Какое наибольшее число членов может содержать конечная арифметическая прогрессия с разностью 4, при условии, что квадрат её первого члена в сумме с остальными членами не превосходит 100?
Обозначим первый член прогрессии через a1=a, разность дана: d=4, а число членов через n (натуральное, n⩾1). Тогда k-й член равен ak=a+4(k−1).
В условии фигурирует «квадрат первого члена в сумме с остальными членами», то есть выражение
Q=a12+(a2+a3+⋯+an).Сумма остальных членов — это сумма всех членов прогрессии без первого. Полная сумма n членов арифметической прогрессии равна
Sn=22a1+(n−1)d⋅n=22a+4(n−1)⋅n=n(a+2(n−1))=na+2n(n−1).Поэтому сумма остальных членов равна
a2+⋯+an=Sn−a1=na+2n(n−1)−a=(n−1)a+2n(n−1).Условие задачи Q⩽100 принимает вид
a2+(n−1)a+2n(n−1)⩽100.Зафиксируем число членов n и будем считать левую часть квадратным трёхчленом относительно первого члена a:
f(a)=a2+(n−1)a+(2n(n−1)−100).Прогрессия с данным числом членов n существует тогда и только тогда, когда неравенство f(a)⩽0 выполнено хотя бы при одном значении a. Поскольку старший коэффициент трёхчлена положителен (он равен 1), ветви параболы направлены вверх, и неравенство f(a)⩽0 имеет хотя бы одно решение в точности тогда, когда дискриминант неотрицателен:
D=(n−1)2−4(2n(n−1)−100)⩾0.Раскроем скобки:
D=(n2−2n+1)−8n2+8n+400=−7n2+6n+401.Итак, нужно найти наибольшее натуральное n, для которого
−7n2+6n+401⩾0,то есть7n2−6n−401⩽0.Решим квадратное неравенство относительно n. Корни уравнения 7n2−6n−401=0 равны
n=146±36+4⋅7⋅401=146±11264=73±1611.Так как 11≈3,3166, положительный корень равен
n+=73+1611≈73+53,066≈8,009.Парабола 7n2−6n−401 обращена ветвями вверх, поэтому неравенство 7n2−6n−401⩽0 выполнено для n между корнями; в частности, для натуральных n оно справедливо ровно при n⩽8 (поскольку n+≈8,009, а уже n=9 не входит).
Проверим граничные случаи прямой подстановкой.
Для n=8 дискриминант равен
D=−7⋅64+6⋅8+401=−448+48+401=1>0,значит, подходящее a существует. Решая a2+7a+12⩽0 (это f(a) при n=8), получаем −4⩽a⩽−3. Возьмём, например, a=−4. Тогда прогрессия имеет вид
−4, 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,и проверяемое выражение равно
(−4)2+(0+4+8+12+16+20+24)=16+84=100⩽100.Условие выполнено, прогрессия из 8 членов существует.
Для n=9 дискриминант отрицателен:
D=−7⋅81+6⋅9+401=−567+54+401=−112<0,поэтому неравенство a2+8a+2⋅9⋅8−100=a2+8a+44⩽100, то есть a2+8a+44⩽0, не имеет ни одного решения. Действительно, минимум левой части достигается в вершине при a=−4 и равен
(−4)2+8⋅(−4)+2⋅9⋅8=16−32+144=128>100,так что при любом первом члене сумма уже превосходит 100. Значит, прогрессии из 9 членов с требуемым свойством не существует.
Таким образом, наибольшее возможное число членов равно
8.Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Мехмат МГУ (архив)