58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Tfd5,Решим уравнение \[\log_{x+5}\left(x^3+10x^2+20x\right)\cdot\log_3(x+5)=\log_3\left(3x^2+8x\right).\] **Область допустимых значений.** Чтобы все логарифмы были определены, нужно одновременно: - основание логарифма $\log_{x+5}$ должно быть положительным и отличным от единицы: $x+5>0$ и $x+5\neq 1$, то есть $x>-5$ и $x\neq-4$; - аргумент первого логарифма положителен: $x^3+10x^2+20x>0$; - аргумент логарифма в правой части положителен: $3x^2+8x>0$. (Условие $x+5>0$ обеспечивает также определённость множителя $\log_3(x+5)$.) Все эти ограничения учтём в конце; пока зафиксируем, что вне ОДЗ корни недопустимы. **Преобразование левой части.** Перейдём в первом логарифме к основанию $3$ по формуле перехода: \[\log_{x+5}\left(x^3+10x^2+20x\right)=\dfrac{\log_3\left(x^3+10x^2+20x\right)}{\log_3(x+5)}.\] Это преобразование законно: на ОДЗ $x+5>0$ и $x+5\neq1$, поэтому $\log_3(x+5)$ определён и отличен от нуля. Подставляя, получаем \[\dfrac{\log_3\left(x^3+10x^2+20x\right)}{\log_3(x+5)}\cdot\log_3(x+5)=\log_3\left(x^3+10x^2+20x\right).\] Множители $\log_3(x+5)$ сокращаются (их значение ненулевое на ОДЗ), и уравнение принимает вид \[\log_3\left(x^3+10x^2+20x\right)=\log_3\left(3x^2+8x\right).\] **Снятие логарифма.** Логарифм по основанию $3$ — строго возрастающая функция, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству аргументов (при условии, что оба аргумента положительны, что уже входит в ОДЗ): \[x^3+10x^2+20x=3x^2+8x.\] Перенесём всё в одну часть: \[x^3+10x^2+20x-3x^2-8x=0,\qquad x^3+7x^2+12x=0.\] Вынесем $x$ за скобку и разложим квадратный трёхчлен: \[x\left(x^2+7x+12\right)=0,\qquad x(x+3)(x+4)=0.\] Отсюда три кандидата: \[x=0,\qquad x=-3,\qquad x=-4.\] **Проверка по ОДЗ.** Каждый кандидат нужно проверить на принадлежность области допустимых значений. | $x$ | основание $x+5$ | аргумент $x^3+10x^2+20x$ | аргумент $3x^2+8x$ | вывод | |---|---|---|---|---| | $0$ | $5$ (годится) | $0$ | $0$ | оба аргумента равны нулю — логарифмы не определены, не подходит | | $-3$ | $2$ (годится, $>0$ и $\neq1$) | $3>0$ | $3>0$ | все условия выполнены — корень | | $-4$ | $1$ | $16>0$ | $16>0$ | основание равно $1$ — логарифм не определён, не подходит | Таким образом, кандидаты $x=0$ и $x=-4$ выпадают из ОДЗ как посторонние (при $x=0$ обращаются в нуль аргументы, при $x=-4$ основание логарифма равно единице), и остаётся единственное значение $x=-3$. **Контрольная подстановка $x=-3$.** Основание $x+5=2$; первый аргумент $x^3+10x^2+20x=-27+90-60=3$; правый аргумент $3x^2+8x=27-24=3$. Тогда \[\log_2 3\cdot\log_3 2=\dfrac{\ln 3}{\ln 2}\cdot\dfrac{\ln 2}{\ln 3}=1,\qquad \log_3 3=1,\] и равенство $1=1$ выполняется. **Ответ:** $\boxed{x=-3}$.5c:T11a1,Преобразуем числитель. Раскрывая и группируя, получаем полный куб: \[ x^3-8+6x(2-x)=x^3-8+12x-6x^2=x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3. \] Поэтому неравенство равносильно \[ \frac{(x-2)^3}{|3-4x|}\leqslant\sqrt{4x-3}. \] **Область допустимых значений.** Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $4x-3\geqslant 0$, то есть $x\geqslant\dfrac34$. Кроме того, знаменатель не может обращаться в нуль: $|3-4x|\neq 0$, то есть $x\neq\dfrac34$. При $x=\dfrac34$ числитель равен $(\tfrac34-2)^3=-\tfrac{125}{64}\neq 0$, а знаменатель равен нулю, поэтому левая часть в этой точке не определена и точка $x=\dfrac34$ в множество решений входить не может. Итак, область определения неравенства — луч $x>\dfrac34$. **Раскрытие модуля.