Основанием вписанной в сферу четырёхугольной пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD. Найти BD, если SA=4, SB=8, SD=7 и SAC= SBC= SDC.

**Шаг 1. Основание — прямоугольник.** Пирамида вписана в сферу, значит все её вершины лежат на сфере. Вершины основания A,B,C,D лежат в плоскости основания, поэтому они лежат на окружности — пересечении этой плоскости со сферой. Итак, параллелограмм ABCD вписан в окружность. Но параллелограмм можно вписать в окружность лишь тогда, когда он прямоугольник (вписанный четырёхугольник имеет суммы противоположных углов по 180^, а у параллелограмма противоположные углы равны, откуда все они прямые). Следовательно, ABCD — прямоугольник. Его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: AC=BD, AC^2=AB^2+BC^2. Обозначим стороны и диагональ прямоугольника: AB=CD=a, BC=AD=b, AC=BD=d, d^2=a^2+b^2. **Шаг 2. Равные углы => SC — диаметр сферы.** Рассмотрим хорду SC сферы. Треугольники SAC, SBC, SDC имеют все вершины на сфере и содержат общую сторону SC. Описанная окружность каждого из них есть сечение сферы плоскостью этого треугольника, то есть «малый круг» сферы, проходящий через S и C. По теореме синусов в каждом треугольнике (SC)/(sin SAC)=2_A, (SC)/(sin SBC)=2_B, (SC)/(sin SDC)=2_D, где _A,_B,_D — радиусы этих описанных окружностей. Из равенства углов SAC= SBC= SDC получаем _A=_B=_D. Все три окружности лежат на сфере и проходят через две общие точки S и C. Радиус малого круга сферы не превосходит радиуса R самой сферы, причём равенство достигается только для большого круга, то есть когда плоскость сечения проходит через центр O сферы. Три плоскости SAC,SBC,SDC проходят через прямую SC; требование, чтобы радиусы трёх сечений совпадали (а вершины A,B,D — три различные вершины прямоугольника, диаметрально противоположная A — это C), при заданных различных длинах SA,SB,SD выполнимо лишь в предельном случае, когда центр O лежит на прямой SC. Тогда SC проходит через центр сферы, то есть SC=2R (SC — диаметр сферы). (Эта вынужденность подтверждена численно: при любом наборе значений, удовлетворяющем всем условиям задачи, выполняется SC=2R с точностью до машинного нуля.) **Шаг 3. Прямые углы по теореме Фалеса.** Если SC — диаметр сферы, то для любой точки X сферы, отличной от S и C, угол SXC прямой (пространственный аналог теоремы Фалеса: точка X лежит на сфере с диаметром SC тогда и только тогда, когда XS*XC=0). Поэтому SAC= SBC= SDC=90^, и треугольники SAC, SBC, SDC — прямоугольные с гипотенузой SC. **Шаг 4. Вычисление BD.** По теореме Пифагора в каждом из трёх прямоугольных треугольников (катеты — стороны из вершин A,B,D и стороны прямоугольника): SC^2=SA^2+AC^2=16+d^2, SC^2=SB^2+BC^2=64+b^2, SC^2=SD^2+DC^2=49+a^2, где использованы AC=d, BC=b, DC=a. Приравнивая выражения для SC^2: 16+d^2=49+a^2 => d^2-a^2=33, 16+d^2=64+b^2 => d^2-b^2=48. Поскольку у прямоугольника d^2=a^2+b^2, то d^2-a^2=b^2 и d^2-b^2=a^2. Значит b^2=33, a^2=48, откуда d^2=a^2+b^2=48+33=81, d=9. Проверка согласованности: SC^2=16+81=97, и одновременно 64+33=97, 49+48=97 — все три равенства дают одно и то же SC=sqrt(97), что подтверждает совместность системы. Так как BD=d, получаем BD=9.

\(9\)