Решить уравнение _(x+5)(x^3+10x^2+20x)*_3(x+5)=_3(3x^2+8x).

Решим уравнение _(x+5)(x^3+10x^2+20x)*_3(x+5)=_3(3x^2+8x). **Область допустимых значений.** Чтобы все логарифмы были определены, нужно одновременно: - основание логарифма _(x+5) должно быть положительным и отличным от единицы: x+5>0 и x+5!= 1, то есть x>-5 и x!=-4; - аргумент первого логарифма положителен: x^3+10x^2+20x>0; - аргумент логарифма в правой части положителен: 3x^2+8x>0. (Условие x+5>0 обеспечивает также определённость множителя _3(x+5).) Все эти ограничения учтём в конце; пока зафиксируем, что вне ОДЗ корни недопустимы. **Преобразование левой части.** Перейдём в первом логарифме к основанию 3 по формуле перехода: _(x+5)(x^3+10x^2+20x)=(_3(x^3+10x^2+20x))/(_3(x+5)). Это преобразование законно: на ОДЗ x+5>0 и x+51, поэтому _3(x+5) определён и отличен от нуля. Подставляя, получаем (_3(x^3+10x^2+20x))/(_3(x+5))*_3(x+5)=_3(x^3+10x^2+20x). Множители _3(x+5) сокращаются (их значение ненулевое на ОДЗ), и уравнение принимает вид _3(x^3+10x^2+20x)=_3(3x^2+8x). **Снятие логарифма.** Логарифм по основанию 3 — строго возрастающая функция, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству аргументов (при условии, что оба аргумента положительны, что уже входит в ОДЗ): x^3+10x^2+20x=3x^2+8x. Перенесём всё в одну часть: x^3+10x^2+20x-3x^2-8x=0, x^3+7x^2+12x=0. Вынесем x за скобку и разложим квадратный трёхчлен: x(x^2+7x+12)=0, x(x+3)(x+4)=0. Отсюда три кандидата: x=0, x=-3, x=-4. **Проверка по ОДЗ.** Каждый кандидат нужно проверить на принадлежность области допустимых значений. | x | основание x+5 | аргумент x^3+10x^2+20x | аргумент 3x^2+8x | вывод | |---|---|---|---|---| | 0 | 5 (годится) | 0 | 0 | оба аргумента равны нулю — логарифмы не определены, не подходит | | -3 | 2 (годится, >0 и 1) | 3>0 | 3>0 | все условия выполнены — корень | | -4 | 1 | 16>0 | 16>0 | основание равно 1 — логарифм не определён, не подходит | Таким образом, кандидаты x=0 и x=-4 выпадают из ОДЗ как посторонние (при x=0 обращаются в нуль аргументы, при x=-4 основание логарифма равно единице), и остаётся единственное значение x=-3. **Контрольная подстановка x=-3.** Основание x+5=2; первый аргумент x^3+10x^2+20x=-27+90-60=3; правый аргумент 3x^2+8x=27-24=3. Тогда _2 3*_3 2=(ln 3)/(ln 2)*(ln 2)/(ln 3)=1, _3 3=1, и равенство 1=1 выполняется. **Ответ:** x=-3.

\(-3\)