Задача №18102

Решить неравенство

$$\frac{x^3-8+6x(2-x)}{|3-4x|}⩽\sqrt{4x-3}.$$

Преобразуем числитель. Раскрывая и группируя, получаем полный куб:

$$x^3-8+6x(2-x)=x^3-8+12x-6x^2=x^3-6x^2+12x-8=(x-2{)}^3.$$

Поэтому неравенство равносильно

$$\frac{(x-2{)}^3}{|3-4x|}⩽\sqrt{4x-3}.$$

Область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $4x-3⩾0\text{,}$ то есть $x⩾\frac{3}{4}\text{.}$ Кроме того, знаменатель не может обращаться в нуль: $|3-4x|\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne \frac{3}{4}\text{.}$ При $x=\frac{3}{4}$ числитель равен $(\frac{3}{4}-2{)}^3=-\frac{125}{64}\ne 0\text{,}$ а знаменатель равен нулю, поэтому левая часть в этой точке не определена и точка $x=\frac{3}{4}$ в множество решений входить не может. Итак, область определения неравенства — луч $x>\frac{3}{4}\text{.}$

Раскрытие модуля. При $x>\frac{3}{4}$ выполнено $4x-3>0\text{,}$ поэтому $|3-4x|=4x-3\text{,}$ и неравенство принимает вид

$$\frac{(x-2{)}^3}{4x-3}⩽\sqrt{4x-3}.$$

Так как $4x-3>0\text{,}$ умножим обе части на положительную величину $4x-3\text{,}$ знак неравенства сохраняется:

$$(x-2{)}^3⩽(4x-3)\sqrt{4x-3}=(4x-3{)}^{3/2}.$$

Сведение к линейному неравенству через кубический корень. Обозначим $b=\sqrt{4x-3}⩾0\text{;}$ тогда правая часть равна $b^3\text{,}$ и неравенство приобретает вид

$$(x-2{)}^3⩽b^3.$$

Функция $t\mapsto t^3$ строго возрастает на всей числовой прямой, поэтому неравенство между кубами равносильно неравенству между основаниями:

$$(x-2{)}^3⩽b^3⟺x-2⩽b=\sqrt{4x-3}.$$

Тем самым исходное неравенство (при $x>\frac{3}{4}$) равносильно

$$x-2⩽\sqrt{4x-3}.$$

Решение неравенства $x-2⩽\sqrt{4x-3}\text{.}$ Правая часть неотрицательна. Рассмотрим два случая по знаку левой части.

1) Если $\frac{3}{4}<x<2\text{,}$ то $x-2<0⩽\sqrt{4x-3}\text{,}$ и неравенство выполнено автоматически. Весь промежуток $\left(\frac{3}{4};2\right)$ входит в ответ.

2) Если $x⩾2\text{,}$ то обе части неотрицательны, и неравенство равносильно неравенству для квадратов:

$$(x-2{)}^2⩽4x-3⟺x^2-4x+4⩽4x-3⟺x^2-8x+7⩽0⟺(x-1)(x-7)⩽0,$$

откуда $1⩽x⩽7\text{.}$ С учётом $x⩾2$ получаем $2⩽x⩽7\text{.}$

Объединяя оба случая, имеем $\left(\frac{3}{4};2\right)\cup [2;7]=\left(\frac{3}{4};7\right]\text{.}$

Проверка границ. При $x=7\text{:}$ $x-2=5$ и $\sqrt{4\cdot 7-3}=\sqrt{25}=5\text{,}$ достигается равенство, точка входит в ответ. Корень $x=1\text{,}$ появившийся при возведении в квадрат, посторонний: при $x=1$ левая часть $x-2=-1$ отрицательна, а $\sqrt{4x-3}=1\text{,}$ и хотя неравенство $-1⩽1$ верно, эта точка уже учтена в первом случае (как точка промежутка $\left(\frac{3}{4};2\right)$); никаких новых решений она не даёт и нарушения не вносит. При $x>7$ (например $x=\frac{15}{2}$) левая часть исходного неравенства $\approx 6,16$ превосходит правую $\approx 5,20$ — неравенство нарушается, что подтверждает правую границу.

Ответ: $x\in \left(\frac{3}{4};7\right]\text{.}$

Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.