58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Tc54,Требуется найти наибольшее целое число $k$, удовлетворяющее неравенству \[4\cdot 3^{2k+1}+3^k\leqslant 1.\] **Сведение к квадратному неравенству.** Введём замену $t=3^k$. Поскольку показательная функция $3^k$ принимает только положительные значения, имеем $t>0$ при любом вещественном $k$. Преобразуем левую часть, используя свойства степеней: \[3^{2k+1}=3^{1}\cdot 3^{2k}=3\,(3^{k})^{2}=3t^{2},\qquad 3^{k}=t.\] Тогда исходное неравенство принимает вид \[4\cdot 3t^{2}+t\leqslant 1,\qquad\text{то есть}\qquad 12t^{2}+t-1\leqslant 0.\] **Решение неравенства относительно $t$.** Разложим квадратный трёхчлен на множители. Корни уравнения $12t^{2}+t-1=0$ находим по формуле \[t=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+48}}{24}=\dfrac{-1\pm 7}{24},\] откуда $t_{1}=\dfrac{6}{24}=\dfrac14$ и $t_{2}=\dfrac{-8}{24}=-\dfrac13$. Значит, \[12t^{2}+t-1=(4t-1)(3t+1).\] Поскольку $t>0$, множитель $3t+1>0$ всегда положителен, и знак произведения $(4t-1)(3t+1)$ совпадает со знаком множителя $4t-1$. Поэтому неравенство $(4t-1)(3t+1)\leqslant 0$ при $t>0$ равносильно условию \[4t-1\leqslant 0,\qquad\text{то есть}\qquad t\leqslant \dfrac14.\] **Возврат к переменной $k$.** Вспоминая, что $t=3^k$, получаем \[3^{k}\leqslant \dfrac14.\] Прологарифмируем по основанию $3$ (функция $\log_3$ возрастает, знак неравенства сохраняется): \[k\leqslant \log_{3}\dfrac14=-\log_{3}4.\] Оценим правую часть. Так как $3^{1}=3<4<9=3^{2}$, имеем $1<\log_{3}4<2$, причём точнее $\log_{3}4=\dfrac{2\ln 2}{\ln 3}\approx 1{,}262$. Следовательно, \[k\leqslant -\log_{3}4\approx -1{,}26.\] **Отбор наибольшего целого.** Среди целых чисел, не превосходящих $-1{,}26$, наибольшим является $k=-2$ (следующее целое $k=-1$ уже больше $-1{,}26$ и условию не удовлетворяет). Проверим граничные значения подстановкой в исходное неравенство. Для $k=-2$: \[4\cdot 3^{2(-2)+1}+3^{-2}=4\cdot 3^{-3}+3^{-2}=\dfrac{4}{27}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{4}{27}+\dfrac{3}{27}=\dfrac{7}{27}\leqslant 1\quad\text{— верно.}\] Для $k=-1$: \[4\cdot 3^{2(-1)+1}+3^{-1}=4\cdot 3^{-1}+3^{-1}=\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}>1\quad\text{— неверно.}\] Таким образом, наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, равно $\boxed{-2}$.5c:Td80,Нужно решить неравенство \[\dfrac{2}{\dfrac{2}{\log_2 x}-1}>-3.\] **Область допустимых значений.** Логарифм $\log_2 x$ определён при $x>0$. Кроме того, в записи участвуют две дроби, знаменатели которых не должны обращаться в нуль: - внутренний знаменатель $\log_2 x$ должен быть отличен от нуля, то есть $\log_2 x\neq 0$, откуда $x\neq 1$; - внешний знаменатель $\dfrac{2}{\log_2 x}-1$ должен быть отличен от нуля; равенство $\dfrac{2}{\log_2 x}-1=0$ даёт $\log_2 x=2$, то есть $x=4$, и эта точка исключается. Итак, ОДЗ: $x>0,\ x\neq 1,\ x\neq 4$. **Замена переменной.** Положим $t=\log_2 x$. При $x>0$ величина $t$ пробегает всю числовую прямую, причём ограничения ОДЗ превращаются в $t\neq 0$ (это $x=1$) и $t\neq 2$ (это $x=4$). Преобразуем левую часть: \[\dfrac{2}{\dfrac{2}{t}-1}=\dfrac{2}{\dfrac{2-t}{t}}=\dfrac{2t}{2-t}.\] Неравенство принимает вид \[\dfrac{2t}{2-t}>-3.\] **Решение дробно-рационального неравенства.** Переносим $-3$ влево и приводим к общему знаменателю: \[\dfrac{2t}{2-t}+3>0\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{2t+3(2-t)}{2-t}>0\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{6-t}{2-t}>0.