Найти наибольшее целое число k, удовлетворяющее неравенству
4⋅32k+1+3k⩽1.Требуется найти наибольшее целое число k, удовлетворяющее неравенству
4⋅32k+1+3k⩽1.Сведение к квадратному неравенству. Введём замену t=3k. Поскольку показательная функция 3k принимает только положительные значения, имеем t>0 при любом вещественном k. Преобразуем левую часть, используя свойства степеней:
32k+1=31⋅32k=3(3k)2=3t2,3k=t.Тогда исходное неравенство принимает вид
4⋅3t2+t⩽1,то есть12t2+t−1⩽0.Решение неравенства относительно t. Разложим квадратный трёхчлен на множители. Корни уравнения 12t2+t−1=0 находим по формуле
t=24−1±1+48=24−1±7,откуда t1=246=41 и t2=24−8=−31. Значит,
12t2+t−1=(4t−1)(3t+1).Поскольку t>0, множитель 3t+1>0 всегда положителен, и знак произведения (4t−1)(3t+1) совпадает со знаком множителя 4t−1. Поэтому неравенство (4t−1)(3t+1)⩽0 при t>0 равносильно условию
4t−1⩽0,то естьt⩽41.Возврат к переменной k. Вспоминая, что t=3k, получаем
3k⩽41.Прологарифмируем по основанию 3 (функция log3 возрастает, знак неравенства сохраняется):
k⩽log341=−log34.Оценим правую часть. Так как 31=3<4<9=32, имеем 1<log34<2, причём точнее log34=ln32ln2≈1,262. Следовательно,
k⩽−log34≈−1,26.Отбор наибольшего целого. Среди целых чисел, не превосходящих −1,26, наибольшим является k=−2 (следующее целое k=−1 уже больше −1,26 и условию не удовлетворяет).
Проверим граничные значения подстановкой в исходное неравенство.
Для k=−2:
4⋅32(−2)+1+3−2=4⋅3−3+3−2=274+91=274+273=277⩽1- верно.Для k=−1:
4⋅32(−1)+1+3−1=4⋅3−1+3−1=34+31=35>1- неверно.Таким образом, наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, равно −2.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Мехмат МГУ (архив)