Три параллельные прямые касаются в точках A, B и C сферы радиуса 4 с центром в точке O. Найти угол BAC, если известно, что площадь треугольника OBC равна 4, а площадь треугольника ABC больше 16.

**Сведение к плоской задаче.** Касательная к сфере в точке касания перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Поэтому если прямая касается сферы в точке A, то радиус OA перпендикулярен этой прямой, причём |OA|=R=4. То же верно для точек B и C: |OA|=|OB|=|OC|=4, OA , OB , OC , где — общее направление трёх параллельных прямых. Все три радиуса OA, OB, OC перпендикулярны одному и тому же направлению , значит, они лежат в плоскости pi, проходящей через центр O перпендикулярно . Следовательно, точки A, B, C лежат в плоскости pi на окружности радиуса R=4 с центром O (это большой круг сферы, перпендикулярный направлению прямых). Таким образом, задача стала планиметрической: A, B, C — точки окружности радиуса 4, а O — её центр. **Использование площади треугольника OBC.** В треугольнике OBC стороны OB=OC=4, а угол между ними обозначим beta= BOCin(0;pi). Тогда S_(OBC)=12OB* OC*=12*4*4*=8. По условию S_(OBC)=4, поэтому 8=4 =12 beta=(pi)/(6) или beta=(5pi)/(6). **Угол BAC как вписанный угол.** Угол BAC опирается на хорду BC и является вписанным углом окружности. По теореме о вписанном угле он равен половине центрального угла, опирающегося на ту дугу BC, которая не содержит точку A. Дуга BC, отвечающая центральному углу beta (та, на которой «стягивается» треугольник OBC), имеет величину beta, а дополнительная дуга — величину 2pi-beta. Поэтому BAC=(beta)/(2) (если A на большей дуге, не содержащей дугу BC), BAC=(2pi-beta)/(2)=pi-(beta)/(2) (если A на меньшей дуге BC). Чтобы выбрать правильный случай, привлечём условие S_(ABC)>16. **Отбор по условию S_(ABC)>16.** Хорда BC имеет длину BC=2Rsin(beta)/(2)=8sin(beta)/(2), а расстояние от центра O до прямой BC равно d=Rcos(beta)/(2)=4cos(beta)/(2). Для точки A окружности высота треугольника ABC, опущенная на BC, не превосходит R+d (когда A на большей дуге, в самой удалённой от хорды точке) или R-d (когда A на меньшей дуге). Поэтому наибольшая возможная площадь равна S_(ABC)^(,больш. дуга)=12BC(R+d), S_(ABC)^(,мал. дуга)=12BC(R-d). Случай beta=(pi)/(6). Тогда BC=815^=26-22, d=415^=6+2, S_(ABC)^()=12BC(R+d)=4+46-42~ 8,14<16. Здесь даже наибольшая площадь треугольника ABC меньше 16, значит, условие S_(ABC)>16 невыполнимо. Случай beta=(pi)/(6) отпадает. Случай beta=(5pi)/(6). Тогда BC=875^=26+22, d=475^=6-2, а наибольшие площади на двух дугах равны S_(ABC)^(,больш. дуга)=12BC(R+d)=4+42+46~19,45, S_(ABC)^(,мал. дуга)=12BC(R-d)=-4+42+46~11,45. На меньшей дуге площадь не превосходит 11,45<16, поэтому условие S_(ABC)>16 на ней невыполнимо. Следовательно, точка A обязана лежать на большей дуге (на ней площадь доходит до 19,45>16). **Вычисление угла.** Итак, реализуется единственная конфигурация: beta=(5pi)/(6), точка A — на большей дуге. Тогда вписанный угол BAC=(beta)/(2)=(1)/(2)*(5pi)/(6)=(5pi)/(12) (=75^). (Заметим, что величина BAC одинакова для всех положений A на большей дуге — она зависит только от хорды BC и не зависит от того, насколько площадь превосходит 16; условие S_(ABC)>16 служит лишь для выбора нужной дуги и нужного значения beta.) **Ответ:** BAC=(5pi)/(12).

\(\dfrac{5\pi}{12}\)