\] Умножим числитель и знаменатель на $-1$ (это не меняет знака дроби, так как меняются знаки и сверху, и снизу): \[\dfrac{t-6}{t-2}>0.\] Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. Нули: $t=6$ и $t=2$. Расставим знаки на числовой прямой: | Промежуток | $t<2$ | $26$ | |---|---|---|---| | знак $t-6$ | $-$ | $-$ | $+$ | | знак $t-2$ | $-$ | $+$ | $+$ | | знак дроби | $+$ | $-$ | $+$ | Значит, неравенство по $t$ выполнено при \[t<2\quad\text{или}\quad t>6.\] Точка $t=2$ и без того исключена из ОДЗ (там обращается в нуль внешний знаменатель), а граница $t=6$ даёт равенство $\dfrac{2t}{2-t}=-3$, а не строгое неравенство, поэтому тоже не входит. **Возврат к переменной $x$.** Вспоминаем, что $t=\log_2 x$, и учитываем исключённую точку $t=0$ (то есть $x=1$). Случай $t<2$: \[\log_2 x<2\quad\Longleftrightarrow\quad 06\): \[\log_2 x>6\quad\Longleftrightarrow\quad x>2^6=64,\] то есть $(64;+\infty)$; граница $x=64$ не входит (там равенство). **Ответ.** \[\boxed{(0;1)\cup(1;4)\cup(64;+\infty)}.\]5d:T11fc,Произведение $\sqrt{\sin 3x}\cdot\operatorname{tg}\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ определено лишь там, где одновременно подкоренное выражение неотрицательно и тангенс существует, то есть на области допустимых значений \[\begin{cases}\sin 3x\geqslant 0,\\ \cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\neq 0.\end{cases}\] Второе условие означает $2x-\dfrac{\pi}{6}\neq\dfrac{\pi}{2}+\pi t$, то есть $x\neq\dfrac{\pi}{3}+\pi t,\ t\in\mathbb{Z}$. На этой области уравнение равносильно тому, что хотя бы один из множителей обращается в нуль. Разберём два случая. **Случай 1: первый множитель равен нулю.** Здесь $\sqrt{\sin 3x}=0$, то есть $\sin 3x=0$ (требование $\sin 3x\geqslant 0$ при этом выполнено автоматически). Отсюда $3x=\pi k$, значит \[x=\dfrac{\pi k}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.\] Из этих точек нужно отбросить те, где тангенс не определён, то есть где $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi t$. Равенство $\dfrac{\pi k}{3}=\dfrac{\pi}{3}+\pi t$ даёт $k=1+3t$, то есть $k\equiv 1\pmod 3$. Следовательно, оставить нужно $k\equiv 0\pmod 3$ и $k\equiv 2\pmod 3$: \[k=3j\ \Rightarrow\ x=\pi j,\qquad k=3j+2\ \Rightarrow\ x=\dfrac{2\pi}{3}+\pi j,\qquad j\in\mathbb{Z}.\] В обеих сериях $\sin 3x=0$ и $\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\pm\dfrac{\sqrt3}{2}\neq 0$, так что обе серии целиком лежат в области определения и дают корни. **Случай 2: второй множитель равен нулю.** Здесь $\operatorname{tg}\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)=0$, то есть $2x-\dfrac{\pi}{6}=\pi m$, откуда \[x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi m}{2},\qquad m\in\mathbb{Z}.\] В этих точках тангенс определён (его значение равно нулю), поэтому остаётся проверить лишь условие $\sin 3x\geqslant 0$. Подставляя, получаем \[\sin 3x=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{3\pi m}{2}\right).