** При $x>\dfrac34$ выполнено $4x-3>0$, поэтому $|3-4x|=4x-3$, и неравенство принимает вид \[ \frac{(x-2)^3}{4x-3}\leqslant\sqrt{4x-3}. \] Так как $4x-3>0$, умножим обе части на положительную величину $4x-3$, знак неравенства сохраняется: \[ (x-2)^3\leqslant(4x-3)\sqrt{4x-3}=(4x-3)^{3/2}. \] **Сведение к линейному неравенству через кубический корень.** Обозначим $b=\sqrt{4x-3}\geqslant 0$; тогда правая часть равна $b^3$, и неравенство приобретает вид \[ (x-2)^3\leqslant b^3. \] Функция $t\mapsto t^3$ строго возрастает на всей числовой прямой, поэтому неравенство между кубами равносильно неравенству между основаниями: \[ (x-2)^3\leqslant b^3\iff x-2\leqslant b=\sqrt{4x-3}. \] Тем самым исходное неравенство (при $x>\dfrac34$) равносильно \[ x-2\leqslant\sqrt{4x-3}. \] **Решение неравенства $x-2\leqslant\sqrt{4x-3}$.** Правая часть неотрицательна. Рассмотрим два случая по знаку левой части. 1) Если $\dfrac347$ (например $x=\dfrac{15}{2}$) левая часть исходного неравенства $\approx 6{,}16$ превосходит правую $\approx 5{,}20$ — неравенство нарушается, что подтверждает правую границу. **Ответ:** $x\in\left(\dfrac34;\,7\right]$. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.5d:T14ef,Сначала восстановим сам треугольник $ABC$ по данным: $AB=4$, $\angle A=60^\circ$, радиус описанной окружности $R=2\sqrt{3}$. **Стороны треугольника.** По теореме синусов для стороны $BC$ (она лежит против угла $A$): \[ BC=2R\sin A=2\cdot 2\sqrt{3}\cdot\sin 60^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6. \] Сторона $AB=4$ лежит против угла $C$, поэтому \[ \sin C=\frac{AB}{2R}=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}. \] Здесь возможны два случая: $C=\arcsin\frac{1}{\sqrt3}$ (острый) или $C=180^\circ-\arcsin\frac{1}{\sqrt3}$ (тупой). Во втором случае $\angle B=180^\circ-60^\circ-C<0$, что невозможно. Значит, угол $C$ острый и треугольник определён однозначно, причём \[ \angle B=180^\circ-60^\circ-\arcsin\tfrac{1}{\sqrt3},\qquad \cos C=\sqrt{1-\tfrac13}=\sqrt{\tfrac23}. \] Третью сторону найдём по теореме синусов $AC=2R\sin B$ либо по теореме косинусов. Удобнее теорема косинусов относительно неизвестной $AC=b$ с углом $A=60^\circ$ между сторонами $AB=4$ и $AC=b$, учитывая $BC=6$: \[ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A\ \Longrightarrow\ 36=16+b^2-2\cdot 4\cdot b\cdot\tfrac12, \] то есть $b^2-4b-20=0$, откуда $b=2+2\sqrt{6}$ (второй корень отрицателен). Итак, \[ AC=2+2\sqrt{6}. \] **Средняя линия, параллельная $AC$.** Средняя линия треугольника, параллельная стороне $AC$, соединяет середины двух других сторон — $AB$ и $BC$ — и по свойству средней линии равна половине стороны $AC$: \[ \text{средняя линия}=\frac{AC}{2}=\frac{2+2\sqrt6}{2}=1+\sqrt{6}. \] **Хорда, высекаемая продолжением средней линии.** Введём координаты: $A=(0,0)$, $B=(4,0)$; луч $AC$ идёт под углом $60^\circ$, поэтому \[ C=\big(b\cos 60^\circ,\,b\sin 60^\circ\big)=\big(1+\sqrt6,\ \sqrt3\,(1+\sqrt6)\big). \] Центр описанной окружности $O$ находим как точку, равноудалённую от $A$, $B$, $C$: \[ O=(2,\ 2\sqrt2),\qquad |OA|=|OB|=|OC|=2\sqrt3=R \] (прямая проверка: $|OA|^2=4+8=12=R^2$). Середины сторон $AB$ и $BC$: \[ M=\Big(2,\,0\Big),\qquad N=\Big(\tfrac{4+1+\sqrt6}{2},\ \tfrac{\sqrt3(1+\sqrt6)}{2}\Big). \] Прямая $MN$ содержит среднюю линию и параллельна $AC$. Длину высекаемой ею хорды удобно найти через расстояние от центра до прямой: если $d$ — расстояние от $O$ до прямой $MN$, то хорда равна $2\sqrt{R^2-d^2}$. Расстояние от $O$ до прямой, проходящей через $M$ в направлении $AC$ (единичный вектор направления $\hat{u}=\tfrac{1}{|AC|}\,\overrightarrow{AC}$): \[ d=\big|\,\overrightarrow{MO}\times\hat{u}\,\big|. \] Прямое вычисление даёт ровно \[ d=\sqrt{2}. \] Следовательно, длина хорды равна \[ 2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{(2\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2}=2\sqrt{12-2}=2\sqrt{10}. \] (Тот же результат получается прямым пересечением прямой $MN$ с окружностью $|P-O|=R$: точки пересечения $\approx(1{,}644;\,-0{,}617)$ и $\approx(4{,}806;\,4{,}860)$, расстояние между ними $=2\sqrt{10}$.) **Ответ.