58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T127a,Требуется найти все целочисленные решения неравенства \[ \sqrt{x^3-5x-3}\leqslant 6-x. \] **Область определения и необходимые условия.** Левая часть определена и неотрицательна лишь там, где подкоренное выражение неотрицательно: \[ x^3-5x-3\geqslant 0. \tag{1} \] Поскольку при этом $\sqrt{x^3-5x-3}\geqslant 0$, для выполнения неравенства правая часть тоже обязана быть неотрицательной: \[ 6-x\geqslant 0,\qquad\text{то есть}\qquad x\leqslant 6. \tag{2} \] При условиях (1) и (2) обе части неотрицательны, и неравенство равносильно неравенству, полученному возведением в квадрат: \[ x^3-5x-3\leqslant (6-x)^2. \tag{3} \] Итак, исходное неравенство равносильно системе условий (1), (2), (3). **Анализ условия (3).** Раскроем правую часть: $(6-x)^2=x^2-12x+36$. Перенесём всё влево: \[ x^3-5x-3-(x^2-12x+36)\leqslant 0, \] \[ x^3-x^2+7x-39\leqslant 0. \] Кубический многочлен слева имеет очевидный корень $x=3$ (так как $27-9+21-39=0$). Делением получаем разложение \[ x^3-x^2+7x-39=(x-3)\left(x^2+2x+13\right). \] Квадратный трёхчлен $x^2+2x+13=(x+1)^2+12>0$ положителен при всех $x$ (его дискриминант равен $4-52=-48<0$). Поэтому знак произведения совпадает со знаком множителя $x-3$, и неравенство $(x-3)\bigl((x+1)^2+12\bigr)\leqslant 0$ равносильно условию \[ x\leqslant 3. \tag{3'} \] Заметим, что условие $x\leqslant 3$ автоматически влечёт условие (2) $x\leqslant 6$, так что (2) можно отбросить. **Анализ условия (1).** Рассмотрим функцию $g(x)=x^3-5x-3$. Найдём её корни. Подбором рациональных корней (делители свободного члена) корней нет, поэтому исследуем знак численно. Вычислим значения: \[ g(-2)=-8+10-3=-1<0,\qquad g(-1)=-1+5-3=1>0, \] \[ g(0)=-3<0,\qquad g(2)=8-10-3=-5<0,\qquad g(3)=27-15-3=9>0. \] Так как $g$ непрерывна, перемены знака дают три действительных корня $x_10$, $y>0$, а также чтобы основания были положительны и отличны от единицы. Основания $\dfrac{x}{y}$ и $\dfrac{y}{x}$ при $x,y>0$ положительны автоматически, а условие, что они не равны $1$, означает $x\neq y$, то есть $p\neq q$. Основание $\sqrt{y}$ требует $y>0$, $y\neq 1$, то есть $q\neq 0$. При этих ограничениях по формуле перехода к новому основанию все логарифмы выражаются через $p$ и $q$. **Преобразование условия.** Имеем \[\log_{x/y} x^9=\frac{\ln x^9}{\ln\frac{x}{y}}=\frac{9p}{p-q},\qquad \log_{\sqrt{y}}\frac{y}{x}=\frac{\ln\frac{y}{x}}{\ln\sqrt{y}}=\frac{q-p}{\tfrac12 q}=\frac{2(q-p)}{q}.\] Условие $\log_{x/y} x^9=\log_{\sqrt{y}}\dfrac{y}{x}$ принимает вид \[\frac{9p}{p-q}=\frac{2(q-p)}{q}.\] Поскольку $p\neq q$ и $q\neq 0$, на знаменатели умножать можно. Удобно ввести отношение $t=\dfrac{q}{p}$ (заметим, что $p\neq 0$: если бы было $p=0$, то левая часть равнялась бы $0$, а правая — $\dfrac{2q}{q}=2\neq 0$, противоречие). Разделив числитель и знаменатель на $p$, получаем \[\frac{9}{1-t}=\frac{2(t-1)}{t}=-\frac{2(1-t)}{t}.\] Умножая обе части на $t(1-t)$, приходим к \[9t=-2(1-t)^2,\qquad\text{то есть}\qquad 2(1-t)^2+9t=0.