Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, пересекающая стороны BC и AC в точках D и E соответственно. Площадь треугольника CDE в 7 раз меньше площади четырехугольника ABDE. Найти DE и радиус окружности, если AB=4 и C=45^.

Точки A, B, D, E лежат на одной окружности, поэтому четырёхугольник ABDE вписанный. Точки расположены так: D — на стороне BC, E — на стороне AC, так что прямые CB и CA пересекают окружность вторично в D и E. **Подобие треугольников CDE и CAB.** У вписанного четырёхугольника ABDE сумма противоположных углов равна 180^, значит BDE+ BAE=180^. Но точки C, D, B лежат на одной прямой, поэтому угол CDE смежен с BDE: CDE=180^- BDE= BAE= BAC= A. В треугольниках CDE и CAB угол при вершине C общий, а CDE= CAB= A. Следовательно, треугольники подобны с соответствием вершин C C, D A, E B: CDE CAB, k=(CD)/(CA)=(CE)/(CB)=(DE)/(AB). **Нахождение DE.** Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: (S_(CDE))/(S_(CAB))=k^(2). Четырёхугольник ABDE дополняет треугольник CDE до треугольника CAB (он отсекается от CAB хордой DE), поэтому S_(ABDE)=S_(CAB)-S_(CDE)=S_(CAB)(1-k^(2)). По условию площадь CDE в 7 раз меньше площади ABDE, то есть S_(CDE)=(1)/(7)S_(ABDE), откуда (S_(CDE))/(S_(ABDE))=(k^(2))/(1-k^(2))=(1)/(7). Решаем: 7k^(2)=1-k^(2), значит 8k^(2)=1 и k^(2)=(1)/(8), то есть k=(1)/(2sqrt(2)). Тогда DE=k* AB=(1)/(2sqrt(2))* 4=(4)/(2sqrt(2))=(2)/(sqrt(2))=sqrt(2). **Нахождение радиуса.** Хорды AB и DE лежат на одной (искомой) окружности. Обозначим вписанный угол, опирающийся на хорду DE, через = DAE (вершина A на окружности). По теореме синусов для окружности радиуса R: DE=2Rsin, AB=2Rsin AEB, где AEB — вписанный угол, опирающийся на хорду AB (вершина E на окружности). Свяжем эти два угла. Точки A, E, C лежат на одной прямой (E на стороне AC), поэтому углы AEB и BEC смежные, и из треугольника BEC (в нём BCE= C=45^): AEB=180^- BEC=180^-(180^- C- EBC)= C+ EBC. Далее, точка D лежит на луче BC, поэтому EBC= EBD= DBE; а вписанные углы DBE и DAE, опирающиеся на одну хорду DE с одной стороны от неё, равны: EBC= DBE= DAE=. Итак, AEB= C+=45^+. Подставляя в формулы хорд и учитывая DE=k* AB, получаем (DE)/(AB)=k=(sin)/(sin(+45^)), k=(1)/(2sqrt(2)). Раскроем синус суммы: sin=k(sin45^+cos45^). Так как 45^=45^=(2)/(2), а k*(2)/(2)=(1)/(22)*(2)/(2)=14, приходим к sin=14sin+14cos 34sin=14cos tan=(1)/(3). Угол острый, поэтому sin=(1)/(sqrt(1+3^(2)))=(1)/(sqrt(10)). Наконец, из DE=2Rsin: R=(DE)/(2sin)=(sqrt(2))/(2*1sqrt(10))=(sqrt(2)sqrt(10))/(2)=(sqrt(20))/(2)=(25)/(2)=sqrt(5). **Ответ:** DE=sqrt(2), радиус окружности R=sqrt(5).

\(\sqrt{2}; \sqrt{5}\)