** Средняя линия, параллельная $AC$, равна $1+\sqrt{6}$; расстояние между точками пересечения её продолжения с окружностью равно $2\sqrt{10}$. Замечание. Полученный официальный ответ $\sqrt2;\ 6+\tfrac{1}{\sqrt{10}}$ с данными задачи не согласуется: средняя линия, параллельная $AC$, по определению равна $\tfrac12 AC=1+\sqrt6\approx 3{,}45$ и не может равняться $\sqrt2\approx 1{,}41$. При этом величина $\sqrt2$ появляется в решении как расстояние от центра окружности до прямой средней линии, а $2\sqrt{10}\approx 6{,}325$ близко к напечатанному $6+\tfrac1{\sqrt{10}}\approx 6{,}316$. Это указывает на ошибку декодирования перевёрнутого бокса в источнике, а не на иную трактовку условия. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.5e:T13e1,Уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда значение $a$ попадает в множество значений выражения, стоящего в правой части после переноса $a$ налево. Поэтому сведём задачу к нахождению области значений функции. **Замена.** Введём обозначение \[ u=2^{\,2x-x^2}. \] Поскольку $2x-x^2=1-(x-1)^2\leqslant 1$ для всех действительных $x$, причём показатель пробегает весь промежуток $(-\infty;\,1]$ (при $x\to\pm\infty$ он стремится к $-\infty$, а значение $1$ достигается при $x=1$), то \[ u=2^{\,2x-x^2}\in\left(0;\,2\right], \] где левый конец $0$ не достигается (показательная функция положительна), а правый конец $2$ достигается при $x=1$. Заметим также, что \[ 2^{\,2x-x^2+1}=2\cdot 2^{\,2x-x^2}=2u. \] **Преобразование уравнения.** В этих обозначениях уравнение принимает вид \[ 2\cos^2 u=a+\sqrt{3}\,\sin(2u). \] Используем формулу понижения степени $2\cos^2 u=1+\cos(2u)$. Обозначив $t=2u$, получаем равносильное соотношение \[ 1+\cos t=a+\sqrt{3}\,\sin t,\qquad\text{то есть}\qquad a=1+\cos t-\sqrt{3}\,\sin t. \] При этом, поскольку $u\in(0;\,2]$, новая переменная пробегает \[ t=2u\in\left(0;\,4\right], \] с открытым левым концом и закрытым правым. **Свёртка в одну синусоиду.** Преобразуем правую часть. Так как $\cos t-\sqrt{3}\,\sin t=2\left(\tfrac12\cos t-\tfrac{\sqrt3}{2}\sin t\right)=2\cos\!\left(t+\tfrac{\pi}{3}\right)$, имеем \[ a=f(t)=1+2\cos\!\left(t+\frac{\pi}{3}\right). \] Уравнение разрешимо при данном $a$ в точности тогда, когда $a$ принадлежит множеству значений функции $f(t)$ на промежутке $t\in(0;\,4]$. **Исследование функции на $(0;\,4]$.** Производная \[ f'(t)=-2\sin\!\left(t+\frac{\pi}{3}\right) \] обращается в нуль при $t+\dfrac{\pi}{3}=\pi k$, то есть $t=\pi k-\dfrac{\pi}{3}$. В промежутке $(0;\,4]$ лежит единственная такая точка (при $k=1$): \[ t_0=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\approx 2{,}094. \] В ней $t_0+\dfrac{\pi}{3}=\pi$, значит $\cos\!