Решить неравенство (x^3-8+6x(2-x))/(|3-4x|)(4x-3).

Преобразуем числитель. Раскрывая и группируя, получаем полный куб: x^3-8+6x(2-x)=x^3-8+12x-6x^2=x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3. Поэтому неравенство равносильно ((x-2)^3)/(|3-4x|)(4x-3). **Область допустимых значений.** Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 4x-3 0, то есть x34. Кроме того, знаменатель не может обращаться в нуль: |3-4x|!= 0, то есть x!=34. При x=34 числитель равен (34-2)^3=-(125)/(64)!= 0, а знаменатель равен нулю, поэтому левая часть в этой точке не определена и точка x=34 в множество решений входить не может. Итак, область определения неравенства — луч x>34. **Раскрытие модуля.** При x>34 выполнено 4x-3>0, поэтому |3-4x|=4x-3, и неравенство принимает вид ((x-2)^3)/(4x-3)(4x-3). Так как 4x-3>0, умножим обе части на положительную величину 4x-3, знак неравенства сохраняется: (x-2)^3(4x-3)sqrt(4x-3)=(4x-3)^(3/2). **Сведение к линейному неравенству через кубический корень.** Обозначим b=sqrt(4x-3) 0; тогда правая часть равна b^3, и неравенство приобретает вид (x-2)^3 b^3. Функция t t^3 строго возрастает на всей числовой прямой, поэтому неравенство между кубами равносильно неравенству между основаниями: (x-2)^3 b^3 x-2 b=sqrt(4x-3). Тем самым исходное неравенство (при x>34) равносильно x-2(4x-3). **Решение неравенства x-2(4x-3).** Правая часть неотрицательна. Рассмотрим два случая по знаку левой части. 1) Если 34<x<2, то x-2<0(4x-3), и неравенство выполнено автоматически. Весь промежуток (34;2) входит в ответ. 2) Если x 2, то обе части неотрицательны, и неравенство равносильно неравенству для квадратов: (x-2)^2 4x-3 x^2-4x+4 4x-3 x^2-8x+7 0(x-1)(x-7) 0, откуда 1 x 7. С учётом x 2 получаем 2 x 7. Объединяя оба случая, имеем (34;2)U[2;7]=(34;7]. **Проверка границ.** При x=7: x-2=5 и sqrt(4*7-3)=sqrt(25)=5, достигается равенство, точка входит в ответ. Корень x=1, появившийся при возведении в квадрат, посторонний: при x=1 левая часть x-2=-1 отрицательна, а sqrt(4x-3)=1, и хотя неравенство -1 1 верно, эта точка уже учтена в первом случае (как точка промежутка (34;2)); никаких новых решений она не даёт и нарушения не вносит. При x>7 (например x=(15)/(2)) левая часть исходного неравенства ~ 6,16 превосходит правую ~ 5,20 — неравенство нарушается, что подтверждает правую границу. **Ответ:** xin(34;7]. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(\left(\frac{3}{4};\,7\right]\)