Треугольник ABC со стороной AB=4 и углом A=60^ вписан в окружность радиуса 2sqrt(3). Найти среднюю линию этого треугольника, параллельную AC, и расстояние между точками, в которых её продолжение пересекает окружность.

Сначала восстановим сам треугольник ABC по данным: AB=4, A=60^, радиус описанной окружности R=2sqrt(3). **Стороны треугольника.** По теореме синусов для стороны BC (она лежит против угла A): BC=2Rsin A=2* 2sqrt(3)*sin 60^=4sqrt(3)*(sqrt(3))/(2)=6. Сторона AB=4 лежит против угла C, поэтому sin C=(AB)/(2R)=(4)/(4sqrt(3))=(1)/(sqrt(3)). Здесь возможны два случая: C=arcsin(1)/(3) (острый) или C=180^-arcsin(1)/(3) (тупой). Во втором случае B=180^-60^-C<0, что невозможно. Значит, угол C острый и треугольник определён однозначно, причём B=180^-60^-arcsin(1)/(3), cos C=sqrt(1-13)=sqrt(23). Третью сторону найдём по теореме синусов AC=2Rsin B либо по теореме косинусов. Удобнее теорема косинусов относительно неизвестной AC=b с углом A=60^ между сторонами AB=4 и AC=b, учитывая BC=6: BC^2=AB^2+AC^2-2* AB* ACcos A 36=16+b^2-2* 4* b*12, то есть b^2-4b-20=0, откуда b=2+2sqrt(6) (второй корень отрицателен). Итак, AC=2+2sqrt(6). **Средняя линия, параллельная AC.** Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, соединяет середины двух других сторон — AB и BC — и по свойству средней линии равна половине стороны AC: средняя линия=(AC)/(2)=(2+26)/(2)=1+sqrt(6). **Хорда, высекаемая продолжением средней линии.** Введём координаты: A=(0,0), B=(4,0); луч AC идёт под углом 60^, поэтому C=(bcos 60^,bsin 60^)=(1+6, 3(1+6)). Центр описанной окружности O находим как точку, равноудалённую от A, B, C: O=(2, 22), |OA|=|OB|=|OC|=23=R (прямая проверка: |OA|^2=4+8=12=R^2). Середины сторон AB и BC: M=(2,0), N=((4+1+6)/(2), (3(1+6))/(2)). Прямая MN содержит среднюю линию и параллельна AC. Длину высекаемой ею хорды удобно найти через расстояние от центра до прямой: если d — расстояние от O до прямой MN, то хорда равна 2sqrt(R^2-d^2). Расстояние от O до прямой, проходящей через M в направлении AC (единичный вектор направления u=(1)/(|AC|)AC): d=|MO*u|. Прямое вычисление даёт ровно d=sqrt(2). Следовательно, длина хорды равна 2sqrt(R^2-d^2)=2sqrt((23)^2-(2)^2)=2sqrt(12-2)=2sqrt(10). (Тот же результат получается прямым пересечением прямой MN с окружностью |P-O|=R: точки пересечения ~(1,644;-0,617) и ~(4,806;4,860), расстояние между ними =2sqrt(10).) **Ответ.** Средняя линия, параллельная AC, равна 1+sqrt(6); расстояние между точками пересечения её продолжения с окружностью равно 2sqrt(10). Замечание. Полученный официальный ответ 2; 6+(1)/(sqrt(10)) с данными задачи не согласуется: средняя линия, параллельная AC, по определению равна 12 AC=1+6~ 3,45 и не может равняться 2~ 1,41. При этом величина 2 появляется в решении как расстояние от центра окружности до прямой средней линии, а 2sqrt(10)~ 6,325 близко к напечатанному 6+1sqrt(10)~ 6,316. Это указывает на ошибку декодирования перевёрнутого бокса в источнике, а не на иную трактовку условия. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(1+\sqrt{6};\ 2\sqrt{10}\)