Задача №18096

Решить неравенство

$$\frac{2}{\frac{2}{{\log }_{2}x}-1}>-3.$$

Нужно решить неравенство

$$\frac{2}{\frac{2}{{\log }_{2}x}-1}>-3.$$

Область допустимых значений. Логарифм ${\log }_{2}x$ определён при $x>0\text{.}$ Кроме того, в записи участвуют две дроби, знаменатели которых не должны обращаться в нуль:

• внутренний знаменатель ${\log }_{2}x$ должен быть отличен от нуля, то есть ${\log }_{2}x\ne 0\text{,}$ откуда $x\ne 1\text{;}$
• внешний знаменатель $\frac{2}{{\log }_{2}x}-1$ должен быть отличен от нуля; равенство $\frac{2}{{\log }_{2}x}-1=0$ даёт ${\log }_{2}x=2\text{,}$ то есть $x=4\text{,}$ и эта точка исключается.

Итак, ОДЗ: $x>0,x\ne 1,x\ne 4\text{.}$

Замена переменной. Положим $t={\log }_{2}x\text{.}$ При $x>0$ величина $t$ пробегает всю числовую прямую, причём ограничения ОДЗ превращаются в $t\ne 0$ (это $x=1$) и $t\ne 2$ (это $x=4$). Преобразуем левую часть:

$$\frac{2}{\frac{2}{t}-1}=\frac{2}{\frac{2-t}{t}}=\frac{2t}{2-t}.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{2t}{2-t}>-3.$$

Решение дробно-рационального неравенства. Переносим $-3$ влево и приводим к общему знаменателю:

$$\frac{2t}{2-t}+3>0⟺\frac{2t+3(2-t)}{2-t}>0⟺\frac{6-t}{2-t}>0.$$

Умножим числитель и знаменатель на $-1$ (это не меняет знака дроби, так как меняются знаки и сверху, и снизу):

$$\frac{t-6}{t-2}>0.$$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. Нули: $t=6$ и $t=2\text{.}$ Расставим знаки на числовой прямой:

Значит, неравенство по $t$ выполнено при

$$t<2\text{или}t>6.$$

Точка $t=2$ и без того исключена из ОДЗ (там обращается в нуль внешний знаменатель), а граница $t=6$ даёт равенство $\frac{2t}{2-t}=-3\text{,}$ а не строгое неравенство, поэтому тоже не входит.

Возврат к переменной $x\text{.}$ Вспоминаем, что $t={\log }_{2}x\text{,}$ и учитываем исключённую точку $t=0$ (то есть $x=1$).

Случай $t<2\text{:}$

$${\log }_{2}x<2⟺0<x<2^2=4.$$

Из этого промежутка выбрасываем $x=1$ (запрет ОДЗ), получая $(0;1)\cup (1;4)\text{.}$ Точка $x=4$ уже не вошла, так как неравенство строгое.

Случай $t>6\text{:}$

$${\log }_{2}x>6⟺x>2^6=64,$$

то есть $(64;+\infty )\text{;}$ граница $x=64$ не входит (там равенство).

Ответ.

$$\boxed{(0;1)\cup (1;4)\cup (64;+\infty )}.$$