Задача №18110

При каком значении $a$ сумма различных корней уравнения

$$\cos x-\sin 2x+\sin 4x=a\left(\mathrm{ctg}x+2\cos 3x\right),$$

принадлежащих отрезку $\left[\frac{3\pi }{4};\frac{22\pi }{3}\right]\text{,}$ максимальна?

Область определения. В правой части стоит $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}\text{,}$ поэтому требуется $\sin x\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne \pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$ На отрезке $\left[\frac{3\pi }{4};\frac{22\pi }{3}\right]$ это исключает точки $x=\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi ,5\pi ,6\pi ,7\pi \text{.}$

Преобразование уравнения. Обозначим левую часть $f(x)=\cos x-\sin 2x+\sin 4x\text{.}$ Сгруппируем синусы по формуле разности:

$$\sin 4x-\sin 2x=2\cos 3x\sin x,$$

поэтому

$$f(x)=\cos x+2\cos 3x\sin x.$$

Преобразуем теперь скобку в правой части, приведя её к общему знаменателю $\sin x\text{:}$

$$\mathrm{ctg}x+2\cos 3x=\frac{\cos x}{\sin x}+2\cos 3x=\frac{\cos x+2\cos 3x\sin x}{\sin x}=\frac{f(x)}{\sin x}.$$

Значит, при условии $\sin x\ne 0$ исходное уравнение принимает вид

$$f(x)=a\cdot \frac{f(x)}{\sin x}⟺f(x)\left(1-\frac{a}{\sin x}\right)=0⟺f(x)\cdot \frac{\sin x-a}{\sin x}=0.$$

Так как $\sin x\ne 0\text{,}$ уравнение равносильно совокупности

$$\boxed{f(x)=0\text{или}\sin x=a.}$$

Ветвь $f(x)=0$ (не зависит от $a$). Разложим $f$ на множители, представив всё через $\sin x$ и $\cos x\text{:}$

$$f(x)=\cos x+2\cos 3x\sin x=-\cos x(8{\sin }^{3}x-2\sin x-1).$$

Отсюда $f(x)=0$ распадается на:

• $\cos x=0\text{,}$ то есть $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ (здесь $\sin x=\pm 1\ne 0$ — ОДЗ выполнено);
• $8{\sin }^{3}x-2\sin x-1=0\text{.}$ Этот кубический по $t=\sin x$ многочлен имеет ровно один действительный корень $t=s_0\approx 0,6624\in (-1;1)\text{,}$ значит даёт серию решений $\sin x=s_0\text{.}$

Важно лишь то, что вся ветвь $f(x)=0$ от параметра $a$ не зависит: соответствующие корни на отрезке присутствуют при любом значении $a\text{,}$ и их сумма — постоянная величина. На отрезке $\left[\frac{3\pi }{4};\frac{22\pi }{3}\right]$ это:

• 6 корней $\cos x=0\text{:}$ $\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2},\frac{7\pi }{2},\frac{9\pi }{2},\frac{11\pi }{2},\frac{13\pi }{2}$ с суммой $24\pi \text{;}$
• 7 корней $\sin x=s_0$ с фиксированной суммой $\approx 27,77\pi \text{.}$

Ветвь $\sin x=a$ (зависит от $a$). Поскольку сумма корней первой ветви постоянна, наибольшую сумму всех корней даёт то значение $a\text{,}$ при котором максимальна сумма корней уравнения $\sin x=a$ на отрезке (при $a=0$ эта ветвь запрещена ОДЗ, но $a=0$ и так не оптимально). Пусть $b=\arcsin a\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$ Корни $\sin x=a$ — это две серии $x=b+2\pi k$ и $x=\pi -b+2\pi k\text{.}$ Прямой подсчёт того, какие из них попадают в $\left[\frac{3\pi }{4};\frac{22\pi }{3}\right]\text{,}$ даёт следующую картину суммы $S(a)$ корней этой ветви:

В первой и третьей строках корни разбиваются на пары, симметричные относительно нечётных кратных $\pi \text{,}$ поэтому $b$ сокращается и сумма постоянна. В средней строке появляется седьмой корень, и

$$S(a)=28\pi -b,\frac{dS}{db}=-1<0,$$

то есть $S$ растёт при убывании $b$ (значит, при убывании $a$). Наименьшее допустимое в этой строке значение $b=-\frac{\pi }{3}$ отвечает $a=\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$ При этом седьмой корень равен

$$x=(\pi -b)+6\pi =7\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{22\pi }{3},$$

то есть точно совпадает с правым концом отрезка (и $\sin \frac{22\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$). При $a<-\frac{\sqrt{3}}{2}$ этот корень покидает отрезок и сумма скачком падает до $21\pi \text{.}$

Таким образом, на средней строке максимум достигается в точке $b=-\frac{\pi }{3}\text{:}$

$$S_{\max }=28\pi -\left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{85\pi }{3}\approx 28,33\pi ,$$

и он превосходит постоянные значения соседних строк $21\pi$ и $27\pi \text{.}$ Следовательно, среди всех $a\in [-1;1]$ сумма корней ветви $\sin x=a$ максимальна в единственной точке $a=-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$

Итог. Корни ветви $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ не совпадают ни с корнями $\cos x=0$ (там $\sin x=\pm 1$), ни с корнями $\sin x=s_0\approx 0,66\text{,}$ поэтому при сложении они не «склеиваются». Постоянные вклады $24\pi$ и $\approx 27,77\pi$ добавляются ко всем значениям $a$ одинаково, и потому полная сумма различных корней на отрезке максимальна там же, где максимальна $S(a)$ — при

$$a=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

(При этом значении на отрезке всего 20 различных корней с суммой $\approx 80,10\pi =24\pi +27,77\pi +\frac{85\pi }{3}\text{.}$)

Ответ: $a=-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$