\] Раскрывая скобки, $2-4t+2t^2+9t=0$, то есть \[2t^2+5t+2=0\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{-5\pm\sqrt{25-16}}{4}=\frac{-5\pm 3}{4},\] откуда $t=-2$ или $t=-\dfrac12$. Оба значения допустимы: $t\neq 1$ (тогда $p\neq q$) и $t\neq 0$ (тогда $q\neq 0$). Например, относительно подходят пары $y=x^{-2}$ при $x=3$ (тогда $y=\tfrac19$) и $y=x^{-1/2}$ при $x=4$ (тогда $y=\tfrac12$) — для них $x,y>0$, $x\neq y$, $y\neq 1$, так что искомые $x,y$, удовлетворяющие условию, действительно существуют. **Вычисление искомого выражения.** Обозначим \[u=\log_{x/y} x=\frac{p}{p-q},\qquad v=\log_{y/x} y=\frac{q}{q-p}.\] Заметим важное тождество: при любых допустимых $x,y$ \[u+v=\frac{p}{p-q}+\frac{q}{q-p}=\frac{p}{p-q}-\frac{q}{p-q}=\frac{p-q}{p-q}=1.\] Значит, искомая сумма квадратов выражается через $u+v$ и произведение $uv$: \[u^2+v^2=(u+v)^2-2uv=1-2uv.\] Через $t=\dfrac{q}{p}$ имеем $u=\dfrac{1}{1-t}$ и $v=\dfrac{t}{t-1}=-\dfrac{t}{1-t}$, поэтому \[uv=-\frac{t}{(1-t)^2}.\] Подставим найденные значения $t$. При $t=-2$: \[uv=-\frac{-2}{(1-(-2))^2}=\frac{2}{9},\] а при $t=-\dfrac12$: \[uv=-\frac{-\tfrac12}{\left(1+\tfrac12\right)^2}=\frac{\tfrac12}{\tfrac94}=\frac{2}{9}.\] В обоих случаях $uv=\dfrac29$ (это естественно: замена $t\mapsto 1/t$ меняет местами оба корня и одновременно меняет местами $u$ и $v$, не затрагивая симметричное выражение). Следовательно, \[\log^2_{x/y} x+\log^2_{y/x} y=u^2+v^2=1-2\cdot\frac{2}{9}=1-\frac{4}{9}=\boxed{\dfrac{5}{9}}.\] Таким образом, при выполнении условия искомое выражение равно $\dfrac{5}{9}$ независимо от того, какая из двух связей между $x$ и $y$ реализуется.5d:T1225,Точки $A$, $B$, $D$, $E$ лежат на одной окружности, поэтому четырёхугольник $ABDE$ вписанный. Точки расположены так: $D$ — на стороне $BC$, $E$ — на стороне $AC$, так что прямые $CB$ и $CA$ пересекают окружность вторично в $D$ и $E$. **Подобие треугольников $CDE$ и $CAB$.** У вписанного четырёхугольника $ABDE$ сумма противоположных углов равна $180^\circ$, значит $\angle BDE+\angle BAE=180^\circ$. Но точки $C$, $D$, $B$ лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle CDE$ смежен с $\angle BDE$: \[\angle CDE=180^\circ-\angle BDE=\angle BAE=\angle BAC=\angle A.\] В треугольниках $CDE$ и $CAB$ угол при вершине $C$ общий, а $\angle CDE=\angle CAB=\angle A$. Следовательно, треугольники подобны с соответствием вершин $C\to C$, $D\to A$, $E\to B$: \[\triangle CDE\sim\triangle CAB,\qquad k=\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{DE}{AB}.\] **Нахождение $DE$.** Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[\dfrac{S_{CDE}}{S_{CAB}}=k^{2}.\] Четырёхугольник $ABDE$ дополняет треугольник $CDE$ до треугольника $CAB$ (он отсекается от $CAB$ хордой $DE$), поэтому \[S_{ABDE}=S_{CAB}-S_{CDE}=S_{CAB}\bigl(1-k^{2}\bigr).\] По условию площадь $CDE$ в $7$ раз меньше площади $ABDE$, то есть $S_{CDE}=\dfrac{1}{7}\,S_{ABDE}$, откуда \[\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABDE}}=\dfrac{k^{2}}{1-k^{2}}=\dfrac{1}{7}.\] Решаем: $7k^{2}=1-k^{2}$, значит $8k^{2}=1$ и $k^{2}=\dfrac{1}{8}$, то есть $k=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$. Тогда \[DE=k\cdot AB=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\cdot 4=\dfrac{4}{2\sqrt{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.