Найти все значения k, при каждом из которых хотя бы для одного числа b уравнение
x2−1+kx=x2−8x+15+bимеет
а) более 5 корней;
б) ровно 5 корней.
Перепишем уравнение, перенеся всё, что зависит от x, в одну функцию. Положим
F(x)=x2−1−x2−8x+15+kx,тогда исходное уравнение принимает вид F(x)=b, и вопрос сводится к подсчёту числа корней горизонтальной «прямой» y=b с графиком функции F.
Раскрытие модулей. Так как x2−1=(x−1)(x+1) и x2−8x+15=(x−3)(x−5), точки смены знака подмодульных выражений суть x=−1,1,3,5. Раскрывая модули по знакам на каждом промежутке, получаем кусочное представление
F(x)=⎩⎨⎧(k+8)x−16,−2x2+(k+8)x−14,(k+8)x−16,2x2+(k−8)x+14,(k+8)x−16,x⩽−1,−1<x<1,1⩽x⩽3,3<x<5,x⩾5.Прямой подстановкой проверяется, что в точках x=−1,1,3,5 соседние формулы дают одно и то же значение, то есть F непрерывна.
Ключевое наблюдение. Все три «линейных» куска задаются одним и тем же выражением ℓ(x)=(k+8)x−16, то есть лежат на одной прямой с угловым коэффициентом m=k+8. Введём отклонение G(x)=F(x)−ℓ(x). Тогда
G(x)=0 на (−∞,−1]∪[1,3]∪[5,+∞),G(x)=2(1−x2) на (−1,1),G(x)=2(x−3)(x−5) на (3,5).Таким образом, график F состоит из прямой y=ℓ(x), на которую «насажены» две параболические «горбинки»: на (−1,1) график поднимается над прямой (вершина в x=0, подъём на +2), а на (3,5) опускается под неё (вершина в x=4, спуск на −2). Вне этих двух окон график совпадает с прямой.
Оценка числа корней сверху. Подсчитаем корни уравнения F(x)=b по кускам.
Если m=k+8=0, то на всех линейных кусках уравнение ℓ(x)=b имеет единственный корень X=mb+16; он даёт корень исходного уравнения, только если попадает в линейную часть области (−∞,−1]∪[1,3]∪[5,+∞). Поскольку X — одно число, оно лежит не более чем в одном из этих множеств, значит линейные куски дают не более одного корня. На каждом из двух параболических окон уравнение квадратное, поэтому даёт не более двух корней. Итого при m=0
число корней ⩽ 1+2+2=5.Следовательно, более 5 корней при k=−8 невозможно.
Пункт а) — более 5 корней. Остаётся случай m=k+8=0, то есть k=−8. Тогда на всех трёх линейных кусках F(x)≡−16. Значит при b=−16 уравнению удовлетворяет каждая точка лучей и отрезка (−∞,−1]∪[1,3]∪[5,+∞) — корней бесконечно много, в частности более пяти. Поэтому при k=−8 требуемое выполнено (например, при b=−16). При всех остальных k число корней не превосходит 5. Итак, более 5 корней (хотя бы при одном b) даёт единственное значение
k=−8.Пункт б) — ровно 5 корней. Здесь нужен случай m=k+8=0, причём для достижения максимума 5 необходимо и достаточно, чтобы при одном и том же b одновременно:
(1) каждое из параболических окон давало по два корня; (2) линейная часть давала один корень.
Для удобства считаем m=k+8>0 (как покажет ответ, нужные k лежат правее −8). Найдём, при каких b каждое окно даёт два корня.
Окно (−1,1): здесь F(x)=−2x2+(k+8)x−14 — парабола ветвями вниз с вершиной в точке x=4k+8 и максимумом 8(k+8)2−14; на концах F(−1)=−k−24, F(1)=k−8. При m>0 больший из концов есть F(1)=k−8 (ибо F(1)−F(−1)=2(k+8)>0). Два корня внутри (−1,1) получаются ровно при
k−8<b<8(k+8)2−14.Окно (3,5): здесь F(x)=2x2+(k−8)x+14 — парабола ветвями вверх с вершиной в x=48−k и минимумом 14−8(k−8)2; на концах F(3)=3k+8, F(5)=5k+24, причём при m>0 меньший конец есть F(3)=3k+8. Два корня внутри (3,5) получаются ровно при
14−8(k−8)2<b<3k+8.Сравним границы. Разность верхних границ и разность нижних границ совпадают и равны 8k2−k−14; для интересующих нас k≈−7 она отрицательна, поэтому
8(k+8)2−14<3k+8,k−8<14−8(k−8)2.Значит пересечение двух b-промежутков (где оба окна дают по паре корней) есть
(14−8(k−8)2;8(k+8)2−14),и оно непусто тогда и только тогда, когда его левый конец меньше правого:
14−8(k−8)2<8(k+8)2−14⟺12−4k2<0⟺k2>48⟺∣k∣>43.Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
Мехмат МГУ (архив)