Задача №18103

Треугольник $ABC$ со стороной $AB=4$ и углом $\angle A=60^{\circ }$ вписан в окружность радиуса $2\sqrt{3}\text{.}$ Найти среднюю линию этого треугольника, параллельную $AC\text{,}$ и расстояние между точками, в которых её продолжение пересекает окружность.

Сначала восстановим сам треугольник $ABC$ по данным: $AB=4\text{,}$ $\angle A=60^{\circ }\text{,}$ радиус описанной окружности $R=2\sqrt{3}\text{.}$

Стороны треугольника. По теореме синусов для стороны $BC$ (она лежит против угла $A$):

Сторона $AB=4$ лежит против угла $C\text{,}$ поэтому

Здесь возможны два случая: $C=\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}$ (острый) или $C=180^{\circ }-\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}$ (тупой). Во втором случае $\angle B=180^{\circ }-60^{\circ }-C<0\text{,}$ что невозможно. Значит, угол $C$ острый и треугольник определён однозначно, причём

Третью сторону найдём по теореме синусов $AC=2R\sin B$ либо по теореме косинусов. Удобнее теорема косинусов относительно неизвестной $AC=b$ с углом $A=60^{\circ }$ между сторонами $AB=4$ и $AC=b\text{,}$ учитывая $BC=6\text{:}$

то есть $b^2-4b-20=0\text{,}$ откуда $b=2+2\sqrt{6}$ (второй корень отрицателен). Итак,

Средняя линия, параллельная $AC\text{.}$ Средняя линия треугольника, параллельная стороне $AC\text{,}$ соединяет середины двух других сторон — $AB$ и $BC$ — и по свойству средней линии равна половине стороны $AC\text{:}$

Хорда, высекаемая продолжением средней линии. Введём координаты: $A=(0,0)\text{,}$ $B=(4,0)\text{;}$ луч $AC$ идёт под углом $60^{\circ }\text{,}$ поэтому

Центр описанной окружности $O$ находим как точку, равноудалённую от $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{:}$

(прямая проверка: $|OA{|}^2=4+8=12=R^2$).

Середины сторон $AB$ и $BC\text{:}$

Прямая $MN$ содержит среднюю линию и параллельна $AC\text{.}$ Длину высекаемой ею хорды удобно найти через расстояние от центра до прямой: если $d$ — расстояние от $O$ до прямой $MN\text{,}$ то хорда равна $2\sqrt{R^2-d^2}\text{.}$

Расстояние от $O$ до прямой, проходящей через $M$ в направлении $AC$ (единичный вектор направления $\hat{u}=\frac{1}{|AC|}\overrightarrow{AC}$):

Прямое вычисление даёт ровно

Следовательно, длина хорды равна

(Тот же результат получается прямым пересечением прямой $MN$ с окружностью $|P-O|=R\text{:}$ точки пересечения $\approx (1,644;-0,617)$ и $\approx (4,806;4,860)\text{,}$ расстояние между ними $=2\sqrt{10}\text{.}$)

Ответ. Средняя линия, параллельная $AC\text{,}$ равна $1+\sqrt{6}\text{;}$ расстояние между точками пересечения её продолжения с окружностью равно $2\sqrt{10}\text{.}$

Замечание. Полученный официальный ответ $\sqrt{2};6+\frac{1}{\sqrt{10}}$ с данными задачи не согласуется: средняя линия, параллельная $AC\text{,}$ по определению равна $\frac{1}{2}AC=1+\sqrt{6}\approx 3,45$ и не может равняться $\sqrt{2}\approx 1,41\text{.}$ При этом величина $\sqrt{2}$ появляется в решении как расстояние от центра окружности до прямой средней линии, а $2\sqrt{10}\approx 6,325$ близко к напечатанному $6+\frac{1}{\sqrt{10}}\approx 6,316\text{.}$ Это указывает на ошибку декодирования перевёрнутого бокса в источнике, а не на иную трактовку условия.

Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.