Найти наибольшее целое число k, удовлетворяющее неравенству 4* 3^(2k+1)+3^k 1.

Требуется найти наибольшее целое число k, удовлетворяющее неравенству 4* 3^(2k+1)+3^k 1. **Сведение к квадратному неравенству.** Введём замену t=3^k. Поскольку показательная функция 3^k принимает только положительные значения, имеем t>0 при любом вещественном k. Преобразуем левую часть, используя свойства степеней: 3^(2k+1)=3^(1)* 3^(2k)=3(3^(k))^(2)=3t^(2), 3^(k)=t. Тогда исходное неравенство принимает вид 4* 3t^(2)+t 1, то есть 12t^(2)+t-1 0. **Решение неравенства относительно t.** Разложим квадратный трёхчлен на множители. Корни уравнения 12t^(2)+t-1=0 находим по формуле t=(-1+-sqrt(1+48))/(24)=(-1+- 7)/(24), откуда t_(1)=(6)/(24)=14 и t_(2)=(-8)/(24)=-13. Значит, 12t^(2)+t-1=(4t-1)(3t+1). Поскольку t>0, множитель 3t+1>0 всегда положителен, и знак произведения (4t-1)(3t+1) совпадает со знаком множителя 4t-1. Поэтому неравенство (4t-1)(3t+1) 0 при t>0 равносильно условию 4t-1 0, то есть t 14. **Возврат к переменной k.** Вспоминая, что t=3^k, получаем 3^(k) 14. Прологарифмируем по основанию 3 (функция _3 возрастает, знак неравенства сохраняется): k _(3)14=-_(3)4. Оценим правую часть. Так как 3^(1)=3<4<9=3^(2), имеем 1<_(3)4<2, причём точнее _(3)4=(2ln 2)/(ln 3)~ 1,262. Следовательно, k -_(3)4~ -1,26. **Отбор наибольшего целого.** Среди целых чисел, не превосходящих -1,26, наибольшим является k=-2 (следующее целое k=-1 уже больше -1,26 и условию не удовлетворяет). Проверим граничные значения подстановкой в исходное неравенство. Для k=-2: 4* 3^(2(-2)+1)+3^(-2)=4* 3^(-3)+3^(-2)=(4)/(27)+(1)/(9)=(4)/(27)+(3)/(27)=(7)/(27) 1 — верно. Для k=-1: 4* 3^(2(-1)+1)+3^(-1)=4* 3^(-1)+3^(-1)=(4)/(3)+(1)/(3)=(5)/(3)>1 — неверно. Таким образом, наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, равно -2.

\(-2\)