Решить неравенство (2)/(2_2 x-1)>-3.

Нужно решить неравенство (2)/(2_2 x-1)>-3. **Область допустимых значений.** Логарифм _2 x определён при x>0. Кроме того, в записи участвуют две дроби, знаменатели которых не должны обращаться в нуль: - внутренний знаменатель _2 x должен быть отличен от нуля, то есть _2 x!= 0, откуда x!= 1; - внешний знаменатель (2)/(_2 x)-1 должен быть отличен от нуля; равенство (2)/(_2 x)-1=0 даёт _2 x=2, то есть x=4, и эта точка исключается. Итак, ОДЗ: x>0, x!= 1, x!= 4. **Замена переменной.** Положим t=_2 x. При x>0 величина t пробегает всю числовую прямую, причём ограничения ОДЗ превращаются в t!= 0 (это x=1) и t!= 2 (это x=4). Преобразуем левую часть: (2)/(2t-1)=(2)/(2-tt)=(2t)/(2-t). Неравенство принимает вид (2t)/(2-t)>-3. **Решение дробно-рационального неравенства.** Переносим -3 влево и приводим к общему знаменателю: (2t)/(2-t)+3>0 (2t+3(2-t))/(2-t)>0 (6-t)/(2-t)>0. Умножим числитель и знаменатель на -1 (это не меняет знака дроби, так как меняются знаки и сверху, и снизу): (t-6)/(t-2)>0. Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. Нули: t=6 и t=2. Расставим знаки на числовой прямой: | Промежуток | t<2 | 2<t<6 | t>6 | |---|---|---|---| | знак t-6 | - | - | + | | знак t-2 | - | + | + | | знак дроби | + | - | + | Значит, неравенство по t выполнено при t<2 или t>6. Точка t=2 и без того исключена из ОДЗ (там обращается в нуль внешний знаменатель), а граница t=6 даёт равенство (2t)/(2-t)=-3, а не строгое неравенство, поэтому тоже не входит. **Возврат к переменной x.** Вспоминаем, что t=_2 x, и учитываем исключённую точку t=0 (то есть x=1). Случай t<2: _2 x<2 0<x<2^2=4. Из этого промежутка выбрасываем x=1 (запрет ОДЗ), получая (0;1)U(1;4). Точка x=4 уже не вошла, так как неравенство строгое. Случай t>6: _2 x>6 x>2^6=64, то есть (64;+inf); граница x=64 не входит (там равенство). **Ответ.** (0;1)U(1;4)U(64;+inf).

\((0;1)\cup(1;4)\cup(64;+\infty)\)