\] Значение зависит от остатка $m$ по модулю $4$: | $m\bmod 4$ | $x$ на периоде $2\pi$ | $\sin 3x$ | в ОДЗ? | |---|---|---|---| | $0$ | $\dfrac{\pi}{12}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}>0$ | да | | $1$ | $\dfrac{7\pi}{12}$ | $-\dfrac{\sqrt2}{2}<0$ | нет | | $2$ | $\dfrac{13\pi}{12}$ | $-\dfrac{\sqrt2}{2}<0$ | нет | | $3$ | $\dfrac{19\pi}{12}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}>0$ | да | Таким образом, годятся лишь случаи $m\equiv 0$ и $m\equiv 3\pmod 4$, что даёт две серии с периодом $2\pi$: \[x=\dfrac{\pi}{12}+2\pi k,\qquad x=\dfrac{19\pi}{12}+2\pi m,\qquad k,m\in\mathbb{Z}.\] **Объединение.** Серии случая 1 (точки $\{0,\ \tfrac{2\pi}{3},\ \pi,\ \tfrac{5\pi}{3}\}$ на периоде $2\pi$) и серии случая 2 (точки $\{\tfrac{\pi}{12},\ \tfrac{19\pi}{12}\}$) не пересекаются. Окончательно \[\boxed{\,x=\dfrac{\pi}{12}+2\pi k,\quad x=\dfrac{19\pi}{12}+2\pi m,\quad x=\pi j,\quad x=\dfrac{2\pi}{3}+\pi j,\qquad k,m,j\in\mathbb{Z}.}\] **Замечание о напечатанном ответе.** Первые две серии совпадают с приведённым в источнике ответом. Третья серия источника $x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi l}{2}+\pi n$ даёт точки $\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{4\pi}{3},\ \dfrac{11\pi}{6}$ (на периоде $2\pi$), в каждой из которых $\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)=0$, то есть тангенс не определён и выражение в этих точках не существует. Поэтому третья серия источника не является решением; правильная третья и четвёртая серии — $x=\pi j$ и $x=\dfrac{2\pi}{3}+\pi j$. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.5e:T162c,**Четырёхугольник — равнобедренная трапеция.** В окружность вписан четырёхугольник $ABCD$, причём $AB=CD=5$. Равные хорды стягивают равные дуги, поэтому дуги $AB$ и $CD$ равны. Отсюда следует, что стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Действительно, для выпуклого вписанного четырёхугольника с вершинами в порядке $A,B,C,D$ обозначим дуги $\smile AB,\ \smile BC,\ \smile CD,\ \smile DA$. Вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, дают: угол между прямыми $AD$ и $BC$ обращается в нуль ровно тогда, когда $\smile AB=\smile CD$. Значит, $AD\parallel BC$, и $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB=CD=5$. Так как боковые стороны равны, трапеция равнобедренная. По условию $AD>BC$, поэтому $AD$ — большее (нижнее) основание, $BC$ — меньшее (верхнее). **Высота трапеции.** Опустим из вершины $B$ перпендикуляр на прямую $AD$. Поскольку $BC\parallel AD$, этот перпендикуляр и есть расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$, то есть высота трапеции. По условию она равна $3$: \[ h=3. \] В равнобедренной трапеции основания перпендикуляров, опущенных из $B$ и $C$ на $AD$, отсекают на $AD$ два равных отрезка длиной \[ \frac{AD-BC}{2} \] каждый. Из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной $AB=5$, высотой $h=3$ и этим горизонтальным отрезком, по теореме Пифагора: \[ \left(\frac{AD-BC}{2}\right)^2=AB^2-h^2=25-9=16, \] откуда \[ \frac{AD-BC}{2}=4,\qquad AD-BC=8. \tag{1} \] **Введём координаты.** Поместим основание $AD$ на ось абсцисс: $A=(0,0)$, $D=(a,0)$, где $a=AD$. Тогда вершины верхнего основания (с учётом горизонтального отступа $4$ и высоты $3$) суть \[ B=(4,\,3),\qquad C=(a-4,\,3), \] а длина меньшего основания \[ BC=(a-4)-4=a-8, \] что согласуется с $(1)$: $AD-BC=a-(a-8)=8$. Условие $BC>0$ даёт $a>8$. **Точка пересечения диагоналей и площадь треугольника $ADP$.