Вычислить log^2_((x)/(y)) x+log^2_((y)/(x)) y, если _((x)/(y)) x^9=_(sqrt(y))(y)/(x).

Перейдём к натуральным логарифмам. Положим p=ln x, q=ln y. Чтобы все логарифмы в условии были определены, нужно x>0, y>0, а также чтобы основания были положительны и отличны от единицы. Основания (x)/(y) и (y)/(x) при x,y>0 положительны автоматически, а условие, что они не равны 1, означает x!= y, то есть p!= q. Основание sqrt(y) требует y>0, y!= 1, то есть q!= 0. При этих ограничениях по формуле перехода к новому основанию все логарифмы выражаются через p и q. **Преобразование условия.** Имеем _(x/y) x^9=(ln x^9)/(lnxy)=(9p)/(p-q), _(sqrt(y))(y)/(x)=(lnyx)/((y))=(q-p)/(12 q)=(2(q-p))/(q). Условие _(x/y) x^9=_(sqrt(y))(y)/(x) принимает вид (9p)/(p-q)=(2(q-p))/(q). Поскольку p!= q и q!= 0, на знаменатели умножать можно. Удобно ввести отношение t=(q)/(p) (заметим, что p!= 0: если бы было p=0, то левая часть равнялась бы 0, а правая — (2q)/(q)=2!= 0, противоречие). Разделив числитель и знаменатель на p, получаем (9)/(1-t)=(2(t-1))/(t)=-(2(1-t))/(t). Умножая обе части на t(1-t), приходим к 9t=-2(1-t)^2, то есть 2(1-t)^2+9t=0. Раскрывая скобки, 2-4t+2t^2+9t=0, то есть 2t^2+5t+2=0 t=(-5+-sqrt(25-16))/(4)=(-5+- 3)/(4), откуда t=-2 или t=-12. Оба значения допустимы: t!= 1 (тогда p!= q) и t!= 0 (тогда q!= 0). Например, относительно подходят пары y=x^(-2) при x=3 (тогда y=19) и y=x^(-1/2) при x=4 (тогда y=12) — для них x,y>0, x!= y, y!= 1, так что искомые x,y, удовлетворяющие условию, действительно существуют. **Вычисление искомого выражения.** Обозначим u=_(x/y) x=(p)/(p-q), v=_(y/x) y=(q)/(q-p). Заметим важное тождество: при любых допустимых x,y u+v=(p)/(p-q)+(q)/(q-p)=(p)/(p-q)-(q)/(p-q)=(p-q)/(p-q)=1. Значит, искомая сумма квадратов выражается через u+v и произведение uv: u^2+v^2=(u+v)^2-2uv=1-2uv. Через t=(q)/(p) имеем u=(1)/(1-t) и v=(t)/(t-1)=-(t)/(1-t), поэтому uv=-(t)/((1-t)^2). Подставим найденные значения t. При t=-2: uv=-(-2)/((1-(-2))^2)=(2)/(9), а при t=-12: uv=-(-12)/((1+12)^2)=(12)/(94)=(2)/(9). В обоих случаях uv=29 (это естественно: замена t 1/t меняет местами оба корня и одновременно меняет местами u и v, не затрагивая симметричное выражение). Следовательно, log^2_(x/y) x+log^2_(y/x) y=u^2+v^2=1-2*(2)/(9)=1-(4)/(9)=(5)/(9). Таким образом, при выполнении условия искомое выражение равно (5)/(9) независимо от того, какая из двух связей между x и y реализуется.

\(\dfrac{5}{9}\)