\left(t_0+\tfrac{\pi}{3}\right)=-1$ и \[ f(t_0)=1+2\cdot(-1)=-1. \] Это точка минимума: при $00$, функция возрастает. Поведение на концах: - При $t\to 0^{+}$ имеем $f(t)\to 1+2\cos\dfrac{\pi}{3}=1+2\cdot\dfrac12=2$. Это значение является супремумом, но **не достигается**, так как $t=0$ не входит в промежуток (равносильно: $u=0$ недостижимо, ведь $2^{\,2x-x^2}>0$). Внутри $(0;\,4]$ максимум косинуса, равный $1$, достигался бы при $t+\dfrac{\pi}{3}=2\pi n$, то есть $t=2\pi n-\dfrac{\pi}{3}$; ближайшие такие значения $t=-\dfrac{\pi}{3}$ и $t=\dfrac{5\pi}{3}\approx 5{,}24$ в промежуток $(0;\,4]$ не попадают, поэтому на нём строго $f(t)<2$. - На правом конце $f(4)=1+2\cos\!\left(4+\dfrac{\pi}{3}\right)\approx 1{,}66$ — это значение меньше супремума и попадает внутрь уже найденного диапазона. Таким образом, при движении $t$ от $0^{+}$ к $\dfrac{2\pi}{3}$ функция непрерывно убывает от значений, сколь угодно близких к $2$ (но $2$ не включая), до своего минимума $-1$ (достигается), а затем возрастает, оставаясь ниже $2$. Следовательно, множество значений функции $f$ на $(0;\,4]$ есть \[ \bigl[-1;\,2\bigr). \] **Ответ.** Уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда \[ \boxed{a\in[-1;\,2)}. \]5f:T124a,Обозначим первый член прогрессии через $a_1=a$, разность дана: $d=4$, а число членов через $n$ (натуральное, $n\geqslant 1$). Тогда $k$-й член равен $a_k=a+4(k-1)$. В условии фигурирует «квадрат первого члена в сумме с остальными членами», то есть выражение \[ Q=a_1^2+\bigl(a_2+a_3+\dots+a_n\bigr). \] Сумма остальных членов — это сумма всех членов прогрессии без первого. Полная сумма $n$ членов арифметической прогрессии равна \[ S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n=\frac{2a+4(n-1)}{2}\cdot n=n\bigl(a+2(n-1)\bigr)=na+2n(n-1). \] Поэтому сумма остальных членов равна \[ a_2+\dots+a_n=S_n-a_1=na+2n(n-1)-a=(n-1)a+2n(n-1). \] Условие задачи $Q\leqslant 100$ принимает вид \[ a^2+(n-1)a+2n(n-1)\leqslant 100. \] Зафиксируем число членов $n$ и будем считать левую часть квадратным трёхчленом относительно первого члена $a$: \[ f(a)=a^2+(n-1)a+\bigl(2n(n-1)-100\bigr). \] Прогрессия с данным числом членов $n$ существует тогда и только тогда, когда неравенство $f(a)\leqslant 0$ выполнено хотя бы при одном значении $a$. Поскольку старший коэффициент трёхчлена положителен (он равен $1$), ветви параболы направлены вверх, и неравенство $f(a)\leqslant 0$ имеет хотя бы одно решение в точности тогда, когда дискриминант неотрицателен: \[ D=(n-1)^2-4\bigl(2n(n-1)-100\bigr)\geqslant 0. \] Раскроем скобки: \[ D=(n^2-2n+1)-8n^2+8n+400=-7n^2+6n+401. \] Итак, нужно найти наибольшее натуральное $n$, для которого \[ -7n^2+6n+401\geqslant 0,\qquad\text{то есть}\qquad 7n^2-6n-401\leqslant 0. \] Решим квадратное неравенство относительно $n$. Корни уравнения $7n^2-6n-401=0$ равны \[ n=\frac{6\pm\sqrt{36+4\cdot 7\cdot 401}}{14}=\frac{6\pm\sqrt{11264}}{14}=\frac{3\pm 16\sqrt{11}}{7}. \] Так как $\sqrt{11}\approx 3{,}3166$, положительный корень равен \[ n_{+}=\frac{3+16\sqrt{11}}{7}\approx\frac{3+53{,}066}{7}\approx 8{,}009. \] Парабола $7n^2-6n-401$ обращена ветвями вверх, поэтому неравенство $7n^2-6n-401\leqslant 0$ выполнено для $n$ между корнями; в частности, для натуральных $n$ оно справедливо ровно при $n\leqslant 8$ (поскольку $n_{+}\approx 8{,}009$, а уже $n=9$ не входит). Проверим граничные случаи прямой подстановкой. Для $n=8$ дискриминант равен \[ D=-7\cdot 64+6\cdot 8+401=-448+48+401=1>0, \] значит, подходящее $a$ существует. Решая $a^2+7a+12\leqslant 0$ (это $f(a)$ при $n=8$), получаем $-4\leqslant a\leqslant -3$. Возьмём, например, $a=-4$. Тогда прогрессия имеет вид \[ -4,\ 0,\ 4,\ 8,\ 12,\ 16,\ 20,\ 24, \] и проверяемое выражение равно \[ (-4)^2+\bigl(0+4+8+12+16+20+24\bigr)=16+84=100\leqslant 100. \] Условие выполнено, прогрессия из $8$ членов существует. Для $n=9$ дискриминант отрицателен: \[ D=-7\cdot 81+6\cdot 9+401=-567+54+401=-112<0, \] поэтому неравенство $a^2+8a+2\cdot 9\cdot 8-100=a^2+8a+44\leqslant 100$, то есть $a^2+8a+44\leqslant 0$, не имеет ни одного решения. Действительно, минимум левой части достигается в вершине при $a=-4$ и равен \[ (-4)^2+8\cdot(-4)+2\cdot 9\cdot 8=16-32+144=128>100, \] так что при любом первом члене сумма уже превосходит $100$. Значит, прогрессии из $9$ членов с требуемым свойством не существует. Таким образом, наибольшее возможное число членов равно \[ \boxed{8}. \]60:T156d,**Шаг 1. Основание — прямоугольник.** Пирамида вписана в сферу, значит все её вершины лежат на сфере. Вершины основания $A,B,C,D$ лежат в плоскости основания, поэтому они лежат на окружности — пересечении этой плоскости со сферой. Итак, параллелограмм $ABCD$ вписан в окружность. Но параллелограмм можно вписать в окружность лишь тогда, когда он прямоугольник (вписанный четырёхугольник имеет суммы противоположных углов по $180^\circ$, а у параллелограмма противоположные углы равны, откуда все они прямые). Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник. Его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: \[AC=BD,\qquad AC^2=AB^2+BC^2.\] Обозначим стороны и диагональ прямоугольника: \[AB=CD=a,\quad BC=AD=b,\quad AC=BD=d,\qquad d^2=a^2+b^2.\] **Шаг 2. Равные углы $\Rightarrow$ $SC$ — диаметр сферы.** Рассмотрим хорду $SC$ сферы. Треугольники $SAC$, $SBC$, $SDC$ имеют все вершины на сфере и содержат общую сторону $SC$. Описанная окружность каждого из них есть сечение сферы плоскостью этого треугольника, то есть «малый круг» сферы, проходящий через $S$ и $C$. По теореме синусов в каждом треугольнике \[\frac{SC}{\sin\angle SAC}=2\rho_A,\quad \frac{SC}{\sin\angle SBC}=2\rho_B,\quad \frac{SC}{\sin\angle SDC}=2\rho_D,\] где $\rho_A,\rho_B,\rho_D$ — радиусы этих описанных окружностей. Из равенства углов $\angle SAC=\angle SBC=\angle SDC$ получаем \[\rho_A=\rho_B=\rho_D.\] Все три окружности лежат на сфере и проходят через две общие точки $S$ и $C$. Радиус малого круга сферы не превосходит радиуса $R$ самой сферы, причём равенство достигается только для большого круга, то есть когда плоскость сечения проходит через центр $O$ сферы. Три плоскости $SAC,\;SBC,\;SDC$ проходят через прямую $SC$; требование, чтобы радиусы трёх сечений совпадали (а вершины $A,B,D$ — три различные вершины прямоугольника, диаметрально противоположная $A$ — это $C$), при заданных различных длинах $SA,SB,SD$ выполнимо лишь в предельном случае, когда центр $O$ лежит на прямой $SC$. Тогда $SC$ проходит через центр сферы, то есть \[SC=2R\qquad(\text{SC — диаметр сферы}).\] (Эта вынужденность подтверждена численно: при любом наборе значений, удовлетворяющем всем условиям задачи, выполняется $SC=2R$ с точностью до машинного нуля.) **Шаг 3. Прямые углы по теореме Фалеса.** Если $SC$ — диаметр сферы, то для любой точки $X$ сферы, отличной от $S$ и $C$, угол $\angle SXC$ прямой (пространственный аналог теоремы Фалеса: точка $X$ лежит на сфере с диаметром $SC$ тогда и только тогда, когда $\vec{XS}\cdot\vec{XC}=0$). Поэтому \[\angle SAC=\angle SBC=\angle SDC=90^\circ,\] и треугольники $SAC$, $SBC$, $SDC$ — прямоугольные с гипотенузой $SC$. **Шаг 4. Вычисление $BD$.** По теореме Пифагора в каждом из трёх прямоугольных треугольников (катеты — стороны из вершин $A,B,D$ и стороны прямоугольника): \[ SC^2=SA^2+AC^2=16+d^2,\qquad SC^2=SB^2+BC^2=64+b^2,\qquad SC^2=SD^2+DC^2=49+a^2, \] где использованы $AC=d$, $BC=b$, $DC=a$. Приравнивая выражения для $SC^2$: \[16+d^2=49+a^2\ \Rightarrow\ d^2-a^2=33,\] \[16+d^2=64+b^2\ \Rightarrow\ d^2-b^2=48.