** Диагональ $AC$ задаётся как $A+t\,(C-A)$, диагональ $BD$ — как $B+u\,(D-B)$. Решая систему \[ \begin{cases} t(a-4)=4+u(a-4),\\ 3t=3-3u,\end{cases} \] получаем точку пересечения \[ P=\left(\frac{a}{2},\ \frac{3a}{2(a-4)}\right). \] (Ордината $P$ — это расстояние от $P$ до прямой $AD$, то есть высота треугольника $ADP$, опущенная на сторону $AD$.) Площадь треугольника $ADP$ с основанием $AD=a$ равна \[ S_{ADP}=\frac12\cdot a\cdot\frac{3a}{2(a-4)}=\frac{3a^2}{4(a-4)}. \] По условию $S_{ADP}=\dfrac{25}{2}$, значит \[ \frac{3a^2}{4(a-4)}=\frac{25}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 6a^2=100(a-4)\quad\Longleftrightarrow\quad 3a^2-50a+200=0. \] Дискриминант $D=2500-2400=100$, корни \[ a=\frac{50\pm 10}{6}=10\quad\text{или}\quad a=\frac{20}{3}. \] **Отбор корня.** Корень $a=\dfrac{20}{3}$ не проходит: он меньше $8$, и тогда $BC=a-8=-\dfrac{4}{3}<0$ — длина не может быть отрицательной (а условие $AD>BC$ при этом превращается в формальное неравенство без геометрического смысла). Остаётся \[ AD=a=10,\qquad BC=a-8=2. \] Проверка $AD>BC$: $10>2$ — выполнено; основание перпендикуляра из $B$ попадает в точку $(4,0)$ внутрь отрезка $AD$, как и должно быть. **Радиус окружности.** Окружность проходит через $A=(0,0)$, $D=(10,0)$, $B=(4,3)$, $C=(6,3)$. Центр лежит на серединном перпендикуляре к $AD$, то есть на прямой $x=5$; пусть центр $O=(5,y)$. Из равенства $OA=OB$: \[ 5^2+y^2=(5-4)^2+(y-3)^2\ \Longrightarrow\ 25+y^2=1+y^2-6y+9\ \Longrightarrow\ 6y=-15,\ y=-\frac52. \] Тогда \[ R=OA=\sqrt{5^2+\left(\tfrac52\right)^2}=\sqrt{25+\tfrac{25}{4}}=\sqrt{\tfrac{125}{4}}=\frac{5\sqrt5}{2}. \] (Тот же результат даёт обобщённая теорема синусов для хорды $AB=5$: из треугольника $ABD$ находим $AB=2R\sin\angle ADB$, откуда $R=\dfrac{5\sqrt5}{2}$; кроме того, выполняется теорема Птолемея $AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$, то есть $3\sqrt5\cdot 3\sqrt5=45=25+20$.) **Ответ:** \[ \boxed{\,AD=10,\qquad BC=2,\qquad R=\dfrac{5\sqrt5}{2}.\,} \]5f:T16cc,**Сведение к плоской задаче.** Касательная к сфере в точке касания перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Поэтому если прямая касается сферы в точке $A$, то радиус $OA$ перпендикулярен этой прямой, причём $|OA|=R=4$. То же верно для точек $B$ и $C$: \[|OA|=|OB|=|OC|=4,\qquad OA\perp \ell,\quad OB\perp \ell,\quad OC\perp \ell,\] где $\ell$ — общее направление трёх параллельных прямых. Все три радиуса $OA$, $OB$, $OC$ перпендикулярны одному и тому же направлению $\ell$, значит, они лежат в плоскости $\pi$, проходящей через центр $O$ перпендикулярно $\ell$. Следовательно, точки $A$, $B$, $C$ лежат в плоскости $\pi$ на окружности радиуса $R=4$ с центром $O$ (это большой круг сферы, перпендикулярный направлению прямых). Таким образом, задача стала планиметрической: $A$, $B$, $C$ — точки окружности радиуса $4$, а $O$ — её центр. **Использование площади треугольника $OBC$.** В треугольнике $OBC$ стороны $OB=OC=4$, а угол между ними обозначим $\beta=\angle BOC\in(0;\pi)$. Тогда \[S_{OBC}=\tfrac12\,OB\cdot OC\cdot\sin\beta=\tfrac12\cdot4\cdot4\cdot\sin\beta=8\sin\beta.\] По условию $S_{OBC}=4$, поэтому \[8\sin\beta=4\iff \sin\beta=\tfrac12\iff \beta=\frac{\pi}{6}\ \text{или}\ \beta=\frac{5\pi}{6}.\] **Угол $BAC$ как вписанный угол.