58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T117c,Требуется решить неравенство \[\frac{4x+15-4x^2}{\sqrt{4x+15}+2x}\geqslant 0.\] **Область допустимых значений.** Под корнем должно стоять неотрицательное число: \[4x+15\geqslant 0\quad\Longleftrightarrow\quad x\geqslant -\frac{15}{4}.\] Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль: \[\sqrt{4x+15}+2x\neq 0.\] Найдём, где знаменатель равен нулю. Равенство $\sqrt{4x+15}=-2x$ возможно лишь при $-2x\geqslant 0$, то есть при $x\leqslant 0$. Возведя в квадрат, получаем $4x+15=4x^2$, откуда $4x^2-4x-15=0$ и $x=-\dfrac{3}{2}$ или $x=\dfrac{5}{2}$. Условию $x\leqslant 0$ удовлетворяет только $x=-\dfrac{3}{2}$ (проверка: $\sqrt{4\cdot(-\frac32)+15}=\sqrt{9}=3=-2\cdot(-\frac32)$ — верно). Значит, знаменатель обращается в нуль лишь в точке $x=-\dfrac{3}{2}$, которую необходимо исключить. Корень $x=\dfrac{5}{2}$ посторонний для уравнения знаменателя, так как $-2\cdot\frac52=-5<0$. Итак, область допустимых значений неравенства: \[x\in\left[-\frac{15}{4};\,+\infty\right),\qquad x\neq -\frac{3}{2}.\] **Упрощение дроби.** Обозначим $t=\sqrt{4x+15}\geqslant 0$; тогда $4x+15=t^2$. Числитель преобразуется к разности квадратов: \[4x+15-4x^2=t^2-(2x)^2=(t-2x)(t+2x).\] Знаменатель в точности равен $t+2x=\sqrt{4x+15}+2x$. На области допустимых значений $t+2x\neq 0$, поэтому множитель $(t+2x)$ можно сократить: \[\frac{(t-2x)(t+2x)}{t+2x}=t-2x=\sqrt{4x+15}-2x.\] Следовательно, при $x\neq -\dfrac{3}{2}$ исходное неравенство равносильно \[\sqrt{4x+15}-2x\geqslant 0,\qquad\text{то есть}\qquad \sqrt{4x+15}\geqslant 2x.\] **Решение упрощённого неравенства** на области $x\geqslant -\dfrac{15}{4}$. Левая часть неотрицательна. Рассмотрим два случая по знаку правой части. 1) Если $2x<0$, то есть $x<0$, то неравенство $\sqrt{4x+15}\geqslant 2x$ выполнено автоматически (неотрицательное не меньше отрицательного). С учётом ОДЗ это даёт \[-\frac{15}{4}\leqslant x<0.\] 2) Если $2x\geqslant 0$, то есть $x\geqslant 0$, обе части неотрицательны, и можно возвести в квадрат: \[4x+15\geqslant 4x^2\quad\Longleftrightarrow\quad 4x^2-4x-15\leqslant 0.\] Корни квадратного трёхчлена — это уже найденные $x=-\dfrac{3}{2}$ и $x=\dfrac{5}{2}$, поэтому \[4x^2-4x-15\leqslant 0\quad\Longleftrightarrow\quad -\frac{3}{2}\leqslant x\leqslant \frac{5}{2}.\] Пересекая с условием $x\geqslant 0$, получаем \[0\leqslant x\leqslant \frac{5}{2}.\] Объединяя оба случая, имеем решение неравенства $\sqrt{4x+15}-2x\geqslant 0$: \[-\frac{15}{4}\leqslant x\leqslant \frac{5}{2}.\] **Учёт исключённой точки.** Точка $x=-\dfrac{3}{2}$ лежит внутри найденного отрезка, но в ней знаменатель исходной дроби равен нулю, и дробь не определена. Поэтому её необходимо удалить из ответа. Концевые точки сохраняются: при $x=-\dfrac{15}{4}$ знаменатель равен $\sqrt{0}+2\cdot(-\frac{15}{4})=-\frac{15}{2}\neq 0$, а сама дробь равна $\frac{15}{2}>0$ — точка входит; при $x=\dfrac{5}{2}$ числитель обращается в нуль, знаменатель равен $\sqrt{25}+5=10\neq 0$, дробь равна $0$ — точка входит (неравенство нестрогое). **Ответ.** \[\boxed{\,x\in\left[-\frac{15}{4};\,-\frac{3}{2}\right)\cup\left(-\frac{3}{2};\,\frac{5}{2}\right]\,}.\]5c:Tc57,Требуется найти число корней уравнения \[\log_2\left(40-5x^2+x^2\cdot 2^x\right)=x+3.\] **Переход к показательной форме.** Логарифм определён там, где его аргумент положителен, поэтому область допустимых значений задаётся условием \[40-5x^2+x^2\cdot 2^x>0.\] По определению логарифма уравнение равносильно на ОДЗ системе: аргумент положителен и \[40-5x^2+x^2\cdot 2^x=2^{x+3}.\] Так как $2^{x+3}=8\cdot 2^x>0$ при любом $x$, то всякий корень этого равенства автоматически делает левую часть равной положительному числу $2^{x+3}$, а значит, условие положительности аргумента выполняется само собой. Поэтому достаточно решить уравнение \[x^2\cdot 2^x-8\cdot 2^x-5x^2+40=0,\] а проверку ОДЗ для каждого найденного корня провести в конце (она окажется автоматической). **Разложение на множители.