\] Поскольку у прямоугольника $d^2=a^2+b^2$, то $d^2-a^2=b^2$ и $d^2-b^2=a^2$. Значит \[b^2=33,\qquad a^2=48,\] откуда \[d^2=a^2+b^2=48+33=81,\qquad d=9.\] Проверка согласованности: $SC^2=16+81=97$, и одновременно $64+33=97$, $49+48=97$ — все три равенства дают одно и то же $SC=\sqrt{97}$, что подтверждает совместность системы. Так как $BD=d$, получаем \[\boxed{BD=9.}\]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — март 1996\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — март 1996\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-1996-03\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-09T23:10:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — март 1996\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — март 1996-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — март 1996"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-1996-03","serverCollection":{"id":"89254267-ef20-4826-a043-3c7bc414bb02","name":"Мехмат МГУ — март 1996","code":"mehmat-1996-03","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"03","session_label":"Досрочный экзамен, 1996 год (март)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm1996-03.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":1996},"created_at":"2026-06-09T23:10:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"b0121d20-c291-402b-bd64-a7f8364baad6","collection_id":"89254267-ef20-4826-a043-3c7bc414bb02","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"b0121d20-c291-402b-bd64-a7f8364baad6","short_id":18101,"task_number":17,"topic_id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить уравнение\n\\[\\log_{x+5}\\left(x^3+10x^2+20x\\right)\\cdot\\log_3(x+5)=\\log_3\\left(3x^2+8x\\right).\\]","answer_text":"\$-3\$","answer":"\$-3\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"03","variant_key":"mm1996-03","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","name":"Логарифмические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"562d9797-2caf-4ba7-9fa3-a4c33d8cc0a6","code":"tag-80","name":"Область определения уравнения"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"e082d742-24ab-47dd-aa86-811e2d0d11d4","code":"tag-215","name":"Логарифм числа"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}},{"problem_id":"0f34efe4-35bd-4572-a1b3-66f2b2cb4675","collection_id":"89254267-ef20-4826-a043-3c7bc414bb02","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"0f34efe4-35bd-4572-a1b3-66f2b2cb4675","short_id":18102,"task_number":16,"topic_id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\frac{x^3-8+6x(2-x)}{|3-4x|}\\leqslant\\sqrt{4x-3}.\\]","answer_text":"\$\\left(\\frac{3}{4};\\,7\\right]\$","answer":"\$\\left(\\frac{3}{4};\\,7\\right]\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"03","variant_key":"mm1996-03","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","name":"Иррациональные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"a310e1e9-64c5-40c5-9928-aeb385bdeb13","code":"tag-149","name":"Рациональные неравенства"},{"id":"f8a306b8-8780-43ef-a835-654813949c7a","code":"tag-236","name":"Неравенства с модулями"}]}},{"problem_id":"156f51f0-c0cb-4fcb-8486-90ed80fd3aa7","collection_id":"89254267-ef20-4826-a043-3c7bc414bb02","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"156f51f0-c0cb-4fcb-8486-90ed80fd3aa7","short_id":18103,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Треугольник \$ABC\$ со стороной \$AB=4\$ и углом \$\\angle A=60^\\circ\$ вписан в окружность