** Угол $\angle BAC$ опирается на хорду $BC$ и является вписанным углом окружности. По теореме о вписанном угле он равен половине центрального угла, опирающегося на ту дугу $BC$, которая не содержит точку $A$. Дуга $BC$, отвечающая центральному углу $\beta$ (та, на которой «стягивается» треугольник $OBC$), имеет величину $\beta$, а дополнительная дуга — величину $2\pi-\beta$. Поэтому \[\angle BAC=\frac{\beta}{2}\quad(\text{если }A\text{ на большей дуге, не содержащей дугу }BC),\] \[\angle BAC=\frac{2\pi-\beta}{2}=\pi-\frac{\beta}{2}\quad(\text{если }A\text{ на меньшей дуге }BC).\] Чтобы выбрать правильный случай, привлечём условие $S_{ABC}>16$. **Отбор по условию $S_{ABC}>16$.** Хорда $BC$ имеет длину $BC=2R\sin\frac{\beta}{2}=8\sin\frac{\beta}{2}$, а расстояние от центра $O$ до прямой $BC$ равно $d=R\cos\frac{\beta}{2}=4\cos\frac{\beta}{2}$. Для точки $A$ окружности высота треугольника $ABC$, опущенная на $BC$, не превосходит $R+d$ (когда $A$ на большей дуге, в самой удалённой от хорды точке) или $R-d$ (когда $A$ на меньшей дуге). Поэтому наибольшая возможная площадь равна \[S_{ABC}^{\max,\;\text{больш.\ дуга}}=\tfrac12\,BC\,(R+d),\qquad S_{ABC}^{\max,\;\text{мал.\ дуга}}=\tfrac12\,BC\,(R-d).\] Случай $\beta=\dfrac{\pi}{6}$. Тогда \[BC=8\sin15^\circ=2\sqrt6-2\sqrt2,\quad d=4\cos15^\circ=\sqrt6+\sqrt2,\] \[S_{ABC}^{\max}=\tfrac12\,BC\,(R+d)=4+4\sqrt6-4\sqrt2\approx 8{,}14<16.\] Здесь даже наибольшая площадь треугольника $ABC$ меньше $16$, значит, условие $S_{ABC}>16$ невыполнимо. Случай $\beta=\dfrac{\pi}{6}$ отпадает. Случай $\beta=\dfrac{5\pi}{6}$. Тогда \[BC=8\sin75^\circ=2\sqrt6+2\sqrt2,\quad d=4\cos75^\circ=\sqrt6-\sqrt2,\] а наибольшие площади на двух дугах равны \[S_{ABC}^{\max,\;\text{больш.\ дуга}}=\tfrac12\,BC\,(R+d)=4+4\sqrt2+4\sqrt6\approx19{,}45,\] \[S_{ABC}^{\max,\;\text{мал.\ дуга}}=\tfrac12\,BC\,(R-d)=-4+4\sqrt2+4\sqrt6\approx11{,}45.\] На меньшей дуге площадь не превосходит $11{,}45<16$, поэтому условие $S_{ABC}>16$ на ней невыполнимо. Следовательно, точка $A$ обязана лежать на большей дуге (на ней площадь доходит до $19{,}45>16$). **Вычисление угла.** Итак, реализуется единственная конфигурация: $\beta=\dfrac{5\pi}{6}$, точка $A$ — на большей дуге. Тогда вписанный угол \[\angle BAC=\frac{\beta}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{5\pi}{6}=\frac{5\pi}{12}\quad(=75^\circ).\] (Заметим, что величина $\angle BAC$ одинакова для всех положений $A$ на большей дуге — она зависит только от хорды $BC$ и не зависит от того, насколько площадь превосходит $16$; условие $S_{ABC}>16$ служит лишь для выбора нужной дуги и нужного значения $\beta$.) **Ответ:** $\angle BAC=\dfrac{5\pi}{12}$.60:T13b5,Обозначим уравнения системы: \[ \begin{cases} x^2+y^2+2z(x+y+z)-\sin\alpha=0,\quad(1)\\ (x+1)\sin^2\dfrac{\alpha}{2}+y^2\sqrt{x}+\alpha^2\sqrt{z}+\sin\dfrac{3\alpha}{2}=0.\quad(2) \end{cases} \] **Область определения.** В уравнении (2) присутствуют $\sqrt{x}$ и $\sqrt{z}$, поэтому решение возможно лишь при \[ x\geqslant 0,\qquad z\geqslant 0. \] **Преобразование первого уравнения.** Раскрывая скобки и группируя, получаем \[ x^2+y^2+2z(x+y+z)=x^2+2xz+z^2+y^2+2yz+z^2=(x+z)^2+(y+z)^2, \] так что уравнение (1) равносильно \[ (x+z)^2+(y+z)^2=\sin\alpha.\quad(1') \] Левая часть неотрицательна, значит необходимо \[ \sin\alpha\geqslant 0. \] На отрезке $[0;2\pi]$ это выполнено только при $\alpha\in[0;\pi]$ и при $\alpha=2\pi$. Тем самым весь интервал $(\pi;2\pi)$ сразу отпадает (там $\sin\alpha<0$, и уравнение (1) неразрешимо). **Оценка второго уравнения.