При каких значениях a уравнение 2cos^2(2^(2x-x^2))=a+sqrt(3)sin(2^(2x-x^2+1)) имеет хотя бы одно решение?

Уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда значение a попадает в множество значений выражения, стоящего в правой части после переноса a налево. Поэтому сведём задачу к нахождению области значений функции. **Замена.** Введём обозначение u=2^(2x-x^2). Поскольку 2x-x^2=1-(x-1)^2 1 для всех действительных x, причём показатель пробегает весь промежуток (-inf;1] (при x+-inf он стремится к -inf, а значение 1 достигается при x=1), то u=2^(2x-x^2)in(0;2], где левый конец 0 не достигается (показательная функция положительна), а правый конец 2 достигается при x=1. Заметим также, что 2^(2x-x^2+1)=2* 2^(2x-x^2)=2u. **Преобразование уравнения.** В этих обозначениях уравнение принимает вид 2cos^2 u=a+sqrt(3)sin(2u). Используем формулу понижения степени 2cos^2 u=1+cos(2u). Обозначив t=2u, получаем равносильное соотношение 1+cos t=a+sqrt(3)sin t, то есть a=1+cos t-sqrt(3)sin t. При этом, поскольку uin(0;2], новая переменная пробегает t=2uin(0;4], с открытым левым концом и закрытым правым. **Свёртка в одну синусоиду.** Преобразуем правую часть. Так как cos t-sqrt(3)sin t=2(12cos t-(3)/(2)sin t)=2cos(t+(pi)/(3)), имеем a=f(t)=1+2cos(t+(pi)/(3)). Уравнение разрешимо при данном a в точности тогда, когда a принадлежит множеству значений функции f(t) на промежутке tin(0;4]. **Исследование функции на (0;4].** Производная f'(t)=-2sin(t+(pi)/(3)) обращается в нуль при t+(pi)/(3)=pi k, то есть t=pi k-(pi)/(3). В промежутке (0;4] лежит единственная такая точка (при k=1): t_0=pi-(pi)/(3)=(2pi)/(3)~ 2,094. В ней t_0+(pi)/(3)=pi, значит cos(t_0+(pi)/(3))=-1 и f(t_0)=1+2*(-1)=-1. Это точка минимума: при 0<t<(2pi)/(3) аргумент t+(pi)/(3)in((pi)/(3);pi), его синус положителен, поэтому f'(t)<0 и функция убывает; при (2pi)/(3)<t 4 аргумент t+(pi)/(3)in(pi;4+(pi)/(3)] даёт отрицательный синус, f'(t)>0, функция возрастает. Поведение на концах: - При t 0^(+) имеем f(t) 1+2cos(pi)/(3)=1+2*12=2. Это значение является супремумом, но **не достигается**, так как t=0 не входит в промежуток (равносильно: u=0 недостижимо, ведь 2^(2x-x^2)>0). Внутри (0;4] максимум косинуса, равный 1, достигался бы при t+(pi)/(3)=2pi n, то есть t=2pi n-(pi)/(3); ближайшие такие значения t=-(pi)/(3) и t=(5pi)/(3)~ 5,24 в промежуток (0;4] не попадают, поэтому на нём строго f(t)<2. - На правом конце f(4)=1+2cos(4+(pi)/(3))~ 1,66 — это значение меньше супремума и попадает внутрь уже найденного диапазона. Таким образом, при движении t от 0^(+) к (2pi)/(3) функция непрерывно убывает от значений, сколь угодно близких к 2 (но 2 не включая), до своего минимума -1 (достигается), а затем возрастает, оставаясь ниже 2. Следовательно, множество значений функции f на (0;4] есть [-1;2). **Ответ.** Уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда ain[-1;2).

\([-1;\,2)\)