\frac{1}{4}{\left(x_0-\frac{\pi }{4}\right)}^2<1\text{,}$ то есть $C>0\text{.}$ При $y>0$ и $C>0$ неравенство равносильно

$$3y^2⩾\frac{1}{C}⟺y^2⩾\frac{1}{3C}⟺y⩾\frac{1}{\sqrt{3C}}=(3C{)}^{-1/2}.$$

То есть

$$y⩾{\left(3\left(1-\frac{1}{4}{\left(\mathrm{arctg}\frac{1}{6}-\frac{\pi }{4}\right)}^2\right)\right)}^{-1/2}.$$

Численно $C\approx 0,9038$ и нижняя граница $(3C{)}^{-1/2}\approx 0,6073\text{.}$ Эта граница больше, чем требование случая $y>0,329\text{,}$ поэтому условие $\cos x_0<3y$ выполнено для всех допустимых $y\text{.}$ Других ограничений на $y$ нет.

Ответ. Система имеет бесконечное семейство решений

$$\boxed{x=\mathrm{arctg}\frac{1}{6},y⩾{\left(3\left(1-\frac{1}{4}{\left(\mathrm{arctg}\frac{1}{6}-\frac{\pi }{4}\right)}^2\right)\right)}^{-1/2}}$$

(численно $x\approx 0,1651\text{,}$ $y⩾0,6073$).