** Пусть $x\geqslant 0,\ z\geqslant 0$. Тогда все три первых слагаемых в (2) неотрицательны: \[ (x+1)\sin^2\tfrac{\alpha}{2}\geqslant 0,\qquad y^2\sqrt{x}\geqslant 0,\qquad \alpha^2\sqrt{z}\geqslant 0. \] Более того, поскольку $x\geqslant 0$, имеем $x+1\geqslant 1$, и потому \[ (x+1)\sin^2\tfrac{\alpha}{2}\geqslant \sin^2\tfrac{\alpha}{2}. \] Отсюда для левой части уравнения (2) получаем оценку снизу \[ \underbrace{(x+1)\sin^2\tfrac{\alpha}{2}+y^2\sqrt{x}+\alpha^2\sqrt{z}}_{\geqslant\,\sin^2(\alpha/2)}+\sin\tfrac{3\alpha}{2}\ \geqslant\ \sin^2\tfrac{\alpha}{2}+\sin\tfrac{3\alpha}{2}.\quad(\ast) \] **Знак нижней оценки.** Обозначим $s=\sin\dfrac{\alpha}{2}$. Применяя формулу тройного угла $\sin\dfrac{3\alpha}{2}=3\sin\dfrac{\alpha}{2}-4\sin^3\dfrac{\alpha}{2}=3s-4s^3$, находим \[ \sin^2\tfrac{\alpha}{2}+\sin\tfrac{3\alpha}{2}=s^2+3s-4s^3=s\,(4s+3)\,(1-s). \] На рассматриваемом множестве $\alpha\in[0;\pi]$ угол $\dfrac{\alpha}{2}\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, поэтому $s=\sin\dfrac{\alpha}{2}\in[0;1]$. Для таких $s$ все три множителя неотрицательны: \[ s\geqslant 0,\qquad 4s+3>0,\qquad 1-s\geqslant 0, \] значит \[ \sin^2\tfrac{\alpha}{2}+\sin\tfrac{3\alpha}{2}=s(4s+3)(1-s)\geqslant 0, \] причём это выражение равно нулю **только** при $s=0$ (то есть $\alpha=0$) либо при $s=1$ (то есть $\alpha=\pi$). **Внутренние точки $(0;\pi)$ невозможны.** При $\alpha\in(0;\pi)$ имеем $s\in(0;1)$, поэтому все множители строго положительны и \[ \sin^2\tfrac{\alpha}{2}+\sin\tfrac{3\alpha}{2}=s(4s+3)(1-s)>0. \] Тогда из оценки $(\ast)$ левая часть уравнения (2) строго положительна, и равенство нулю невозможно. Значит, при $\alpha\in(0;\pi)$ система решений не имеет. **Остаётся проверить три точки** $\alpha=0,\ \alpha=\pi,\ \alpha=2\pi$. В каждой из них $\sin\alpha=0$, поэтому уравнение $(1')$ принимает вид \[ (x+z)^2+(y+z)^2=0\ \Longrightarrow\ x+z=0,\ y+z=0. \] С учётом $x\geqslant 0,\ z\geqslant 0$ из $x+z=0$ следует $x=z=0$, а тогда $y=0$. Таким образом, единственным кандидатом является \[ (x;y;z)=(0;0;0), \] он лежит в области определения. Подставим его в уравнение (2): при $x=z=0$ слагаемые $y^2\sqrt{x}$ и $\alpha^2\sqrt{z}$ обращаются в нуль, и (2) сводится к \[ 1\cdot\sin^2\tfrac{\alpha}{2}+\sin\tfrac{3\alpha}{2}=\sin^2\tfrac{\alpha}{2}+\sin\tfrac{3\alpha}{2}=s(4s+3)(1-s). \] - При $\alpha=0$: $s=0$, выражение равно $0$. Уравнение (2) выполнено. Решение $(0;0;0)$ существует. - При $\alpha=\pi$: $s=1$, множитель $(1-s)=0$, выражение равно $0$. Уравнение (2) выполнено (явно: $\sin^2\dfrac{\pi}{2}+\sin\dfrac{3\pi}{2}=1+(-1)=0$). Решение $(0;0;0)$ существует. - При $\alpha=2\pi$: $s=\sin\pi=0$, выражение равно $0$ (явно: $\sin^2\pi+\sin 3\pi=0+0=0$). Решение $(0;0;0)$ существует. **Вывод.** Система имеет хотя бы одно решение в точности при \[ \boxed{\alpha=0,\quad \alpha=\pi,\quad \alpha=2\pi.} \]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 1995\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — июль 1995\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-1995-07\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-09T23:00:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 1995\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — июль 1995-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — июль 1995"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-1995-07","serverCollection":{"id":"f12dfe94-2392-42a3-913c-44d87cb10599","name":"Мехмат МГУ — июль 1995","code":"mehmat-1995-07","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"07","session_label":"Письменный экзамен, 1995 год (июль)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm1995-07.