Задача №18098

В окружность вписан четырёхугольник $ABCD\text{,}$ $P$ — точка пересечения его диагоналей, $AB=CD=5\text{,}$ $AD>BC\text{.}$ Высота, спущенная из точки $B$ на сторону $AD\text{,}$ равна $3\text{,}$ а площадь треугольника $ADP$ равна $\frac{25}{2}\text{.}$ Найти длины сторон $AD\text{,}$ $BC$ и радиус окружности.

Четырёхугольник — равнобедренная трапеция.

В окружность вписан четырёхугольник $ABCD\text{,}$ причём $AB=CD=5\text{.}$ Равные хорды стягивают равные дуги, поэтому дуги $AB$ и $CD$ равны. Отсюда следует, что стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Действительно, для выпуклого вписанного четырёхугольника с вершинами в порядке $A,B,C,D$ обозначим дуги $⌣AB,⌣BC,⌣CD,⌣DA\text{.}$ Вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, дают: угол между прямыми $AD$ и $BC$ обращается в нуль ровно тогда, когда $⌣AB=⌣CD\text{.}$ Значит, $AD\parallel BC\text{,}$ и $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB=CD=5\text{.}$ Так как боковые стороны равны, трапеция равнобедренная.

По условию $AD>BC\text{,}$ поэтому $AD$ — большее (нижнее) основание, $BC$ — меньшее (верхнее).

Высота трапеции.

Опустим из вершины $B$ перпендикуляр на прямую $AD\text{.}$ Поскольку $BC\parallel AD\text{,}$ этот перпендикуляр и есть расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC\text{,}$ то есть высота трапеции. По условию она равна $3\text{:}$

В равнобедренной трапеции основания перпендикуляров, опущенных из $B$ и $C$ на $AD\text{,}$ отсекают на $AD$ два равных отрезка длиной

каждый. Из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной $AB=5\text{,}$ высотой $h=3$ и этим горизонтальным отрезком, по теореме Пифагора:

откуда

Введём координаты.

Поместим основание $AD$ на ось абсцисс: $A=(0,0)\text{,}$ $D=(a,0)\text{,}$ где $a=AD\text{.}$ Тогда вершины верхнего основания (с учётом горизонтального отступа $4$ и высоты $3$) суть

а длина меньшего основания

что согласуется с $(1)\text{:}$ $AD-BC=a-(a-8)=8\text{.}$ Условие $BC>0$ даёт $a>8\text{.}$

Точка пересечения диагоналей и площадь треугольника $ADP\text{.}$

Диагональ $AC$ задаётся как $A+t(C-A)\text{,}$ диагональ $BD$ — как $B+u(D-B)\text{.}$ Решая систему

получаем точку пересечения

(Ордината $P$ — это расстояние от $P$ до прямой $AD\text{,}$ то есть высота треугольника $ADP\text{,}$ опущенная на сторону $AD\text{.}$) Площадь треугольника $ADP$ с основанием $AD=a$ равна

По условию $S_{ADP}=\frac{25}{2}\text{,}$ значит

Дискриминант $D=2500-2400=100\text{,}$ корни

Отбор корня.

Корень $a=\frac{20}{3}$ не проходит: он меньше $8\text{,}$ и тогда $BC=a-8=-\frac{4}{3}<0$ — длина не может быть отрицательной (а условие $AD>BC$ при этом превращается в формальное неравенство без геометрического смысла). Остаётся

Проверка $AD>BC\text{:}$ $10>2$ — выполнено; основание перпендикуляра из $B$ попадает в точку $(4,0)$ внутрь отрезка $AD\text{,}$ как и должно быть.

Радиус окружности.

Окружность проходит через $A=(0,0)\text{,}$ $D=(10,0)\text{,}$ $B=(4,3)\text{,}$ $C=(6,3)\text{.}$ Центр лежит на серединном перпендикуляре к $AD\text{,}$ то есть на прямой $x=5\text{;}$ пусть центр $O=(5,y)\text{.}$ Из равенства $OA=OB\text{:}$

Тогда

(Тот же результат даёт обобщённая теорема синусов для хорды $AB=5\text{:}$ из треугольника $ABD$ находим $AB=2R\sin \angle ADB\text{,}$ откуда $R=\frac{5\sqrt{5}}{2}\text{;}$ кроме того, выполняется теорема Птолемея $AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC\text{,}$ то есть $3\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{5}=45=25+20\text{.}$)

Ответ: