Решить уравнение sqrt(sin 3x)*tg(2x-(pi)/(6))=0.

Произведение sqrt(sin 3x)*tg(2x-(pi)/(6)) определено лишь там, где одновременно подкоренное выражение неотрицательно и тангенс существует, то есть на области допустимых значений casessin 3x 0, cos(2x-(pi)/(6))!= 0.cases Второе условие означает 2x-(pi)/(6)!=(pi)/(2)+pi t, то есть x!=(pi)/(3)+pi t, tinZ. На этой области уравнение равносильно тому, что хотя бы один из множителей обращается в нуль. Разберём два случая. **Случай 1: первый множитель равен нулю.** Здесь sqrt(sin 3x)=0, то есть sin 3x=0 (требование sin 3x 0 при этом выполнено автоматически). Отсюда 3x=pi k, значит x=(pi k)/(3), kinZ. Из этих точек нужно отбросить те, где тангенс не определён, то есть где x=(pi)/(3)+pi t. Равенство (pi k)/(3)=(pi)/(3)+pi t даёт k=1+3t, то есть k=== 1+-od 3. Следовательно, оставить нужно k=== 0+-od 3 и k=== 2+-od 3: k=3j => x=pi j, k=3j+2 => x=(2pi)/(3)+pi j, jinZ. В обеих сериях sin 3x=0 и cos(2x-(pi)/(6))=+-(3)/(2)!= 0, так что обе серии целиком лежат в области определения и дают корни. **Случай 2: второй множитель равен нулю.** Здесь tg(2x-(pi)/(6))=0, то есть 2x-(pi)/(6)=pi m, откуда x=(pi)/(12)+(pi m)/(2), minZ. В этих точках тангенс определён (его значение равно нулю), поэтому остаётся проверить лишь условие sin 3x 0. Подставляя, получаем sin 3x=sin((pi)/(4)+(3pi m)/(2)). Значение зависит от остатка m по модулю 4: | m 4 | x на периоде 2pi | sin 3x | в ОДЗ? | |---|---|---|---| | 0 | (pi)/(12) | (2)/(2)>0 | да | | 1 | (7pi)/(12) | -(2)/(2)<0 | нет | | 2 | (13pi)/(12) | -(2)/(2)<0 | нет | | 3 | (19pi)/(12) | (2)/(2)>0 | да | Таким образом, годятся лишь случаи m=== 0 и m=== 3+-od 4, что даёт две серии с периодом 2pi: x=(pi)/(12)+2pi k, x=(19pi)/(12)+2pi m, k,minZ. **Объединение.** Серии случая 1 (точки 0, (2pi)/(3), pi, (5pi)/(3) на периоде 2pi) и серии случая 2 (точки (pi)/(12), (19pi)/(12)) не пересекаются. Окончательно x=(pi)/(12)+2pi k, x=(19pi)/(12)+2pi m, x=pi j, x=(2pi)/(3)+pi j, k,m,jinZ. **Замечание о напечатанном ответе.** Первые две серии совпадают с приведённым в источнике ответом. Третья серия источника x=(pi)/(3)+(pi l)/(2)+pi n даёт точки (pi)/(3), (5pi)/(6), (4pi)/(3), (11pi)/(6) (на периоде 2pi), в каждой из которых cos(2x-(pi)/(6))=0, то есть тангенс не определён и выражение в этих точках не существует. Поэтому третья серия источника не является решением; правильная третья и четвёртая серии — x=pi j и x=(2pi)/(3)+pi j. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(x=\dfrac{\pi}{12}+2\pi k,\quad x=\dfrac{19\pi}{12}+2\pi m,\quad x=\pi j,\quad x=\dfrac{2\pi}{3}+\pi j,\qquad k,m,j\in\mathbb{Z}.\)