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":1995},"created_at":"2026-06-09T23:00:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"a37d8d7e-12be-4976-a419-065a09a354ad","collection_id":"f12dfe94-2392-42a3-913c-44d87cb10599","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"a37d8d7e-12be-4976-a419-065a09a354ad","short_id":18095,"task_number":16,"topic_id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Найти наибольшее целое число \$k\$, удовлетворяющее неравенству\n\\[4\\cdot 3^{2k+1}+3^k\\leqslant 1.\\]","answer_text":"\$-2\$","answer":"\$-2\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"07","variant_key":"mm1995-07","year":1995},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","name":"Показательные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"01f67e1b-7c60-4a01-aa9f-38a44d86ef0e","code":"tag-3","name":"Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции"},{"id":"31d4e4b7-a2c1-4cbd-85ff-1aa0dec4e314","code":"tag-45","name":"Сравнение чисел"},{"id":"378ecccb-5211-4448-b874-8f22ba33c931","code":"tag-50","name":"Квадратные неравенства"},{"id":"71f19a1a-c6b7-4320-9e0b-3cb73213fa41","code":"tag-104","name":"Показательные неравенства"}]}},{"problem_id":"76f04acb-5c61-43b5-bdd5-6f3e774d06e2","collection_id":"f12dfe94-2392-42a3-913c-44d87cb10599","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"76f04acb-5c61-43b5-bdd5-6f3e774d06e2","short_id":18096,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\dfrac{2}{\\dfrac{2}{\\log_2 x}-1}>-3.\\]","answer_text":"\$(0;1)\\cup(1;4)\\cup(64;+\\infty)\$","answer":"\$(0;1)\\cup(1;4)\\cup(64;+\\infty)\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"07","variant_key":"mm1995-07","year":1995},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"6c18d539-1834-46d0-b798-41ad971a1439","code":"tag-96","name":"Неравенства рациональные относительно логарифмической функции"},{"id":"a310e1e9-64c5-40c5-9928-aeb385bdeb13","code":"tag-149","name":"Рациональные неравенства"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"c6f10150-b73b-4ad2-8b17-0e1e76ba1c1b","collection_id":"f12dfe94-2392-42a3-913c-44d87cb10599","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"c6f10150-b73b-4ad2-8b17-0e1e76ba1c1b","short_id":18097,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить уравнение\n\\[\\sqrt{\\sin 3x}\\cdot\\operatorname{tg}\\left(2x-\\dfrac{\\pi}{6}\\right)=0.\\]","answer_text":"\$x=\\dfrac{\\pi}{12}+2\\pi k,\\quad x=\\dfrac{19\\pi}{12}+2\\pi m,\\quad x=\\pi j,\\quad x=\\dfrac{2\\pi}{3}+\\pi j,\\qquad k,m,j\\in\\mathbb{Z}.\$","answer":"\$x=\\dfrac{\\pi}{12}+2\\pi k,\\quad x=\\dfrac{19\\pi}{12}+2\\pi m,\\quad x=\\pi j,\\quad x=\\dfrac{2\\pi}{3}+\\pi j,\\qquad k,m,j\\in\\mathbb{Z}.