Три параллельные прямые касаются в точках A, B и C сферы радиуса 4 с центром в точке O. Найти угол BAC, если известно, что площадь треугольника OBC равна 4, а площадь треугольника ABC больше 16.
Сведение к плоской задаче.
Касательная к сфере в точке касания перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Поэтому если прямая касается сферы в точке A, то радиус OA перпендикулярен этой прямой, причём ∣OA∣=R=4. То же верно для точек B и C:
∣OA∣=∣OB∣=∣OC∣=4,OA⊥ℓ,OB⊥ℓ,OC⊥ℓ,где ℓ — общее направление трёх параллельных прямых.
Все три радиуса OA, OB, OC перпендикулярны одному и тому же направлению ℓ, значит, они лежат в плоскости π, проходящей через центр O перпендикулярно ℓ. Следовательно, точки A, B, C лежат в плоскости π на окружности радиуса R=4 с центром O (это большой круг сферы, перпендикулярный направлению прямых). Таким образом, задача стала планиметрической: A, B, C — точки окружности радиуса 4, а O — её центр.
Использование площади треугольника OBC.
В треугольнике OBC стороны OB=OC=4, а угол между ними обозначим β=∠BOC∈(0;π). Тогда
SOBC=21OB⋅OC⋅sinβ=21⋅4⋅4⋅sinβ=8sinβ.По условию SOBC=4, поэтому
8sinβ=4⟺sinβ=21⟺β=6π или β=65π.Угол BAC как вписанный угол.
Угол ∠BAC опирается на хорду BC и является вписанным углом окружности. По теореме о вписанном угле он равен половине центрального угла, опирающегося на ту дугу BC, которая не содержит точку A. Дуга BC, отвечающая центральному углу β (та, на которой «стягивается» треугольник OBC), имеет величину β, а дополнительная дуга — величину 2π−β. Поэтому
∠BAC=2β(если A на большей дуге, не содержащей дугу BC), ∠BAC=22π−β=π−2β(если A на меньшей дуге BC).Чтобы выбрать правильный случай, привлечём условие SABC>16.
Отбор по условию SABC>16.
Хорда BC имеет длину BC=2Rsin2β=8sin2β, а расстояние от центра O до прямой BC равно d=Rcos2β=4cos2β. Для точки A окружности высота треугольника ABC, опущенная на BC, не превосходит R+d (когда A на большей дуге, в самой удалённой от хорды точке) или R−d (когда A на меньшей дуге). Поэтому наибольшая возможная площадь равна
SABCmax,больш. дуга=21BC(R+d),SABCmax,мал. дуга=21BC(R−d).Случай β=6π. Тогда
BC=8sin15∘=26−22,d=4cos15∘=6+2, SABCmax=21BC(R+d)=4+46−42≈8,14<16.Здесь даже наибольшая площадь треугольника ABC меньше 16, значит, условие SABC>16 невыполнимо. Случай β=6π отпадает.
Случай β=65π. Тогда
BC=8sin75∘=26+22,d=4cos75∘=6−2,а наибольшие площади на двух дугах равны
SABCmax,больш. дуга=21BC(R+d)=4+42+46≈19,45, SABCmax,мал. дуга=21BC(R−d)=−4+42+46≈11,45.На меньшей дуге площадь не превосходит 11,45<16, поэтому условие SABC>16 на ней невыполнимо. Следовательно, точка A обязана лежать на большей дуге (на ней площадь доходит до 19,45>16).
Вычисление угла.
Итак, реализуется единственная конфигурация: β=65π, точка A — на большей дуге. Тогда вписанный угол
∠BAC=2β=21⋅65π=125π(=75∘).(Заметим, что величина ∠BAC одинакова для всех положений A на большей дуге — она зависит только от хорды BC и не зависит от того, насколько площадь превосходит 16; условие SABC>16 служит лишь для выбора нужной дуги и нужного значения β.)
Ответ: ∠BAC=125π.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Мехмат МГУ (архив)