Задача №18111

На трех ребрах $A{A}^{\prime }\text{,}$ $AB\text{,}$ $B^{\prime }{C}^{\prime }$ и $BC$ единичного куба $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ взяты точки $K\text{,}$ $L\text{,}$ $M$ и $N$ соответственно так, что

$$AL=\frac{2}{3},B^{\prime }M=\frac{1}{4},CN=\frac{3}{10}.$$

Определить, какое из ребер $AB$ или $AD$ пересекает плоскость, параллельную отрезку $ML$ и содержащую отрезок $KN\text{.}$ В каком отношении это ребро может делиться плоскостью?

Введём прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ и осями вдоль рёбер куба:

$$A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(1,1,0),D=(0,1,0),$$ $$A^{\prime }=(0,0,1),B^{\prime }=(1,0,1),C^{\prime }=(1,1,1),D^{\prime }=(0,1,1).$$

Куб единичный, поэтому каждое ребро имеет длину $1\text{,}$ и длина отрезка, отложенного по ребру, совпадает с соответствующей разностью координат.

Координаты заданных точек.

Точка $L$ лежит на ребре $AB$ и $AL=\frac{2}{3}\text{,}$ значит $L=\left(\frac{2}{3},0,0\right)\text{.}$

Точка $M$ лежит на ребре $B^{\prime }{C}^{\prime }$ и $B^{\prime }M=\frac{1}{4}\text{.}$ Ребро $B^{\prime }{C}^{\prime }$ идёт от $B^{\prime }=(1,0,1)$ к $C^{\prime }=(1,1,1)$ в направлении оси $y\text{,}$ поэтому $M=\left(1,\frac{1}{4},1\right)\text{.}$

Точка $N$ лежит на ребре $BC$ и $CN=\frac{3}{10}\text{.}$ Ребро $BC$ идёт от $B=(1,0,0)$ к $C=(1,1,0)\text{;}$ отступив от $C$ на $\frac{3}{10}$ в сторону $B\text{,}$ получаем $N=\left(1,1-\frac{3}{10},0\right)=\left(1,\frac{7}{10},0\right)\text{.}$

Точка $K$ лежит на ребре $A{A}^{\prime }\text{;}$ её положение в условии явно не задано (это отмечено и в самой формулировке: длина $AK$ пропущена). Обозначим $AK=t\text{,}$ где $t\in [0;1]\text{;}$ тогда $K=(0,0,t)\text{.}$ Именно из-за неопределённости $t$ в ответе и возникает «любое отношение» из некоторого промежутка.

Задание плоскости.

Искомая плоскость $\pi$ содержит отрезок $KN$ (следовательно, содержит обе точки $K$ и $N$) и параллельна отрезку $ML\text{.}$ Найдём направляющие векторы:

$$\overrightarrow{ML}=L-M=\left(\frac{2}{3}-1,0-\frac{1}{4},0-1\right)=\left(-\frac{1}{3},-\frac{1}{4},-1\right),$$ $$\overrightarrow{KN}=N-K=\left(1,\frac{7}{10},-t\right).$$

Плоскость $\pi$ проходит через точку $K$ и натянута на неколлинеарные векторы $\overrightarrow{KN}$ и $\overrightarrow{ML}$ (она содержит $KN$ и параллельна $ML$). Нормаль к $\pi$ равна векторному произведению

$$\vec{n}=\overrightarrow{KN}\times \overrightarrow{ML}=\left(\frac{t}{4}+\frac{7}{10},-\frac{t}{3}-1,\frac{1}{60}\right).$$

Уравнение плоскости: $\vec{n}\cdot ((x,y,z)-K)=0\text{,}$ то есть

$$\left(\frac{t}{4}+\frac{7}{10}\right)x-\left(\frac{t}{3}+1\right)y+\frac{1}{60}z-\frac{t}{60}=0.$$

Пересечение с ребром $AB\text{.}$ Точки ребра $AB$ имеют вид $(s,0,0)\text{,}$ $s\in [0;1]\text{,}$ где $s$ есть как раз длина $AP$ от вершины $A\text{.}$ Подставляя $y=0,z=0\text{:}$

$$\left(\frac{t}{4}+\frac{7}{10}\right)s=\frac{t}{60}⟹s=\frac{t/60}{t/4+7/10}=\frac{t}{3(5t+14)}.$$

При $t\in [0;1]$ знаменатель положителен, числитель неотрицателен, значит $s\ge 0\text{.}$ Производная

$$\frac{ds}{dt}=\frac{14}{3(5t+14{)}^2}>0,$$

поэтому $s$ монотонно возрастает: от $s=0$ при $t=0$ (точка $K$ совпадает с $A$) до

$$s_{\max }=\frac{1}{3(5+14)}=\frac{1}{57}\text{при }t=1(K=A^{\prime }).$$

Так как $0\le s\le \frac{1}{57}<1\text{,}$ точка пересечения всегда попадает внутрь ребра $AB$ (или в его конец $A$ при $t=0$). Итак, плоскость пересекает ребро $AB\text{.}$

Пересечение с ребром $AD\text{.}$ Точки ребра $AD$ имеют вид $(0,u,0)\text{,}$ $u\in [0;1]\text{.}$ Подставляя $x=0,z=0\text{:}$

$$-\left(\frac{t}{3}+1\right)u=\frac{t}{60}⟹u=-\frac{t}{20t+60}.$$

При $t>0$ получаем $u<0\text{,}$ то есть точка пересечения прямой $AD$ с плоскостью лежит вне отрезка $AD$ (по другую сторону от вершины $A$). Значит, ребро $AD$ плоскость не пересекает (лишь при $t=0$ плоскость проходит через сам $A$). Таким образом, из двух рёбер пересекается именно $AB\text{.}$

Отношение деления. Пусть $P$ — точка пересечения с ребром $AB\text{;}$ тогда $AP=s=\frac{t}{3(5t+14)}\text{,}$ $PB=1-s\text{,}$ и отношение

$$\frac{AP}{PB}=\frac{s}{1-s}=\frac{t}{14(t+3)}.$$

Эта величина при $t\in [0;1]$ тоже монотонно возрастает (её производная $\frac{3}{14(t+3{)}^2}>0$): от $0$ при $t=0$ до

$$\frac{1}{14\cdot 4}=\frac{1}{56}\text{при }t=1.$$

Поскольку положение точки $K$ на ребре $A{A}^{\prime }$ условием не фиксировано, параметр $t$ пробегает весь отрезок $[0;1]\text{,}$ и отношение $AP:PB$ принимает любое значение из промежутка $\left[0;\frac{1}{56}\right]\text{.}$

Ответ. Плоскость пересекает ребро $AB\text{;}$ считая от вершины $A\text{,}$ она может делить его в любом отношении $AP:PB$ от $0$ до $\frac{1}{56}\text{.}$