Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Мехмат МГУ (архив)
Вычислить logyx2x+logxy2y, если logyxx9=logyxy.
Перейдём к натуральным логарифмам. Положим p=lnx, q=lny. Чтобы все логарифмы в условии были определены, нужно x>0, y>0, а также чтобы основания были положительны и отличны от единицы. Основания yx и xy при x,y>0 положительны автоматически, а условие, что они не равны 1, означает x=y, то есть p=q. Основание y требует y>0, y=1, то есть q=0. При этих ограничениях по формуле перехода к новому основанию все логарифмы выражаются через p и q.
Преобразование условия. Имеем
logx/yx9=lnyxlnx9=p−q9p,logyxy=lnylnxy=21qq−p=q2(q−p).Условие logx/yx9=logyxy принимает вид
p−q9p=q2(q−p).Поскольку p=q и q=0, на знаменатели умножать можно. Удобно ввести отношение t=pq (заметим, что p=0: если бы было p=0, то левая часть равнялась бы 0, а правая — q2q=2=0, противоречие). Разделив числитель и знаменатель на p, получаем
1−t9=t2(t−1)=−t2(1−t).Умножая обе части на t(1−t), приходим к
9t=−2(1−t)2,то есть2(1−t)2+9t=0.Раскрывая скобки, 2−4t+2t2+9t=0, то есть
2t2+5t+2=0⟹t=4−5±25−16=4−5±3,откуда t=−2 или t=−21. Оба значения допустимы: t=1 (тогда p=q) и t=0 (тогда q=0). Например, относительно подходят пары y=x−2 при x=3 (тогда y=91) и y=x−1/2 при x=4 (тогда y=21) — для них x,y>0, x=y, y=1, так что искомые x,y, удовлетворяющие условию, действительно существуют.
Вычисление искомого выражения. Обозначим
u=logx/yx=p−qp,v=logy/xy=q−pq.Заметим важное тождество: при любых допустимых x,y
u+v=p−qp+q−pq=p−qp−p−qq=p−qp−q=1.Значит, искомая сумма квадратов выражается через u+v и произведение uv:
u2+v2=(u+v)2−2uv=1−2uv.Через t=pq имеем u=1−t1 и v=t−1t=−1−tt, поэтому
uv=−(1−t)2t.Подставим найденные значения t. При t=−2:
uv=−(1−(−2))2−2=92,а при t=−21:
uv=−(1+21)2−21=4921=92.В обоих случаях uv=92 (это естественно: замена t↦1/t меняет местами оба корня и одновременно меняет местами u и v, не затрагивая симметричное выражение). Следовательно,
logx/y2x+logy/x2y=u2+v2=1−2⋅92=1−94=95.Таким образом, при выполнении условия искомое выражение равно 95 независимо от того, какая из двух связей между x и y реализуется.