\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"07","variant_key":"mm1995-07","year":1995},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"562d9797-2caf-4ba7-9fa3-a4c33d8cc0a6","code":"tag-80","name":"Область определения уравнения"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9f2c32f9-1c81-45d4-bfd9-70a4620bebf8","code":"tag-142","name":"Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители"}]}},{"problem_id":"0189aeeb-39b4-47d4-85d0-a9c5b042a0fd","collection_id":"f12dfe94-2392-42a3-913c-44d87cb10599","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"0189aeeb-39b4-47d4-85d0-a9c5b042a0fd","short_id":18098,"task_number":18,"topic_id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"В окружность вписан четырёхугольник \$ABCD\$, \$P\$ — точка пересечения его диагоналей, \$AB=CD=5\$, \$AD>BC\$. Высота, спущенная из точки \$B\$ на сторону \$AD\$, равна \$3\$, а площадь треугольника \$ADP\$ равна \$\\dfrac{25}{2}\$. Найти длины сторон \$AD\$, \$BC\$ и радиус окружности.","answer_text":"\$AD=10;\\ BC=2;\\ R=\\dfrac{5\\sqrt{5}}{2}\$","answer":"\$AD=10;\\ BC=2;\\ R=\\dfrac{5\\sqrt{5}}{2}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"07","variant_key":"mm1995-07","year":1995},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","name":"Четырёхугольники","description":null},"tags":[{"id":"15278b0a-1f58-4f73-b5f1-a49d59be3929","code":"tag-18","name":"Окружности и четырёхугольники"},{"id":"3bea6957-f863-48b4-bfad-8118b0c77cc4","code":"tag-56","name":"Равнобедренная трапеция"},{"id":"571cbc3f-ec88-4837-b0f7-266854acd8f6","code":"tag-81","name":"Окружность, описанная вокруг четырехугольника"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"}]}},{"problem_id":"a5aee31c-de62-442d-83bc-f0c33ca626a2","collection_id":"f12dfe94-2392-42a3-913c-44d87cb10599","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"a5aee31c-de62-442d-83bc-f0c33ca626a2","short_id":18099,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Три параллельные прямые касаются в точках \$A\$, \$B\$ и \$C\$ сферы радиуса \$4\$ с центром в точке \$O\$. Найти угол \$BAC\$, если известно, что площадь треугольника \$OBC\$ равна \$4\$, а площадь треугольника \$ABC\$ больше \$16\$.","answer_text":"\$\\dfrac{5\\pi}{12}\$","answer":"\$\\dfrac{5\\pi}{12}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"07","variant_key":"mm1995-07","year":1995},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"16ed6d76-9afe-45ae-a1ef-59cfaa5ba43d","code":"tag-24","name":"Шар и сфера, их сечения"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"776ee334-5cfa-4f18-b943-7eb14485ed45","code":"tag-113","name":"Перпендикулярность прямых"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"}]}},{"problem_id":"c99aef9a-80bf-4276-9816-ebfaa64739dc","collection_id":"f12dfe94-2392-42a3-913c-44d87cb10599","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"c99aef9a-80bf-4276-9816-ebfaa64739dc","short_id":18100,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найти все значения параметра \$\\alpha\$ из отрезка \$[0;2\\pi]\$, при которых система\n\\[\\begin{cases}x^2+y^2+2z(x+y+z)-\\sin\\alpha=0,\\\\ (x+1)\\sin^2\\dfrac{\\alpha}{2}+y^2\\sqrt{x}+\\alpha^2\\sqrt{z}+\\sin\\dfrac{3}{2}\\alpha=0\\end{cases}\\]\nимеет хотя бы одно решение.","answer_text":"\$0;\\ \\pi;\\ 2\\pi\$","answer":"\$0;\\ \\pi;\\ 2\\pi\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"07","variant_key":"mm1995-07","year":1995},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"562d9797-2caf-4ba7-9fa3-a4c33d8cc0a6","code":"tag-80","name":"Область определения уравнения"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"aa6e8219-4309-468c-bb4a-3b6f64ef9c5e","code":"tag-157","name":"Системы с параметром"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]