Задача №18109

Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведена окружность, пересекающая стороны $BC$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Площадь треугольника $CDE$ в 7 раз меньше площади четырехугольника $ABDE\text{.}$ Найти $DE$ и радиус окружности, если $AB=4$ и $\angle C=45^{\circ }\text{.}$

Точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $D\text{,}$ $E$ лежат на одной окружности, поэтому четырёхугольник $ABDE$ вписанный. Точки расположены так: $D$ — на стороне $BC\text{,}$ $E$ — на стороне $AC\text{,}$ так что прямые $CB$ и $CA$ пересекают окружность вторично в $D$ и $E\text{.}$

Подобие треугольников $CDE$ и $CAB\text{.}$ У вписанного четырёхугольника $ABDE$ сумма противоположных углов равна $180^{\circ }\text{,}$ значит $\angle BDE+\angle BAE=180^{\circ }\text{.}$ Но точки $C\text{,}$ $D\text{,}$ $B$ лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle CDE$ смежен с $\angle BDE\text{:}$

В треугольниках $CDE$ и $CAB$ угол при вершине $C$ общий, а $\angle CDE=\angle CAB=\angle A\text{.}$ Следовательно, треугольники подобны с соответствием вершин $C\to C\text{,}$ $D\to A\text{,}$ $E\to B\text{:}$

Нахождение $DE\text{.}$ Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

Четырёхугольник $ABDE$ дополняет треугольник $CDE$ до треугольника $CAB$ (он отсекается от $CAB$ хордой $DE$), поэтому

По условию площадь $CDE$ в $7$ раз меньше площади $ABDE\text{,}$ то есть $S_{CDE}=\frac{1}{7}{S}_{ABDE}\text{,}$ откуда

Решаем: $7k^2=1-k^2\text{,}$ значит $8k^2=1$ и $k^2=\frac{1}{8}\text{,}$ то есть $k=\frac{1}{2\sqrt{2}}\text{.}$ Тогда

Нахождение радиуса. Хорды $AB$ и $DE$ лежат на одной (искомой) окружности. Обозначим вписанный угол, опирающийся на хорду $DE\text{,}$ через $\phi =\angle DAE$ (вершина $A$ на окружности). По теореме синусов для окружности радиуса $R\text{:}$

где $\angle AEB$ — вписанный угол, опирающийся на хорду $AB$ (вершина $E$ на окружности).

Свяжем эти два угла. Точки $A\text{,}$ $E\text{,}$ $C$ лежат на одной прямой ($E$ на стороне $AC$), поэтому углы $\angle AEB$ и $\angle BEC$ смежные, и из треугольника $BEC$ (в нём $\angle BCE=\angle C=45^{\circ }$):

Далее, точка $D$ лежит на луче $BC\text{,}$ поэтому $\angle EBC=\angle EBD=\angle DBE\text{;}$ а вписанные углы $\angle DBE$ и $\angle DAE\text{,}$ опирающиеся на одну хорду $DE$ с одной стороны от неё, равны:

Итак,

Подставляя в формулы хорд и учитывая $DE=k\cdot AB\text{,}$ получаем

Раскроем синус суммы:

Так как $\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{,}$ а $k\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{4}\text{,}$ приходим к

Угол $\phi$ острый, поэтому

Наконец, из $DE=2R\sin \phi \text{:}$

Ответ: $DE=\sqrt{2}\text{,}$ радиус окружности $R=\sqrt{5}\text{.}$