Задача №18097

Решить уравнение

$$\sqrt{\sin 3x}\cdot \mathrm{tg}\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=0.$$

Произведение $\sqrt{\sin 3x}\cdot \mathrm{tg}\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ определено лишь там, где одновременно подкоренное выражение неотрицательно и тангенс существует, то есть на области допустимых значений

$$\{\begin{array}{l}\sin 3x⩾0,\\ \cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\ne 0.\end{array}$$

Второе условие означает $2x-\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+\pi t\text{,}$ то есть $x\ne \frac{\pi }{3}+\pi t,t\in \mathbb{Z}\text{.}$ На этой области уравнение равносильно тому, что хотя бы один из множителей обращается в нуль. Разберём два случая.

Случай 1: первый множитель равен нулю. Здесь $\sqrt{\sin 3x}=0\text{,}$ то есть $\sin 3x=0$ (требование $\sin 3x⩾0$ при этом выполнено автоматически). Отсюда $3x=\pi k\text{,}$ значит

$$x=\frac{\pi k}{3},k\in \mathbb{Z}.$$

Из этих точек нужно отбросить те, где тангенс не определён, то есть где $x=\frac{\pi }{3}+\pi t\text{.}$ Равенство $\frac{\pi k}{3}=\frac{\pi }{3}+\pi t$ даёт $k=1+3t\text{,}$ то есть $k\equiv 1(\mathrm{mod}3)\text{.}$ Следовательно, оставить нужно $k\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ и $k\equiv 2(\mathrm{mod}3)\text{:}$

$$k=3j\Rightarrow x=\pi j,k=3j+2\Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}+\pi j,j\in \mathbb{Z}.$$

В обеих сериях $\sin 3x=0$ и $\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\ne 0\text{,}$ так что обе серии целиком лежат в области определения и дают корни.

Случай 2: второй множитель равен нулю. Здесь $\mathrm{tg}\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=0\text{,}$ то есть $2x-\frac{\pi }{6}=\pi m\text{,}$ откуда

$$x=\frac{\pi }{12}+\frac{\pi m}{2},m\in \mathbb{Z}.$$

В этих точках тангенс определён (его значение равно нулю), поэтому остаётся проверить лишь условие $\sin 3x⩾0\text{.}$ Подставляя, получаем

$$\sin 3x=\sin \left(\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi m}{2}\right).$$

Значение зависит от остатка $m$ по модулю $4\text{:}$

Таким образом, годятся лишь случаи $m\equiv 0$ и $m\equiv 3(\mathrm{mod}4)\text{,}$ что даёт две серии с периодом $2\pi \text{:}$

$$x=\frac{\pi }{12}+2\pi k,x=\frac{19\pi }{12}+2\pi m,k,m\in \mathbb{Z}.$$

Объединение. Серии случая 1 (точки $\{0,\frac{2\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3}\}$ на периоде $2\pi$) и серии случая 2 (точки $\{\frac{\pi }{12},\frac{19\pi }{12}\}$) не пересекаются. Окончательно

$$\boxed{x=\frac{\pi }{12}+2\pi k,x=\frac{19\pi }{12}+2\pi m,x=\pi j,x=\frac{2\pi }{3}+\pi j,k,m,j\in \mathbb{Z}.}$$

Замечание о напечатанном ответе. Первые две серии совпадают с приведённым в источнике ответом. Третья серия источника $x=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi l}{2}+\pi n$ даёт точки $\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6},\frac{4\pi }{3},\frac{11\pi }{6}$ (на периоде $2\pi$), в каждой из которых $\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=0\text{,}$ то есть тангенс не определён и выражение в этих точках не существует. Поэтому третья серия источника не является решением; правильная третья и четвёртая серии — $x=\pi j$ и $x=\frac{2\pi }{3}+\pi j\text{.}$

Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.