При каком значении a сумма различных корней уравнения cos x-sin 2x+sin 4x=a(ctg x+2cos 3x), принадлежащих отрезку [(3pi)/(4);(22pi)/(3)], максимальна?

**Область определения.** В правой части стоит ctgx=(cos x)/(sin x), поэтому требуется sin x!= 0, то есть x!= pi n, ninZ. На отрезке [(3pi)/(4);(22pi)/(3)] это исключает точки x=pi,2pi,3pi,4pi,5pi,6pi,7pi. **Преобразование уравнения.** Обозначим левую часть f(x)=cos x-sin 2x+sin 4x. Сгруппируем синусы по формуле разности: sin 4x-sin 2x=2cos 3xsin x, поэтому f(x)=cos x+2cos 3xsin x. Преобразуем теперь скобку в правой части, приведя её к общему знаменателю sin x: ctgx+2cos 3x=(cos x)/(sin x)+2cos 3x=(cos x+2cos 3xsin x)/(sin x)=(f(x))/(sin x). Значит, при условии sin x!= 0 исходное уравнение принимает вид f(x)=a*(f(x))/(sin x) f(x)(1-(a)/(sin x))=0 f(x)*(sin x-a)/(sin x)=0. Так как sin x!= 0, уравнение равносильно совокупности f(x)=0 или sin x=a. **Ветвь f(x)=0 (не зависит от a).** Разложим f на множители, представив всё через sin x и cos x: f(x)=cos x+2cos 3xsin x=-cos x(8sin^(3)x-2sin x-1). Отсюда f(x)=0 распадается на: - cos x=0, то есть x=(pi)/(2)+pi k (здесь sin x=+- 1!= 0 — ОДЗ выполнено); - 8sin^(3)x-2sin x-1=0. Этот кубический по t=sin x многочлен имеет ровно один действительный корень t=s_(0)~ 0,6624in(-1;1), значит даёт серию решений sin x=s_(0). Важно лишь то, что **вся ветвь f(x)=0 от параметра a не зависит**: соответствующие корни на отрезке присутствуют при любом значении a, и их сумма — постоянная величина. На отрезке [(3pi)/(4);(22pi)/(3)] это: - 6 корней cos x=0: (3pi)/(2),(5pi)/(2),(7pi)/(2),(9pi)/(2),(11pi)/(2),(13pi)/(2) с суммой 24pi; - 7 корней sin x=s_(0) с фиксированной суммой ~ 27,77pi. **Ветвь sin x=a (зависит от a).** Поскольку сумма корней первой ветви постоянна, наибольшую сумму всех корней даёт то значение a, при котором максимальна сумма корней уравнения sin x=a на отрезке (при a=0 эта ветвь запрещена ОДЗ, но a=0 и так не оптимально). Пусть b=arcsin ain[-(pi)/(2);(pi)/(2)]. Корни sin x=a — это две серии x=b+2pi k и x=pi-b+2pi k. Прямой подсчёт того, какие из них попадают в [(3pi)/(4);(22pi)/(3)], даёт следующую картину суммы S(a) корней этой ветви: | a | b=arcsin a | число корней | сумма S(a) | |---|---|---|---| | -1<= a<-(3)/(2) | -(pi)/(2)<= b<-(pi)/(3) | 6 | 21pi (постоянна) | | -(3)/(2)<= a<= (2)/(2) | -(pi)/(3)<= b<= (pi)/(4) | 7 | 28pi-b | | (2)/(2)<a<= 1 | (pi)/(4)<b<= (pi)/(2) | 6 | 27pi (постоянна) | В первой и третьей строках корни разбиваются на пары, симметричные относительно нечётных кратных pi, поэтому b сокращается и сумма постоянна. В средней строке появляется седьмой корень, и S(a)=28pi-b, (dS)/(db)=-1<0, то есть S растёт при убывании b (значит, при убывании a). Наименьшее допустимое в этой строке значение b=-(pi)/(3) отвечает a=sin(-(pi)/(3))=-(3)/(2). При этом седьмой корень равен x=(pi-b)+6pi=7pi+(pi)/(3)=(22pi)/(3), то есть **точно совпадает с правым концом отрезка** (и sin(22pi)/(3)=-(3)/(2)). При a<-(3)/(2) этот корень покидает отрезок и сумма скачком падает до 21pi. Таким образом, на средней строке максимум достигается в точке b=-(pi)/(3): S_()=28pi-(-(pi)/(3))=(85pi)/(3)~ 28,33pi, и он превосходит постоянные значения соседних строк 21pi и 27pi. Следовательно, среди всех ain[-1;1] сумма корней ветви sin x=a максимальна **в единственной точке** a=-(3)/(2). **Итог.** Корни ветви sin x=-(3)/(2) не совпадают ни с корнями cos x=0 (там sin x=+-1), ни с корнями sin x=s_0~0,66, поэтому при сложении они не «склеиваются». Постоянные вклады 24pi и ~ 27,77pi добавляются ко всем значениям a одинаково, и потому полная сумма различных корней на отрезке максимальна там же, где максимальна S(a) — при a=-(3)/(2). (При этом значении на отрезке всего 20 различных корней с суммой ~ 80,10pi=24pi+27,77pi+(85pi)/(3).) **Ответ:** a=-(3)/(2).

\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)