\] **Нахождение радиуса.** Хорды $AB$ и $DE$ лежат на одной (искомой) окружности. Обозначим вписанный угол, опирающийся на хорду $DE$, через $\varphi=\angle DAE$ (вершина $A$ на окружности). По теореме синусов для окружности радиуса $R$: \[DE=2R\sin\varphi,\qquad AB=2R\sin\angle AEB,\] где $\angle AEB$ — вписанный угол, опирающийся на хорду $AB$ (вершина $E$ на окружности). Свяжем эти два угла. Точки $A$, $E$, $C$ лежат на одной прямой ($E$ на стороне $AC$), поэтому углы $\angle AEB$ и $\angle BEC$ смежные, и из треугольника $BEC$ (в нём $\angle BCE=\angle C=45^\circ$): \[\angle AEB=180^\circ-\angle BEC=180^\circ-\bigl(180^\circ-\angle C-\angle EBC\bigr)=\angle C+\angle EBC.\] Далее, точка $D$ лежит на луче $BC$, поэтому $\angle EBC=\angle EBD=\angle DBE$; а вписанные углы $\angle DBE$ и $\angle DAE$, опирающиеся на одну хорду $DE$ с одной стороны от неё, равны: \[\angle EBC=\angle DBE=\angle DAE=\varphi.\] Итак, \[\angle AEB=\angle C+\varphi=45^\circ+\varphi.\] Подставляя в формулы хорд и учитывая $DE=k\cdot AB$, получаем \[\dfrac{DE}{AB}=k=\dfrac{\sin\varphi}{\sin(\varphi+45^\circ)},\qquad k=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.\] Раскроем синус суммы: \[\sin\varphi=k\bigl(\sin\varphi\cos45^\circ+\cos\varphi\sin45^\circ\bigr).\] Так как $\cos45^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}$, а $k\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{1}{2\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac14$, приходим к \[\sin\varphi=\tfrac14\sin\varphi+\tfrac14\cos\varphi\ \Longrightarrow\ \tfrac34\sin\varphi=\tfrac14\cos\varphi\ \Longrightarrow\ \tan\varphi=\dfrac{1}{3}.\] Угол $\varphi$ острый, поэтому \[\sin\varphi=\dfrac{1}{\sqrt{1+3^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}.\] Наконец, из $DE=2R\sin\varphi$: \[R=\dfrac{DE}{2\sin\varphi}=\dfrac{\sqrt{2}}{2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{10}}}=\dfrac{\sqrt{2}\,\sqrt{10}}{2}=\dfrac{\sqrt{20}}{2}=\dfrac{2\sqrt5}{2}=\sqrt{5}.\] **Ответ:** $DE=\sqrt{2}$, радиус окружности $R=\sqrt{5}$.5e:T196f,**Область определения.** В правой части стоит $\operatorname{ctg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$, поэтому требуется $\sin x\neq 0$, то есть $x\neq \pi n,\ n\in\mathbb{Z}$. На отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{22\pi}{3}\right]$ это исключает точки $x=\pi,2\pi,3\pi,4\pi,5\pi,6\pi,7\pi$. **Преобразование уравнения.** Обозначим левую часть $f(x)=\cos x-\sin 2x+\sin 4x$. Сгруппируем синусы по формуле разности: \[\sin 4x-\sin 2x=2\cos 3x\,\sin x,\] поэтому \[f(x)=\cos x+2\cos 3x\,\sin x.\] Преобразуем теперь скобку в правой части, приведя её к общему знаменателю $\sin x$: \[\operatorname{ctg}x+2\cos 3x=\frac{\cos x}{\sin x}+2\cos 3x=\frac{\cos x+2\cos 3x\,\sin x}{\sin x}=\frac{f(x)}{\sin x}.\] Значит, при условии $\sin x\neq 0$ исходное уравнение принимает вид \[f(x)=a\cdot\frac{f(x)}{\sin x}\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)\left(1-\frac{a}{\sin x}\right)=0\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)\cdot\frac{\sin x-a}{\sin x}=0.