В окружность вписан четырёхугольник ABCD, P — точка пересечения его диагоналей, AB=CD=5, AD>BC. Высота, спущенная из точки B на сторону AD, равна 3, а площадь треугольника ADP равна (25)/(2). Найти длины сторон AD, BC и радиус окружности.

**Четырёхугольник — равнобедренная трапеция.** В окружность вписан четырёхугольник ABCD, причём AB=CD=5. Равные хорды стягивают равные дуги, поэтому дуги AB и CD равны. Отсюда следует, что стороны AD и BC параллельны. Действительно, для выпуклого вписанного четырёхугольника с вершинами в порядке A,B,C,D обозначим дуги AB, BC, CD, DA. Вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, дают: угол между прямыми AD и BC обращается в нуль ровно тогда, когда AB= CD. Значит, AD BC, и ABCD — трапеция с основаниями AD и BC и боковыми сторонами AB=CD=5. Так как боковые стороны равны, трапеция равнобедренная. По условию AD>BC, поэтому AD — большее (нижнее) основание, BC — меньшее (верхнее). **Высота трапеции.** Опустим из вершины B перпендикуляр на прямую AD. Поскольку BC AD, этот перпендикуляр и есть расстояние между параллельными прямыми AD и BC, то есть высота трапеции. По условию она равна 3: h=3. В равнобедренной трапеции основания перпендикуляров, опущенных из B и C на AD, отсекают на AD два равных отрезка длиной (AD-BC)/(2) каждый. Из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной AB=5, высотой h=3 и этим горизонтальным отрезком, по теореме Пифагора: ((AD-BC)/(2))^2=AB^2-h^2=25-9=16, откуда (AD-BC)/(2)=4, AD-BC=8. 1 **Введём координаты.** Поместим основание AD на ось абсцисс: A=(0,0), D=(a,0), где a=AD. Тогда вершины верхнего основания (с учётом горизонтального отступа 4 и высоты 3) суть B=(4,3), C=(a-4,3), а длина меньшего основания BC=(a-4)-4=a-8, что согласуется с (1): AD-BC=a-(a-8)=8. Условие BC>0 даёт a>8. **Точка пересечения диагоналей и площадь треугольника ADP.** Диагональ AC задаётся как A+t(C-A), диагональ BD — как B+u(D-B). Решая систему cases t(a-4)=4+u(a-4), 3t=3-3u,cases получаем точку пересечения P=((a)/(2), (3a)/(2(a-4))). (Ордината P — это расстояние от P до прямой AD, то есть высота треугольника ADP, опущенная на сторону AD.) Площадь треугольника ADP с основанием AD=a равна S_(ADP)=12* a*(3a)/(2(a-4))=(3a^2)/(4(a-4)). По условию S_(ADP)=(25)/(2), значит (3a^2)/(4(a-4))=(25)/(2) 6a^2=100(a-4) 3a^2-50a+200=0. Дискриминант D=2500-2400=100, корни a=(50+- 10)/(6)=10 или a=(20)/(3). **Отбор корня.** Корень a=(20)/(3) не проходит: он меньше 8, и тогда BC=a-8=-(4)/(3)<0 — длина не может быть отрицательной (а условие AD>BC при этом превращается в формальное неравенство без геометрического смысла). Остаётся AD=a=10, BC=a-8=2. Проверка AD>BC: 10>2 — выполнено; основание перпендикуляра из B попадает в точку (4,0) внутрь отрезка AD, как и должно быть. **Радиус окружности.** Окружность проходит через A=(0,0), D=(10,0), B=(4,3), C=(6,3). Центр лежит на серединном перпендикуляре к AD, то есть на прямой x=5; пусть центр O=(5,y). Из равенства OA=OB: 5^2+y^2=(5-4)^2+(y-3)^2 25+y^2=1+y^2-6y+9 6y=-15, y=-52. Тогда R=OA=sqrt(5^2+(52)^2)=sqrt(25+(25)/(4))=sqrt((125)/(4))=(55)/(2). (Тот же результат даёт обобщённая теорема синусов для хорды AB=5: из треугольника ABD находим AB=2Rsin ADB, откуда R=(55)/(2); кроме того, выполняется теорема Птолемея AC* BD=AB* CD+AD* BC, то есть 35* 35=45=25+20.) **Ответ:** AD=10, BC=2, R=(55)/(2).

\(AD=10;\ BC=2;\ R=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}\)