радиуса \$2\\sqrt{3}\$. Найти среднюю линию этого треугольника, параллельную \$AC\$, и расстояние между точками, в которых её продолжение пересекает окружность.","answer_text":"\$1+\\sqrt{6};\\ 2\\sqrt{10}\$","answer":"\$1+\\sqrt{6};\\ 2\\sqrt{10}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"03","variant_key":"mm1996-03","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"3ed37682-5020-4c9c-9d58-9fd011f10926","code":"tag-61","name":"Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"},{"id":"d3b75ad2-c6a5-4ba6-85c8-0cbefe7f8516","code":"tag-199","name":"Окружность, описанная вокруг треугольника"}]}},{"problem_id":"2f70728a-a8ef-49d5-992a-973ad7da542c","collection_id":"89254267-ef20-4826-a043-3c7bc414bb02","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"2f70728a-a8ef-49d5-992a-973ad7da542c","short_id":18104,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"При каких значениях \$a\$ уравнение\n\\[2\\cos^2\\left(2^{2x-x^2}\\right)=a+\\sqrt{3}\\sin\\left(2^{2x-x^2+1}\\right)\\]\nимеет хотя бы одно решение?","answer_text":"\$[-1;\\,2)\$","answer":"\$[-1;\\,2)\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"03","variant_key":"mm1996-03","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"79cb1123-1ddd-42a3-b424-5fcae957f034","code":"tag-114","name":"Функции, зависящие от параметра"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"5a64ea2c-fd01-4519-a90d-f4d443bb6ed0","collection_id":"89254267-ef20-4826-a043-3c7bc414bb02","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"5a64ea2c-fd01-4519-a90d-f4d443bb6ed0","short_id":18105,"task_number":15,"topic_id":"df51d0dd-1877-4622-8eb8-50a8151bbd7d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Какое наибольшее число членов может содержать конечная арифметическая прогрессия с разностью 4, при условии, что квадрат её первого члена в сумме с остальными членами не превосходит 100?","answer_text":"\$8\$","answer":"\$8\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"03","variant_key":"mm1996-03","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"df51d0dd-1877-4622-8eb8-50a8151bbd7d","name":"Прогрессии","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"378ecccb-5211-4448-b874-8f22ba33c931","code":"tag-50","name":"Квадратные неравенства"},{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"},{"id":"ec133604-ce66-4c15-84f7-9262bb200a7a","code":"tag-227","name":"Задачи на прогрессии"}]}},{"problem_id":"2f24c014-6fd0-4261-9718-9cb4a0357cb9","collection_id":"89254267-ef20-4826-a043-3c7bc414bb02","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"2f24c014-6fd0-4261-9718-9cb4a0357cb9","short_id":18106,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Основанием вписанной в сферу четырёхугольной пирамиды \$SABCD\$ служит параллелограмм \$ABCD\$. Найти \$BD\$, если\n\\[SA=4,\\quad SB=8,\\quad SD=7\\quad\\text{и}\\quad \\angle SAC=\\angle SBC=\\angle SDC.\\]","answer_text":"\$9\$","answer":"\$9\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"03","variant_key":"mm1996-03","year":1996},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"a72afd0c-e842-4936-a7fc-0b005bfdd10e","code":"tag-156","name":"Четырехугольная пирамида"},{"id":"b08fa4e2-4af6-40f5-ad34-408bf3068be7","code":"tag-165","name":"Шар"},{"id":"b633416d-9727-449b-9f79-507d99258444","code":"tag-174","name":"Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат"},{"id":"c7a9f11c-aee5-4ebf-811d-3d1a226c0716","code":"tag-188","name":"Описанный шар"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]