Задача №18100

Найти все значения параметра $\alpha$ из отрезка $[0;2\pi ]\text{,}$ при которых система

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+2z(x+y+z)-\sin \alpha =0,\\ (x+1){\sin }^2\frac{\alpha }{2}+y^2\sqrt{x}+{\alpha }^2\sqrt{z}+\sin \frac{3}{2}\alpha =0\end{array}$$

имеет хотя бы одно решение.

Обозначим уравнения системы:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+2z(x+y+z)-\sin \alpha =0,(1)\\ (x+1){\sin }^2\frac{\alpha }{2}+y^2\sqrt{x}+{\alpha }^2\sqrt{z}+\sin \frac{3\alpha }{2}=0.(2)\end{array}$$

Область определения. В уравнении (2) присутствуют $\sqrt{x}$ и $\sqrt{z}\text{,}$ поэтому решение возможно лишь при

$$x⩾0,z⩾0.$$

Преобразование первого уравнения. Раскрывая скобки и группируя, получаем

$$x^2+y^2+2z(x+y+z)=x^2+2xz+z^2+y^2+2yz+z^2=(x+z{)}^2+(y+z{)}^2,$$

так что уравнение (1) равносильно

$$(x+z{)}^2+(y+z{)}^2=\sin \alpha .(1^{\prime })$$

Левая часть неотрицательна, значит необходимо

$$\sin \alpha ⩾0.$$

На отрезке $[0;2\pi ]$ это выполнено только при $\alpha \in [0;\pi ]$ и при $\alpha =2\pi \text{.}$ Тем самым весь интервал $(\pi ;2\pi )$ сразу отпадает (там $\sin \alpha <0\text{,}$ и уравнение (1) неразрешимо).

Оценка второго уравнения. Пусть $x⩾0,z⩾0\text{.}$ Тогда все три первых слагаемых в (2) неотрицательны:

$$(x+1){\sin }^2\frac{\alpha }{2}⩾0,y^2\sqrt{x}⩾0,{\alpha }^2\sqrt{z}⩾0.$$

Более того, поскольку $x⩾0\text{,}$ имеем $x+1⩾1\text{,}$ и потому

$$(x+1){\sin }^2\frac{\alpha }{2}⩾{\sin }^2\frac{\alpha }{2}.$$

Отсюда для левой части уравнения (2) получаем оценку снизу

$$\underset{⩾{\sin }^2(\alpha /2)}{\underbrace{(x+1){\sin }^2\frac{\alpha }{2}+y^2\sqrt{x}+{\alpha }^2\sqrt{z}}}+\sin \frac{3\alpha }{2}⩾{\sin }^2\frac{\alpha }{2}+\sin \frac{3\alpha }{2}.(\ast )$$

Знак нижней оценки. Обозначим $s=\sin \frac{\alpha }{2}\text{.}$ Применяя формулу тройного угла $\sin \frac{3\alpha }{2}=3\sin \frac{\alpha }{2}-4{\sin }^3\frac{\alpha }{2}=3s-4s^3\text{,}$ находим

$${\sin }^2\frac{\alpha }{2}+\sin \frac{3\alpha }{2}=s^2+3s-4s^3=s(4s+3)(1-s).$$

На рассматриваемом множестве $\alpha \in [0;\pi ]$ угол $\frac{\alpha }{2}\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]\text{,}$ поэтому $s=\sin \frac{\alpha }{2}\in [0;1]\text{.}$ Для таких $s$ все три множителя неотрицательны:

$$s⩾0,4s+3>0,1-s⩾0,$$

значит

$${\sin }^2\frac{\alpha }{2}+\sin \frac{3\alpha }{2}=s(4s+3)(1-s)⩾0,$$

причём это выражение равно нулю только при $s=0$ (то есть $\alpha =0$) либо при $s=1$ (то есть $\alpha =\pi$).

Внутренние точки $(0;\pi )$ невозможны. При $\alpha \in (0;\pi )$ имеем $s\in (0;1)\text{,}$ поэтому все множители строго положительны и

$${\sin }^2\frac{\alpha }{2}+\sin \frac{3\alpha }{2}=s(4s+3)(1-s)>0.$$

Тогда из оценки $(\ast )$ левая часть уравнения (2) строго положительна, и равенство нулю невозможно. Значит, при $\alpha \in (0;\pi )$ система решений не имеет.

Остаётся проверить три точки $\alpha =0,\alpha =\pi ,\alpha =2\pi \text{.}$ В каждой из них $\sin \alpha =0\text{,}$ поэтому уравнение $(1^{\prime })$ принимает вид

$$(x+z{)}^2+(y+z{)}^2=0⟹x+z=0,y+z=0.$$

С учётом $x⩾0,z⩾0$ из $x+z=0$ следует $x=z=0\text{,}$ а тогда $y=0\text{.}$ Таким образом, единственным кандидатом является

$$(x;y;z)=(0;0;0),$$

он лежит в области определения. Подставим его в уравнение (2): при $x=z=0$ слагаемые $y^2\sqrt{x}$ и ${\alpha }^2\sqrt{z}$ обращаются в нуль, и (2) сводится к

$$1\cdot {\sin }^2\frac{\alpha }{2}+\sin \frac{3\alpha }{2}={\sin }^2\frac{\alpha }{2}+\sin \frac{3\alpha }{2}=s(4s+3)(1-s).$$

• При $\alpha =0\text{:}$ $s=0\text{,}$ выражение равно $0\text{.}$ Уравнение (2) выполнено. Решение $(0;0;0)$ существует.
• При $\alpha =\pi \text{:}$ $s=1\text{,}$ множитель $(1-s)=0\text{,}$ выражение равно $0\text{.}$ Уравнение (2) выполнено (явно: ${\sin }^2\frac{\pi }{2}+\sin \frac{3\pi }{2}=1+(-1)=0$). Решение $(0;0;0)$ существует.
• При $\alpha =2\pi \text{:}$ $s=\sin \pi =0\text{,}$ выражение равно $0$ (явно: ${\sin }^2\pi +\sin 3\pi =0+0=0$). Решение $(0;0;0)$ существует.

Вывод. Система имеет хотя бы одно решение в точности при

$$\boxed{\alpha =0,\alpha =\pi ,\alpha =2\pi .}$$