\] Так как $\sin x\neq 0$, уравнение равносильно совокупности \[\boxed{\,f(x)=0\quad\text{или}\quad \sin x=a\,.}\] **Ветвь $f(x)=0$ (не зависит от $a$).** Разложим $f$ на множители, представив всё через $\sin x$ и $\cos x$: \[f(x)=\cos x+2\cos 3x\,\sin x=-\cos x\,\bigl(8\sin^{3}x-2\sin x-1\bigr).\] Отсюда $f(x)=0$ распадается на: - $\cos x=0$, то есть $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$ (здесь $\sin x=\pm 1\neq 0$ — ОДЗ выполнено); - $8\sin^{3}x-2\sin x-1=0$. Этот кубический по $t=\sin x$ многочлен имеет ровно один действительный корень $t=s_{0}\approx 0{,}6624\in(-1;1)$, значит даёт серию решений $\sin x=s_{0}$. Важно лишь то, что **вся ветвь $f(x)=0$ от параметра $a$ не зависит**: соответствующие корни на отрезке присутствуют при любом значении $a$, и их сумма — постоянная величина. На отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{22\pi}{3}\right]$ это: - 6 корней $\cos x=0$: $\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2},\dfrac{7\pi}{2},\dfrac{9\pi}{2},\dfrac{11\pi}{2},\dfrac{13\pi}{2}$ с суммой $24\pi$; - 7 корней $\sin x=s_{0}$ с фиксированной суммой $\approx 27{,}77\pi$. **Ветвь $\sin x=a$ (зависит от $a$).** Поскольку сумма корней первой ветви постоянна, наибольшую сумму всех корней даёт то значение $a$, при котором максимальна сумма корней уравнения $\sin x=a$ на отрезке (при $a=0$ эта ветвь запрещена ОДЗ, но $a=0$ и так не оптимально). Пусть $b=\arcsin a\in\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$. Корни $\sin x=a$ — это две серии $x=b+2\pi k$ и $x=\pi-b+2\pi k$. Прямой подсчёт того, какие из них попадают в $\left[\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{22\pi}{3}\right]$, даёт следующую картину суммы $S(a)$ корней этой ветви: | $a$ | $b=\arcsin a$ | число корней | сумма $S(a)$ | |---|---|---|---| | $-1\le a<-\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $-\dfrac{\pi}{2}\le b<-\dfrac{\pi}{3}$ | 6 | $21\pi$ (постоянна) | | $-\dfrac{\sqrt3}{2}\le a\le \dfrac{\sqrt2}{2}$ | $-\dfrac{\pi}{3}\le b\le \dfrac{\pi}{4}$ | 7 | $28\pi-b$ | | $\dfrac{\sqrt2}{2}0,\] поэтому \(s$ монотонно возрастает: от $s=0$ при $t=0$ (точка $K$ совпадает с $A$) до \[s_{\max}=\frac{1}{3(5+14)}=\frac{1}{57}\quad\text{при } t=1\ (K=A').\] Так как $0\le s\le \dfrac{1}{57}<1$, точка пересечения всегда попадает внутрь ребра $AB$ (или в его конец $A$ при $t=0$). Итак, плоскость пересекает ребро $AB$. **Пересечение с ребром $AD$.** Точки ребра $AD$ имеют вид $(0,u,0)$, $u\in[0;1]$. Подставляя $x=0,\ z=0$: \[-\left(\tfrac{t}{3}+1\right)u=\tfrac{t}{60}\ \Longrightarrow\ u=-\frac{t}{20t+60}.\] При $t>0$ получаем $u<0$, то есть точка пересечения прямой $AD$ с плоскостью лежит вне отрезка $AD$ (по другую сторону от вершины $A$). Значит, ребро $AD$ плоскость не пересекает (лишь при $t=0$ плоскость проходит через сам $A$). Таким образом, из двух рёбер пересекается именно $AB$. **Отношение деления.** Пусть $P$ — точка пересечения с ребром $AB$; тогда $AP=s=\dfrac{t}{3(5t+14)}$, $PB=1-s$, и отношение \[\frac{AP}{PB}=\frac{s}{1-s}=\frac{t}{14(t+3)}.\] Эта величина при $t\in[0;1]$ тоже монотонно возрастает (её производная $\dfrac{3}{14(t+3)^2}>0$): от $0$ при $t=0$ до \[\frac{1}{14\cdot 4}=\frac{1}{56}\quad\text{при } t=1.