Задача №18101

Решить уравнение

$${\log }_{x+5}\left(x^3+10x^2+20x\right)\cdot {\log }_3(x+5)={\log }_3\left(3x^2+8x\right).$$

Решим уравнение

$${\log }_{x+5}\left(x^3+10x^2+20x\right)\cdot {\log }_3(x+5)={\log }_3\left(3x^2+8x\right).$$

Область допустимых значений. Чтобы все логарифмы были определены, нужно одновременно:

• основание логарифма ${\log }_{x+5}$ должно быть положительным и отличным от единицы: $x+5>0$ и $x+5\ne 1\text{,}$ то есть $x>-5$ и $x\ne -4\text{;}$
• аргумент первого логарифма положителен: $x^3+10x^2+20x>0\text{;}$
• аргумент логарифма в правой части положителен: $3x^2+8x>0\text{.}$

(Условие $x+5>0$ обеспечивает также определённость множителя ${\log }_3(x+5)\text{.}$) Все эти ограничения учтём в конце; пока зафиксируем, что вне ОДЗ корни недопустимы.

Преобразование левой части. Перейдём в первом логарифме к основанию $3$ по формуле перехода:

$${\log }_{x+5}\left(x^3+10x^2+20x\right)=\frac{{\log }_3\left(x^3+10x^2+20x\right)}{{\log }_3(x+5)}.$$

Это преобразование законно: на ОДЗ $x+5>0$ и $x+5\ne 1\text{,}$ поэтому ${\log }_3(x+5)$ определён и отличен от нуля. Подставляя, получаем

$$\frac{{\log }_3\left(x^3+10x^2+20x\right)}{{\log }_3(x+5)}\cdot {\log }_3(x+5)={\log }_3\left(x^3+10x^2+20x\right).$$

Множители ${\log }_3(x+5)$ сокращаются (их значение ненулевое на ОДЗ), и уравнение принимает вид

$${\log }_3\left(x^3+10x^2+20x\right)={\log }_3\left(3x^2+8x\right).$$

Снятие логарифма. Логарифм по основанию $3$ — строго возрастающая функция, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству аргументов (при условии, что оба аргумента положительны, что уже входит в ОДЗ):

$$x^3+10x^2+20x=3x^2+8x.$$

Перенесём всё в одну часть:

$$x^3+10x^2+20x-3x^2-8x=0,x^3+7x^2+12x=0.$$

Вынесем $x$ за скобку и разложим квадратный трёхчлен:

$$x\left(x^2+7x+12\right)=0,x(x+3)(x+4)=0.$$

Отсюда три кандидата:

$$x=0,x=-3,x=-4.$$

Проверка по ОДЗ. Каждый кандидат нужно проверить на принадлежность области допустимых значений.

Таким образом, кандидаты $x=0$ и $x=-4$ выпадают из ОДЗ как посторонние (при $x=0$ обращаются в нуль аргументы, при $x=-4$ основание логарифма равно единице), и остаётся единственное значение $x=-3\text{.}$

Контрольная подстановка $x=-3\text{.}$ Основание $x+5=2\text{;}$ первый аргумент $x^3+10x^2+20x=-27+90-60=3\text{;}$ правый аргумент $3x^2+8x=27-24=3\text{.}$ Тогда

$${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}2=\frac{\ln 3}{\ln 2}\cdot \frac{\ln 2}{\ln 3}=1,{\log }_{3}3=1,$$

и равенство $1=1$ выполняется.

Ответ: $\boxed{x=-3}\text{.}$