Задача №18104

При каких значениях $a$ уравнение

$$2{\cos }^2\left(2^{2x-x^2}\right)=a+\sqrt{3}\sin \left(2^{2x-x^2+1}\right)$$

имеет хотя бы одно решение?

Уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда значение $a$ попадает в множество значений выражения, стоящего в правой части после переноса $a$ налево. Поэтому сведём задачу к нахождению области значений функции.

Замена. Введём обозначение

$$u=2^{2x-x^2}.$$

Поскольку $2x-x^2=1-(x-1{)}^2⩽1$ для всех действительных $x\text{,}$ причём показатель пробегает весь промежуток $(-\infty ;1]$ (при $x\to \pm \infty$ он стремится к $-\infty \text{,}$ а значение $1$ достигается при $x=1$), то

$$u=2^{2x-x^2}\in \left(0;2\right],$$

где левый конец $0$ не достигается (показательная функция положительна), а правый конец $2$ достигается при $x=1\text{.}$ Заметим также, что

$$2^{2x-x^2+1}=2\cdot 2^{2x-x^2}=2u.$$

Преобразование уравнения. В этих обозначениях уравнение принимает вид

$$2{\cos }^{2}u=a+\sqrt{3}\sin (2u).$$

Используем формулу понижения степени $2{\cos }^{2}u=1+\cos (2u)\text{.}$ Обозначив $t=2u\text{,}$ получаем равносильное соотношение

$$1+\cos t=a+\sqrt{3}\sin t,\text{то есть}a=1+\cos t-\sqrt{3}\sin t.$$

При этом, поскольку $u\in (0;2]\text{,}$ новая переменная пробегает

$$t=2u\in \left(0;4\right],$$

с открытым левым концом и закрытым правым.

Свёртка в одну синусоиду. Преобразуем правую часть. Так как $\cos t-\sqrt{3}\sin t=2\left(\frac{1}{2}\cos t-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin t\right)=2\cos \left(t+\frac{\pi }{3}\right)\text{,}$ имеем

$$a=f(t)=1+2\cos \left(t+\frac{\pi }{3}\right).$$

Уравнение разрешимо при данном $a$ в точности тогда, когда $a$ принадлежит множеству значений функции $f(t)$ на промежутке $t\in (0;4]\text{.}$

Исследование функции на $(0;4]\text{.}$ Производная

$$f^{\prime }(t)=-2\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right)$$

обращается в нуль при $t+\frac{\pi }{3}=\pi k\text{,}$ то есть $t=\pi k-\frac{\pi }{3}\text{.}$ В промежутке $(0;4]$ лежит единственная такая точка (при $k=1$):

$$t_0=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}\approx 2,094.$$

В ней $t_0+\frac{\pi }{3}=\pi \text{,}$ значит $\cos \left(t_0+\frac{\pi }{3}\right)=-1$ и

$$f(t_0)=1+2\cdot (-1)=-1.$$

Это точка минимума: при $0<t<\frac{2\pi }{3}$ аргумент $t+\frac{\pi }{3}\in \left(\frac{\pi }{3};\pi \right)\text{,}$ его синус положителен, поэтому $f^{\prime }(t)<0$ и функция убывает; при $\frac{2\pi }{3}<t⩽4$ аргумент $t+\frac{\pi }{3}\in \left(\pi ;4+\frac{\pi }{3}\right]$ даёт отрицательный синус, $f^{\prime }(t)>0\text{,}$ функция возрастает.

Поведение на концах:

• При $t\to 0^{+}$ имеем $f(t)\to 1+2\cos \frac{\pi }{3}=1+2\cdot \frac{1}{2}=2\text{.}$ Это значение является супремумом, но не достигается, так как $t=0$ не входит в промежуток (равносильно: $u=0$ недостижимо, ведь $2^{2x-x^2}>0$). Внутри $(0;4]$ максимум косинуса, равный $1\text{,}$ достигался бы при $t+\frac{\pi }{3}=2\pi n\text{,}$ то есть $t=2\pi n-\frac{\pi }{3}\text{;}$ ближайшие такие значения $t=-\frac{\pi }{3}$ и $t=\frac{5\pi }{3}\approx 5,24$ в промежуток $(0;4]$ не попадают, поэтому на нём строго $f(t)<2\text{.}$
• На правом конце $f(4)=1+2\cos \left(4+\frac{\pi }{3}\right)\approx 1,66$ — это значение меньше супремума и попадает внутрь уже найденного диапазона.

Таким образом, при движении $t$ от $0^{+}$ к $\frac{2\pi }{3}$ функция непрерывно убывает от значений, сколь угодно близких к $2$ (но $2$ не включая), до своего минимума $-1$ (достигается), а затем возрастает, оставаясь ниже $2\text{.}$ Следовательно, множество значений функции $f$ на $(0;4]$ есть

$$[-1;2).$$

Ответ. Уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда

$$\boxed{a\in [-1;2)}.$$