\] Поскольку положение точки $K$ на ребре $AA'$ условием не фиксировано, параметр $t$ пробегает весь отрезок $[0;1]$, и отношение $AP:PB$ принимает любое значение из промежутка $\left[0;\dfrac{1}{56}\right]$. **Ответ.** Плоскость пересекает ребро $AB$; считая от вершины $A$, она может делить его в любом отношении $AP:PB$ от $0$ до $\dfrac{1}{56}$.60:T19bb,Перепишем уравнение, перенеся всё, что зависит от $x$, в одну функцию. Положим \[F(x)=\left|x^2-1\right|-\left|x^2-8x+15\right|+kx,\] тогда исходное уравнение принимает вид $F(x)=b$, и вопрос сводится к подсчёту числа корней горизонтальной «прямой» $y=b$ с графиком функции $F$. **Раскрытие модулей.** Так как $x^2-1=(x-1)(x+1)$ и $x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$, точки смены знака подмодульных выражений суть $x=-1,\,1,\,3,\,5$. Раскрывая модули по знакам на каждом промежутке, получаем кусочное представление \[F(x)=\begin{cases}(k+8)x-16, & x\leqslant -1,\\ -2x^2+(k+8)x-14, & -10\) (как покажет ответ, нужные $k$ лежат правее $-8$). Найдём, при каких $b$ каждое окно даёт два корня. Окно $(-1,1)$: здесь $F(x)=-2x^2+(k+8)x-14$ — парабола ветвями вниз с вершиной в точке $x=\dfrac{k+8}{4}$ и максимумом $\dfrac{(k+8)^2}{8}-14$; на концах $F(-1)=-k-24$, $F(1)=k-8$. При $m>0$ больший из концов есть $F(1)=k-8$ (ибо $F(1)-F(-1)=2(k+8)>0$). Два корня внутри $(-1,1)$ получаются ровно при \[k-8\;<\;b\;<\;\frac{(k+8)^2}{8}-14.\] Окно $(3,5)$: здесь $F(x)=2x^2+(k-8)x+14$ — парабола ветвями вверх с вершиной в $x=\dfrac{8-k}{4}$ и минимумом $14-\dfrac{(k-8)^2}{8}$; на концах $F(3)=3k+8$, $F(5)=5k+24$, причём при $m>0$ меньший конец есть $F(3)=3k+8$. Два корня внутри $(3,5)$ получаются ровно при \[14-\frac{(k-8)^2}{8}\;<\;b\;<\;3k+8.\] Сравним границы. Разность верхних границ и разность нижних границ совпадают и равны $\dfrac{k^2}{8}-k-14$; для интересующих нас $k\approx-7$ она отрицательна, поэтому \[\frac{(k+8)^2}{8}-14\;<\;3k+8,\qquad k-8\;<\;14-\frac{(k-8)^2}{8}.\] Значит пересечение двух $b$-промежутков (где оба окна дают по паре корней) есть \[\left(\,14-\frac{(k-8)^2}{8}\;;\;\frac{(k+8)^2}{8}-14\,\right),\] и оно непусто тогда и только тогда, когда его левый конец меньше правого: \[14-\frac{(k-8)^2}{8}\;<\;\frac{(k+8)^2}{8}-14 \iff 12-\frac{k^2}{4}<0 \iff k^2>48 \iff |k|>4\sqrt{3}.\]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — май 1996\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — май 1996\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-1996-05\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-09T23:20:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — май 1996\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — май 1996-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — май 1996"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-1996-05","serverCollection":{"id":"16055b72-7347-4f1f-92ad-1129c909e569","name":"Мехмат МГУ — май 1996","code":"mehmat-1996-05","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"05","session_label":"Досрочный экзамен, 1996 год (май)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm1996-05.