Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Мехмат МГУ (архив)
Найти все целочисленные решения неравенства x3−5x−3⩽6−x.
Требуется найти все целочисленные решения неравенства
x3−5x−3⩽6−x.Область определения и необходимые условия. Левая часть определена и неотрицательна лишь там, где подкоренное выражение неотрицательно:
x3−5x−3⩾0.(1)Поскольку при этом x3−5x−3⩾0, для выполнения неравенства правая часть тоже обязана быть неотрицательной:
6−x⩾0,то естьx⩽6.(2)При условиях (1) и (2) обе части неотрицательны, и неравенство равносильно неравенству, полученному возведением в квадрат:
x3−5x−3⩽(6−x)2.(3)Итак, исходное неравенство равносильно системе условий (1), (2), (3).
Анализ условия (3). Раскроем правую часть: (6−x)2=x2−12x+36. Перенесём всё влево:
x3−5x−3−(x2−12x+36)⩽0, x3−x2+7x−39⩽0.Кубический многочлен слева имеет очевидный корень x=3 (так как 27−9+21−39=0). Делением получаем разложение
x3−x2+7x−39=(x−3)(x2+2x+13).Квадратный трёхчлен x2+2x+13=(x+1)2+12>0 положителен при всех x (его дискриминант равен 4−52=−48<0). Поэтому знак произведения совпадает со знаком множителя x−3, и неравенство (x−3)((x+1)2+12)⩽0 равносильно условию
x⩽3.(3’)Заметим, что условие x⩽3 автоматически влечёт условие (2) x⩽6, так что (2) можно отбросить.
Анализ условия (1). Рассмотрим функцию g(x)=x3−5x−3. Найдём её корни. Подбором рациональных корней (делители свободного члена) корней нет, поэтому исследуем знак численно. Вычислим значения:
g(−2)=−8+10−3=−1<0,g(−1)=−1+5−3=1>0, g(0)=−3<0,g(2)=8−10−3=−5<0,g(3)=27−15−3=9>0.Так как g непрерывна, перемены знака дают три действительных корня x1<x2<x3, лежащих в промежутках
x1∈(−2;−1),x2∈(−1;0),x3∈(2;3).Уточнение даёт приближённо x1≈−1,834, x2≈−0,657, x3≈2,491. При старшем коэффициенте +1 кубический многочлен неотрицателен на объединении
x∈[x1;x2]∪[x3;+∞),то есть приблизительноx∈[−1,834;−0,657]∪[2,491;+∞).(1’)Объединение условий. Решением исходного неравенства служит множество всех x, удовлетворяющих одновременно (1') и (3'):
([−1,834;−0,657]∪[2,491;+∞)) ∩ {x⩽3}=[x1;x2]∪[x3;3].Нас интересуют только целые числа из этого множества.
— На отрезке [x1;x2]≈[−1,834;−0,657] единственное целое число — это x=−1 (так как −2<x1 и x2<0).
— На отрезке [x3;3]≈[2,491;3] единственное целое число — это x=3 (поскольку 2<x3<3).
Таким образом, целочисленные кандидаты — это x=−1 и x=3. Проверим их прямой подстановкой в исходное неравенство.
При x=−1:
(−1)3−5⋅(−1)−3=−1+5−3=1=1,6−(−1)=7,и неравенство 1⩽7 выполнено.
При x=3:
33−5⋅3−3=27−15−3=9=3,6−3=3,и неравенство 3⩽3 выполнено (равенство, граничный случай).
Оба значения подходят, и других целых решений нет.
Ответ: x=−1 и x=3.