Найти все целочисленные решения неравенства sqrt(x^3-5x-3) 6-x.

Требуется найти все целочисленные решения неравенства sqrt(x^3-5x-3) 6-x. **Область определения и необходимые условия.** Левая часть определена и неотрицательна лишь там, где подкоренное выражение неотрицательно: x^3-5x-3 0. 1 Поскольку при этом sqrt(x^3-5x-3) 0, для выполнения неравенства правая часть тоже обязана быть неотрицательной: 6-x 0, то есть x 6. 2 При условиях (1) и (2) обе части неотрицательны, и неравенство равносильно неравенству, полученному возведением в квадрат: x^3-5x-3 (6-x)^2. 3 Итак, исходное неравенство равносильно системе условий (1), (2), (3). **Анализ условия (3).** Раскроем правую часть: (6-x)^2=x^2-12x+36. Перенесём всё влево: x^3-5x-3-(x^2-12x+36) 0, x^3-x^2+7x-39 0. Кубический многочлен слева имеет очевидный корень x=3 (так как 27-9+21-39=0). Делением получаем разложение x^3-x^2+7x-39=(x-3)(x^2+2x+13). Квадратный трёхчлен x^2+2x+13=(x+1)^2+12>0 положителен при всех x (его дискриминант равен 4-52=-48<0). Поэтому знак произведения совпадает со знаком множителя x-3, и неравенство (x-3)((x+1)^2+12) 0 равносильно условию x 3. 3' Заметим, что условие x 3 автоматически влечёт условие (2) x 6, так что (2) можно отбросить. **Анализ условия (1).** Рассмотрим функцию g(x)=x^3-5x-3. Найдём её корни. Подбором рациональных корней (делители свободного члена) корней нет, поэтому исследуем знак численно. Вычислим значения: g(-2)=-8+10-3=-1<0, g(-1)=-1+5-3=1>0, g(0)=-3<0, g(2)=8-10-3=-5<0, g(3)=27-15-3=9>0. Так как g непрерывна, перемены знака дают три действительных корня x_1<x_2<x_3, лежащих в промежутках x_1in(-2;-1), x_2in(-1;0), x_3in(2;3). Уточнение даёт приближённо x_1~-1,834, x_2~-0,657, x_3~ 2,491. При старшем коэффициенте +1 кубический многочлен неотрицателен на объединении xin[x_1;x_2]U[x_3;+inf), то есть приблизительно xin[-1,834;-0,657]U[2,491;+inf). 1' **Объединение условий.** Решением исходного неравенства служит множество всех x, удовлетворяющих одновременно (1') и (3'): ([-1,834;-0,657]U[2,491;+inf)) n x 3=[x_1;x_2]U[x_3;3]. Нас интересуют только целые числа из этого множества. — На отрезке [x_1;x_2]~[-1,834;-0,657] единственное целое число — это x=-1 (так как -2<x_1 и x_2<0). — На отрезке [x_3;3]~[2,491;3] единственное целое число — это x=3 (поскольку 2<x_3<3). Таким образом, целочисленные кандидаты — это x=-1 и x=3. Проверим их прямой подстановкой в исходное неравенство. При x=-1: sqrt((-1)^3-5*(-1)-3)=sqrt(-1+5-3)=sqrt(1)=1, 6-(-1)=7, и неравенство 1 7 выполнено. При x=3: sqrt(3^3-5* 3-3)=sqrt(27-15-3)=sqrt(9)=3, 6-3=3, и неравенство 3 3 выполнено (равенство, граничный случай). Оба значения подходят, и других целых решений нет. **Ответ:** x=-1 и x=3.

\(-1; 3\)