Найти все значения параметра alpha из отрезка [0;2pi], при которых система casesx^2+y^2+2z(x+y+z)-=0, (x+1)sin^2(alpha)/(2)+y^2sqrt(x)+alpha^2sqrt(z)+sin(3)/(2)alpha=0cases имеет хотя бы одно решение.

Обозначим уравнения системы: cases x^2+y^2+2z(x+y+z)-=0, (1) (x+1)sin^2(alpha)/(2)+y^2sqrt(x)+alpha^2sqrt(z)+sin(3alpha)/(2)=0. (2) cases **Область определения.** В уравнении (2) присутствуют sqrt(x) и sqrt(z), поэтому решение возможно лишь при x 0, z 0. **Преобразование первого уравнения.** Раскрывая скобки и группируя, получаем x^2+y^2+2z(x+y+z)=x^2+2xz+z^2+y^2+2yz+z^2=(x+z)^2+(y+z)^2, так что уравнение (1) равносильно (x+z)^2+(y+z)^2=. (1') Левая часть неотрицательна, значит необходимо 0. На отрезке [0;2pi] это выполнено только при alphain[0;pi] и при alpha=2pi. Тем самым весь интервал (pi;2pi) сразу отпадает (там <0, и уравнение (1) неразрешимо). **Оценка второго уравнения.** Пусть x 0, z 0. Тогда все три первых слагаемых в (2) неотрицательны: (x+1)sin^2(alpha)/(2) 0, y^2sqrt(x) 0, alpha^2sqrt(z) 0. Более того, поскольку x 0, имеем x+1 1, и потому (x+1)sin^2(alpha)/(2) sin^2(alpha)/(2). Отсюда для левой части уравнения (2) получаем оценку снизу (x+1)sin^2(alpha)/(2)+y^2sqrt(x)+alpha^2sqrt(z)_(^2(alpha/2))+sin(3alpha)/(2) sin^2(alpha)/(2)+sin(3alpha)/(2). () **Знак нижней оценки.** Обозначим s=sin(alpha)/(2). Применяя формулу тройного угла sin(3alpha)/(2)=3sin(alpha)/(2)-4sin^3(alpha)/(2)=3s-4s^3, находим sin^2(alpha)/(2)+sin(3alpha)/(2)=s^2+3s-4s^3=s(4s+3)(1-s). На рассматриваемом множестве alphain[0;pi] угол (alpha)/(2)in[0;(pi)/(2)], поэтому s=sin(alpha)/(2)in[0;1]. Для таких s все три множителя неотрицательны: s 0, 4s+3>0, 1-s 0, значит sin^2(alpha)/(2)+sin(3alpha)/(2)=s(4s+3)(1-s) 0, причём это выражение равно нулю **только** при s=0 (то есть alpha=0) либо при s=1 (то есть alpha=pi). **Внутренние точки (0;pi) невозможны.** При alphain(0;pi) имеем sin(0;1), поэтому все множители строго положительны и sin^2(alpha)/(2)+sin(3alpha)/(2)=s(4s+3)(1-s)>0. Тогда из оценки () левая часть уравнения (2) строго положительна, и равенство нулю невозможно. Значит, при alphain(0;pi) система решений не имеет. **Остаётся проверить три точки** alpha=0, alpha=pi, alpha=2pi. В каждой из них =0, поэтому уравнение (1') принимает вид (x+z)^2+(y+z)^2=0 x+z=0, y+z=0. С учётом x 0, z 0 из x+z=0 следует x=z=0, а тогда y=0. Таким образом, единственным кандидатом является (x;y;z)=(0;0;0), он лежит в области определения. Подставим его в уравнение (2): при x=z=0 слагаемые y^2sqrt(x) и alpha^2sqrt(z) обращаются в нуль, и (2) сводится к 1*sin^2(alpha)/(2)+sin(3alpha)/(2)=sin^2(alpha)/(2)+sin(3alpha)/(2)=s(4s+3)(1-s). - При alpha=0: s=0, выражение равно 0. Уравнение (2) выполнено. Решение (0;0;0) существует. - При alpha=pi: s=1, множитель (1-s)=0, выражение равно 0. Уравнение (2) выполнено (явно: sin^2(pi)/(2)+sin(3pi)/(2)=1+(-1)=0). Решение (0;0;0) существует. - При alpha=2pi: s==0, выражение равно 0 (явно: sin^2pi+sin 3pi=0+0=0). Решение (0;0;0) существует. **Вывод.** Система имеет хотя бы одно решение в точности при alpha=0, alpha=pi, alpha=2pi.

\(0;\ \pi;\ 2\pi\)