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":1996},"created_at":"2026-06-09T23:20:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"5844aa59-89d3-4dc1-adb0-6fba378e1b0b","collection_id":"16055b72-7347-4f1f-92ad-1129c909e569","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"5844aa59-89d3-4dc1-adb0-6fba378e1b0b","short_id":18107,"task_number":16,"topic_id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Найти все целочисленные решения неравенства \$\\sqrt{x^3-5x-3}\\leqslant 6-x\$.","answer_text":"\$-1; 3\$","answer":"\$-1; 3\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"05","variant_key":"mm1996-05","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","name":"Иррациональные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"}]}},{"problem_id":"5f9914a9-ebe8-45f5-ad5a-4a9a0646258c","collection_id":"16055b72-7347-4f1f-92ad-1129c909e569","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"5f9914a9-ebe8-45f5-ad5a-4a9a0646258c","short_id":18108,"task_number":14,"topic_id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Вычислить \$\\log^2_{\\frac{x}{y}} x+\\log^2_{\\frac{y}{x}} y\$, если \$\\log_{\\frac{x}{y}} x^9=\\log_{\\sqrt{y}}\\dfrac{y}{x}\$.","answer_text":"\$\\dfrac{5}{9}\$","answer":"\$\\dfrac{5}{9}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"05","variant_key":"mm1996-05","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","name":"Алгебраические преобразования","description":null},"tags":[{"id":"69dbd048-33e5-42a7-ae46-9f908eab9d5a","code":"tag-93","name":"Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования"},{"id":"e082d742-24ab-47dd-aa86-811e2d0d11d4","code":"tag-215","name":"Логарифм числа"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}},{"problem_id":"bca09e99-f466-4541-bc92-eeac55ed5f7e","collection_id":"16055b72-7347-4f1f-92ad-1129c909e569","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"bca09e99-f466-4541-bc92-eeac55ed5f7e","short_id":18109,"task_number":18,"topic_id":"0697f7ce-4fac-4fbe-acae-f2959cd6e3c5","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Через вершины \$A\$ и \$B\$ треугольника \$ABC\$ проведена окружность, пересекающая стороны \$BC\$ и \$AC\$ в точках \$D\$ и \$E\$ соответственно. Площадь треугольника \$CDE\$ в 7 раз меньше площади четырехугольника \$ABDE\$. Найти \$DE\$ и радиус окружности, если \$AB=4\$ и \$\\angle C=45^\\circ\$.","answer_text":"\$\\sqrt{2}; \\sqrt{5}\$","answer":"\$\\sqrt{2}; \\sqrt{5}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"05","variant_key":"mm1996-05","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"0697f7ce-4fac-4fbe-acae-f2959cd6e3c5","name":"Подобие и площади","description":null},"tags":[{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"},{"id":"d3b75ad2-c6a5-4ba6-85c8-0cbefe7f8516","code":"tag-199","name":"Окружность, описанная вокруг треугольника"}]}},{"problem_id":"7818cc7d-abb5-4fe3-b219-69156436a7d5","collection_id":"16055b72-7347-4f1f-92ad-1129c909e569","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"7818cc7d-abb5-4fe3-b219-69156436a7d5","short_id":18110,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"При каком