Какое наибольшее число членов может содержать конечная арифметическая прогрессия с разностью 4, при условии, что квадрат её первого члена в сумме с остальными членами не превосходит 100?

Обозначим первый член прогрессии через a_1=a, разность дана: d=4, а число членов через n (натуральное, n 1). Тогда k-й член равен a_k=a+4(k-1). В условии фигурирует «квадрат первого члена в сумме с остальными членами», то есть выражение Q=a_1^2+(a_2+a_3++a_n). Сумма остальных членов — это сумма всех членов прогрессии без первого. Полная сумма n членов арифметической прогрессии равна S_n=(2a_1+(n-1)d)/(2)* n=(2a+4(n-1))/(2)* n=n(a+2(n-1))=na+2n(n-1). Поэтому сумма остальных членов равна a_2++a_n=S_n-a_1=na+2n(n-1)-a=(n-1)a+2n(n-1). Условие задачи Q 100 принимает вид a^2+(n-1)a+2n(n-1) 100. Зафиксируем число членов n и будем считать левую часть квадратным трёхчленом относительно первого члена a: f(a)=a^2+(n-1)a+(2n(n-1)-100). Прогрессия с данным числом членов n существует тогда и только тогда, когда неравенство f(a) 0 выполнено хотя бы при одном значении a. Поскольку старший коэффициент трёхчлена положителен (он равен 1), ветви параболы направлены вверх, и неравенство f(a) 0 имеет хотя бы одно решение в точности тогда, когда дискриминант неотрицателен: D=(n-1)^2-4(2n(n-1)-100) 0. Раскроем скобки: D=(n^2-2n+1)-8n^2+8n+400=-7n^2+6n+401. Итак, нужно найти наибольшее натуральное n, для которого -7n^2+6n+401 0, то есть 7n^2-6n-401 0. Решим квадратное неравенство относительно n. Корни уравнения 7n^2-6n-401=0 равны n=(6+-sqrt(36+4* 7* 401))/(14)=(6+-sqrt(11264))/(14)=(3+- 16sqrt(11))/(7). Так как sqrt(11)~ 3,3166, положительный корень равен n_(+)=(3+16sqrt(11))/(7)~(3+53,066)/(7)~ 8,009. Парабола 7n^2-6n-401 обращена ветвями вверх, поэтому неравенство 7n^2-6n-401 0 выполнено для n между корнями; в частности, для натуральных n оно справедливо ровно при n 8 (поскольку n_(+)~ 8,009, а уже n=9 не входит). Проверим граничные случаи прямой подстановкой. Для n=8 дискриминант равен D=-7* 64+6* 8+401=-448+48+401=1>0, значит, подходящее a существует. Решая a^2+7a+12 0 (это f(a) при n=8), получаем -4 a -3. Возьмём, например, a=-4. Тогда прогрессия имеет вид -4, 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, и проверяемое выражение равно (-4)^2+(0+4+8+12+16+20+24)=16+84=100 100. Условие выполнено, прогрессия из 8 членов существует. Для n=9 дискриминант отрицателен: D=-7* 81+6* 9+401=-567+54+401=-112<0, поэтому неравенство a^2+8a+2* 9* 8-100=a^2+8a+44 100, то есть a^2+8a+44 0, не имеет ни одного решения. Действительно, минимум левой части достигается в вершине при a=-4 и равен (-4)^2+8*(-4)+2* 9* 8=16-32+144=128>100, так что при любом первом члене сумма уже превосходит 100. Значит, прогрессии из 9 членов с требуемым свойством не существует. Таким образом, наибольшее возможное число членов равно 8.

\(8\)