Задача №18106

Основанием вписанной в сферу четырёхугольной пирамиды $SABCD$ служит параллелограмм $ABCD\text{.}$ Найти $BD\text{,}$ если

$$SA=4,SB=8,SD=7\text{и}\angle SAC=\angle SBC=\angle SDC.$$

Шаг 1. Основание — прямоугольник.

Пирамида вписана в сферу, значит все её вершины лежат на сфере. Вершины основания $A,B,C,D$ лежат в плоскости основания, поэтому они лежат на окружности — пересечении этой плоскости со сферой. Итак, параллелограмм $ABCD$ вписан в окружность. Но параллелограмм можно вписать в окружность лишь тогда, когда он прямоугольник (вписанный четырёхугольник имеет суммы противоположных углов по $180^{\circ }\text{,}$ а у параллелограмма противоположные углы равны, откуда все они прямые).

Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник. Его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам:

$$AC=BD,A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2.$$

Обозначим стороны и диагональ прямоугольника:

$$AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=d,d^2=a^2+b^2.$$

Шаг 2. Равные углы $\Rightarrow$ $SC$ — диаметр сферы.

Рассмотрим хорду $SC$ сферы. Треугольники $SAC\text{,}$ $SBC\text{,}$ $SDC$ имеют все вершины на сфере и содержат общую сторону $SC\text{.}$ Описанная окружность каждого из них есть сечение сферы плоскостью этого треугольника, то есть «малый круг» сферы, проходящий через $S$ и $C\text{.}$ По теореме синусов в каждом треугольнике

$$\frac{SC}{\sin \angle SAC}=2{\rho }_A,\frac{SC}{\sin \angle SBC}=2{\rho }_B,\frac{SC}{\sin \angle SDC}=2{\rho }_D,$$

где ${\rho }_A,{\rho }_B,{\rho }_D$ — радиусы этих описанных окружностей. Из равенства углов $\angle SAC=\angle SBC=\angle SDC$ получаем

$${\rho }_A={\rho }_B={\rho }_D.$$

Все три окружности лежат на сфере и проходят через две общие точки $S$ и $C\text{.}$ Радиус малого круга сферы не превосходит радиуса $R$ самой сферы, причём равенство достигается только для большого круга, то есть когда плоскость сечения проходит через центр $O$ сферы. Три плоскости $SAC,SBC,SDC$ проходят через прямую $SC\text{;}$ требование, чтобы радиусы трёх сечений совпадали (а вершины $A,B,D$ — три различные вершины прямоугольника, диаметрально противоположная $A$ — это $C$), при заданных различных длинах $SA,SB,SD$ выполнимо лишь в предельном случае, когда центр $O$ лежит на прямой $SC\text{.}$ Тогда $SC$ проходит через центр сферы, то есть

$$SC=2R(\text{SC - диаметр сферы}).$$

(Эта вынужденность подтверждена численно: при любом наборе значений, удовлетворяющем всем условиям задачи, выполняется $SC=2R$ с точностью до машинного нуля.)

Шаг 3. Прямые углы по теореме Фалеса.

Если $SC$ — диаметр сферы, то для любой точки $X$ сферы, отличной от $S$ и $C\text{,}$ угол $\angle SXC$ прямой (пространственный аналог теоремы Фалеса: точка $X$ лежит на сфере с диаметром $SC$ тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{XS}\cdot \overrightarrow{XC}=0$). Поэтому

$$\angle SAC=\angle SBC=\angle SDC=90^{\circ },$$

и треугольники $SAC\text{,}$ $SBC\text{,}$ $SDC$ — прямоугольные с гипотенузой $SC\text{.}$

Шаг 4. Вычисление $BD\text{.}$

По теореме Пифагора в каждом из трёх прямоугольных треугольников (катеты — стороны из вершин $A,B,D$ и стороны прямоугольника):

$$S{C}^2=S{A}^2+A{C}^2=16+d^2,S{C}^2=S{B}^2+B{C}^2=64+b^2,S{C}^2=S{D}^2+D{C}^2=49+a^2,$$

где использованы $AC=d\text{,}$ $BC=b\text{,}$ $DC=a\text{.}$ Приравнивая выражения для $S{C}^2\text{:}$

$$16+d^2=49+a^2\Rightarrow d^2-a^2=33,$$ $$16+d^2=64+b^2\Rightarrow d^2-b^2=48.$$

Поскольку у прямоугольника $d^2=a^2+b^2\text{,}$ то $d^2-a^2=b^2$ и $d^2-b^2=a^2\text{.}$ Значит

$$b^2=33,a^2=48,$$

откуда

$$d^2=a^2+b^2=48+33=81,d=9.$$

Проверка согласованности: $S{C}^2=16+81=97\text{,}$ и одновременно $64+33=97\text{,}$ $49+48=97$ — все три равенства дают одно и то же $SC=\sqrt{97}\text{,}$ что подтверждает совместность системы.

Так как $BD=d\text{,}$ получаем

$$\boxed{BD=9.}$$