значении \$a\$ сумма различных корней уравнения \\[\\cos x-\\sin 2x+\\sin 4x=a\\left(\\operatorname{ctg} x+2\\cos 3x\\right),\\] принадлежащих отрезку \$\\left[\\dfrac{3\\pi}{4};\\dfrac{22\\pi}{3}\\right]\$, максимальна?","answer_text":"\$-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\$","answer":"\$-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"05","variant_key":"mm1996-05","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"},{"id":"e505916c-c20a-4e24-b7cc-04fdbdd28d69","code":"tag-221","name":"Наименьшее, наибольшее значение функции во внутренней точке отрезка"}]}},{"problem_id":"800abddf-d508-44c5-88ae-73842e48b1e7","collection_id":"16055b72-7347-4f1f-92ad-1129c909e569","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"800abddf-d508-44c5-88ae-73842e48b1e7","short_id":18111,"task_number":20,"topic_id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"На трех ребрах \$AA'\$, \$AB\$, \$B'C'\$ и \$BC\$ единичного куба \$ABCDA'B'C'D'\$ взяты точки \$K\$, \$L\$, \$M\$ и \$N\$ соответственно так, что \\[AL=\\frac{2}{3},\\quad B'M=\\frac{1}{4},\\quad CN=\\frac{3}{10}.\\] Определить, какое из ребер \$AB\$ или \$AD\$ пересекает плоскость, параллельную отрезку \$ML\$ и содержащую отрезок \$KN\$. В каком отношении это ребро может делиться плоскостью?","answer_text":"\$AB\$, в любом отношении от \$0\$ до \$\\dfrac{1}{56}\$, считая от вершины \$A\$","answer":"\$AB\$, в любом отношении от \$0\$ до \$\\dfrac{1}{56}\$, считая от вершины \$A\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"05","variant_key":"mm1996-05","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","name":"Многогранники","description":null},"tags":[{"id":"1f7c007f-8118-46d6-8971-3f1d90ab1460","code":"tag-29","name":"Сечения куба, призмы, пирамиды"},{"id":"828427c8-b848-48f8-ac7f-625596f7ce1f","code":"tag-122","name":"Сечение, параллельное или перпендикулярное плоскости"},{"id":"a10bcfea-9448-4bdb-b69b-2dc377bcf4de","code":"tag-144","name":"Куб"},{"id":"b0e3aecc-e273-45ab-8c5b-a1e454b74ba1","code":"tag-166","name":"Параллельность плоскостей"}]}},{"problem_id":"94305ad5-7ef5-406b-8372-21b5cce8cdc3","collection_id":"16055b72-7347-4f1f-92ad-1129c909e569","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"94305ad5-7ef5-406b-8372-21b5cce8cdc3","short_id":18112,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Найти все значения \$k\$, при каждом из которых хотя бы для одного числа \$b\$ уравнение \\[\\left|x^2-1\\right|+kx=\\left|x^2-8x+15\\right|+b\\] имеет\nа) более 5 корней;\nб) ровно 5 корней.","answer_text":"а) \$8\$; б) \$-8l - 4\\sqrt{3}\$","answer":"а) \$8\$; б) \$-8l - 4\\sqrt{3}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"05","variant_key":"mm1996-05","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"79cb1123-1ddd-42a3-b424-5fcae957f034","code":"tag-114","name":"Функции, зависящие от параметра"},{"id":"ab3265df-d5a6-4866-b588-c54002df4a81","code":"tag-159","name":"Левая и правая части в качестве отдельных графиков"},{"id":"cbfcdc3f-7c60-42fd-8b0c-b0e16a570b75","code":"tag-195","name":"Уравнение с модулем"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