Найти все значения k, при каждом из которых хотя бы для одного числа b уравнение |x^2-1|+kx=|x^2-8x+15|+b имеет а) более 5 корней; б) ровно 5 корней.

Перепишем уравнение, перенеся всё, что зависит от x, в одну функцию. Положим F(x)=|x^2-1|-|x^2-8x+15|+kx, тогда исходное уравнение принимает вид F(x)=b, и вопрос сводится к подсчёту числа корней горизонтальной «прямой» y=b с графиком функции F. **Раскрытие модулей.** Так как x^2-1=(x-1)(x+1) и x^2-8x+15=(x-3)(x-5), точки смены знака подмодульных выражений суть x=-1,1,3,5. Раскрывая модули по знакам на каждом промежутке, получаем кусочное представление F(x)=cases(k+8)x-16, & x -1, -2x^2+(k+8)x-14, & -1<x<1, (k+8)x-16, & 1 x 3, 2x^2+(k-8)x+14, & 3<x<5, (k+8)x-16, & x 5.cases Прямой подстановкой проверяется, что в точках x=-1,1,3,5 соседние формулы дают одно и то же значение, то есть F непрерывна. **Ключевое наблюдение.** Все три «линейных» куска задаются одним и тем же выражением (x)=(k+8)x-16, то есть лежат на одной прямой с угловым коэффициентом m=k+8. Введём отклонение G(x)=F(x)-(x). Тогда G(x)=0 на (-inf,-1]U[1,3]U[5,+inf), G(x)=2(1-x^2) на (-1,1), G(x)=2(x-3)(x-5) на (3,5). Таким образом, график F состоит из прямой y=(x), на которую «насажены» две параболические «горбинки»: на (-1,1) график поднимается над прямой (вершина в x=0, подъём на +2), а на (3,5) опускается под неё (вершина в x=4, спуск на -2). Вне этих двух окон график совпадает с прямой. **Оценка числа корней сверху.** Подсчитаем корни уравнения F(x)=b по кускам. Если m=k+8!= 0, то на всех линейных кусках уравнение (x)=b имеет единственный корень X=(b+16)/(m); он даёт корень исходного уравнения, только если попадает в линейную часть области (-inf,-1]U[1,3]U[5,+inf). Поскольку X — одно число, оно лежит не более чем в одном из этих множеств, значит линейные куски дают **не более одного** корня. На каждом из двух параболических окон уравнение квадратное, поэтому даёт **не более двух** корней. Итого при m!= 0 число корней 1+2+2=5. Следовательно, **более 5 корней при k!= -8 невозможно**. **Пункт а) — более 5 корней.** Остаётся случай m=k+8=0, то есть k=-8. Тогда на всех трёх линейных кусках F(x)=== -16. Значит при b=-16 уравнению удовлетворяет каждая точка лучей и отрезка (-inf,-1]U[1,3]U[5,+inf) — корней бесконечно много, в частности более пяти. Поэтому при k=-8 требуемое выполнено (например, при b=-16). При всех остальных k число корней не превосходит 5. Итак, более 5 корней (хотя бы при одном b) даёт единственное значение k=-8. **Пункт б) — ровно 5 корней.** Здесь нужен случай m=k+8!= 0, причём для достижения максимума 5 необходимо и достаточно, чтобы при одном и том же b одновременно: (1) каждое из параболических окон давало по два корня; (2) линейная часть давала один корень. Для удобства считаем m=k+8>0 (как покажет ответ, нужные k лежат правее -8). Найдём, при каких b каждое окно даёт два корня. Окно (-1,1): здесь F(x)=-2x^2+(k+8)x-14 — парабола ветвями вниз с вершиной в точке x=(k+8)/(4) и максимумом ((k+8)^2)/(8)-14; на концах F(-1)=-k-24, F(1)=k-8. При m>0 больший из концов есть F(1)=k-8 (ибо F(1)-F(-1)=2(k+8)>0). Два корня внутри (-1,1) получаются ровно при k-8<b<((k+8)^2)/(8)-14. Окно (3,5): здесь F(x)=2x^2+(k-8)x+14 — парабола ветвями вверх с вершиной в x=(8-k)/(4) и минимумом 14-((k-8)^2)/(8); на концах F(3)=3k+8, F(5)=5k+24, причём при m>0 меньший конец есть F(3)=3k+8. Два корня внутри (3,5) получаются ровно при 14-((k-8)^2)/(8)<b<3k+8. Сравним границы. Разность верхних границ и разность нижних границ совпадают и равны (k^2)/(8)-k-14; для интересующих нас k~-7 она отрицательна, поэтому ((k+8)^2)/(8)-14<3k+8, k-8<14-((k-8)^2)/(8). Значит пересечение двух b-промежутков (где оба окна дают по паре корней) есть (14-((k-8)^2)/(8);((k+8)^2)/(8)-14), и оно непусто тогда и только тогда, когда его левый конец меньше правого: 14-((k-8)^2)/(8)<((k+8)^2)/(8)-14 12-(k^2)/(4)<0 k^2>48 |k|>4sqrt(3).

\(а) 8; б) (-8l - 4\sqrt{3})\)