На трех ребрах AA', AB, B'C' и BC единичного куба ABCDA'B'C'D' взяты точки K, L, M и N соответственно так, что AL=(2)/(3), B'M=(1)/(4), CN=(3)/(10). Определить, какое из ребер AB или AD пересекает плоскость, параллельную отрезку ML и содержащую отрезок KN. В каком отношении это ребро может делиться плоскостью?

Введём прямоугольную систему координат с началом в вершине A и осями вдоль рёбер куба: A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0), A'=(0,0,1), B'=(1,0,1), C'=(1,1,1), D'=(0,1,1). Куб единичный, поэтому каждое ребро имеет длину 1, и длина отрезка, отложенного по ребру, совпадает с соответствующей разностью координат. **Координаты заданных точек.** Точка L лежит на ребре AB и AL=(2)/(3), значит L=((2)/(3),0,0). Точка M лежит на ребре B'C' и B'M=(1)/(4). Ребро B'C' идёт от B'=(1,0,1) к C'=(1,1,1) в направлении оси y, поэтому M=(1,(1)/(4),1). Точка N лежит на ребре BC и CN=(3)/(10). Ребро BC идёт от B=(1,0,0) к C=(1,1,0); отступив от C на (3)/(10) в сторону B, получаем N=(1,1-(3)/(10),0)=(1,(7)/(10),0). Точка K лежит на ребре AA'; её положение в условии явно не задано (это отмечено и в самой формулировке: длина AK пропущена). Обозначим AK=t, где tin[0;1]; тогда K=(0,0,t). Именно из-за неопределённости t в ответе и возникает «любое отношение» из некоторого промежутка. **Задание плоскости.** Искомая плоскость pi содержит отрезок KN (следовательно, содержит обе точки K и N) и параллельна отрезку ML. Найдём направляющие векторы: ML=L-M=((2)/(3)-1, 0-14, 0-1)=(-13,-14,-1), KN=N-K=(1, (7)/(10), -t). Плоскость pi проходит через точку K и натянута на неколлинеарные векторы KN и ML (она содержит KN и параллельна ML). Нормаль к pi равна векторному произведению n=KN*ML=((t)/(4)+(7)/(10), -(t)/(3)-1, (1)/(60)). Уравнение плоскости: n*((x,y,z)-K)=0, то есть ((t)/(4)+(7)/(10))x-((t)/(3)+1)y+(1)/(60)z-(t)/(60)=0. **Пересечение с ребром AB.** Точки ребра AB имеют вид (s,0,0), sin[0;1], где s есть как раз длина AP от вершины A. Подставляя y=0, z=0: ((t)/(4)+(7)/(10))s=(t)/(60) s=(t/60)/(t/4+7/10)=(t)/(3(5t+14)). При tin[0;1] знаменатель положителен, числитель неотрицателен, значит s>= 0. Производная (ds)/(dt)=(14)/(3(5t+14)^2)>0, поэтому s монотонно возрастает: от s=0 при t=0 (точка K совпадает с A) до s_()=(1)/(3(5+14))=(1)/(57) при t=1 (K=A'). Так как 0<= s<= (1)/(57)<1, точка пересечения всегда попадает внутрь ребра AB (или в его конец A при t=0). Итак, плоскость пересекает ребро AB. **Пересечение с ребром AD.** Точки ребра AD имеют вид (0,u,0), uin[0;1]. Подставляя x=0, z=0: -((t)/(3)+1)u=(t)/(60) u=-(t)/(20t+60). При t>0 получаем u<0, то есть точка пересечения прямой AD с плоскостью лежит вне отрезка AD (по другую сторону от вершины A). Значит, ребро AD плоскость не пересекает (лишь при t=0 плоскость проходит через сам A). Таким образом, из двух рёбер пересекается именно AB. **Отношение деления.** Пусть P — точка пересечения с ребром AB; тогда AP=s=(t)/(3(5t+14)), PB=1-s, и отношение (AP)/(PB)=(s)/(1-s)=(t)/(14(t+3)). Эта величина при tin[0;1] тоже монотонно возрастает (её производная (3)/(14(t+3)^2)>0): от 0 при t=0 до (1)/(14* 4)=(1)/(56) при t=1. Поскольку положение точки K на ребре AA' условием не фиксировано, параметр t пробегает весь отрезок [0;1], и отношение AP:PB принимает любое значение из промежутка [0;(1)/(56)]. **Ответ.** Плоскость пересекает ребро AB; считая от вершины A, она может делить его в любом отношении AP:PB от 0 до (1)/(56).

\(AB, в любом отношении от 0 до \dfrac{1}{56}, считая от вершины A\)