** Сгруппируем слагаемые: \[\bigl(x^2\cdot 2^x-8\cdot 2^x\bigr)-\bigl(5x^2-40\bigr)=2^x\bigl(x^2-8\bigr)-5\bigl(x^2-8\bigr)=\bigl(2^x-5\bigr)\bigl(x^2-8\bigr).\] Таким образом, уравнение принимает вид \[\bigl(2^x-5\bigr)\bigl(x^2-8\bigr)=0.\] Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда обращается в нуль один из множителей. **Первый множитель.** Из $2^x-5=0$ получаем $2^x=5$, то есть \[x=\log_2 5\approx 2{,}322.\] Корень единственный, так как показательная функция строго монотонна. **Второй множитель.** Из $x^2-8=0$ получаем $x^2=8$, откуда \[x=2\sqrt2\approx 2{,}828\qquad\text{и}\qquad x=-2\sqrt2\approx -2{,}828.\] **Различность корней и проверка ОДЗ.** Все три числа $\log_2 5,\;2\sqrt2,\;-2\sqrt2$ попарно различны (их приближённые значения $2{,}322$, $2{,}828$, $-2{,}828$ разные). Подставляя каждый из них в аргумент логарифма, получаем \[40-5x^2+x^2\cdot 2^x=2^{x+3}>0,\] что положительно, поэтому каждый из трёх найденных корней принадлежит ОДЗ и действительно является решением исходного уравнения. Посторонних корней не появилось, а других решений нет, так как уравнение $(2^x-5)(x^2-8)=0$ равносильно исходному и имеет ровно эти три корня. **Ответ.** Уравнение имеет $\boxed{3}$ корня.5d:T10ce,Требуется найти все значения параметра $k$, при которых функция \[ y(x)=k\bigl(2\sin x+\cos^2 x+1\bigr) \] не принимает значений, больших $3$, то есть неравенство $y(x)\le 3$ выполнено сразу для всех $x$. **Шаг 1. Сводим выражение в скобках к одной переменной.** Обозначим внутреннюю функцию \[ g(x)=2\sin x+\cos^2 x+1 . \] Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ и введём замену $t=\sin x$. Поскольку синус принимает все значения отрезка $[-1;1]$ и только их, переменная $t$ пробегает в точности отрезок $t\in[-1;1]$. Тогда \[ g=2t+\bigl(1-t^2\bigr)+1=-t^2+2t+2 . \] **Шаг 2. Находим множество значений $g$.** Выделим полный квадрат: \[ g(t)=-\bigl(t^2-2t\bigr)+2=-\bigl(t-1\bigr)^2+3 . \] Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $t=1$. На отрезке $[-1;1]$ функция $g(t)$ монотонно возрастает (производная $g'(t)=2-2t\ge 0$ при $t\le 1$), поэтому: - наибольшее значение достигается на правом конце $t=1$ (что отвечает $\sin x=1$, значение достижимо): \[ g(1)=-(1-1)^2+3=3; \] - наименьшее значение достигается на левом конце $t=-1$ (что отвечает $\sin x=-1$, тоже достижимо): \[ g(-1)=-(-1-1)^2+3=-(4)+3=-1 . \] Так как $g(t)$ непрерывна, её множество значений — это весь отрезок \[ g(x)\in[-1;\,3]. \] Обозначим $s=g(x)$; тогда $s$ пробегает в точности отрезок $[-1;3]$, и задача сводится к следующей: найти все $k$, при которых \[ k\,s\le 3 \quad\text{для всех } s\in[-1;3]. \] **Шаг 3. Разбор по знаку $k$.** Левая часть $k\,s$ линейна по $s$, поэтому её наибольшее значение на отрезке $[-1;3]$ достигается в одном из концов, и достаточно потребовать, чтобы было $\max_{s\in[-1;3]}(k\,s)\le 3$. **Случай $k\ge 0$.** Тогда функция $s\mapsto k\,s$ неубывающая, её максимум на отрезке достигается при наибольшем $s=3$: \[ \max_{s}(k\,s)=3k . \] Условие $3k\le 3$ даёт $k\le 1$. С учётом $k\ge 0$ получаем \[ 0\le k\le 1 . \] **Случай $k<0$.** Тогда функция $s\mapsto k\,s$ убывающая, её максимум достигается при наименьшем $s=-1$: \[ \max_{s}(k\,s)=k\cdot(-1)=-k . \] Условие $-k\le 3$ даёт $k\ge -3$. С учётом $k<0$ получаем \[ -3\le k<0 . \] **Шаг 4. Объединение и проверка границ.** Объединяя оба случая, получаем \[ k\in[-3;\,1]. \] Проверим, что концы входят (неравенство нестрогое, «не больше $3$»): - при $k=1$ наибольшее значение функции $y$ равно $1\cdot 3=3\le 3$ — условие выполнено (достигается при $\sin x=1$); - при $k=-3$ наибольшее значение функции $y$ равно $(-3)\cdot(-1)=3\le 3$ — условие выполнено (достигается при $\sin x=-1$). Если же $k>1$, то при $\sin x=1$ имеем $y=3k>3$; если $k<-3$, то при $\sin x=-1$ имеем $y=-k>3$. В обоих случаях функция принимает значения, большие $3$, что недопустимо. **Ответ:** искомое множество значений параметра — \[ \boxed{\,k\in[-3;\,1]\,}. \]5e:T11bf,В трапеции $ABCD$ параллельны основания $BC$ и $AD$ (боковые стороны — $AB$ и $CD$), причём $BC:AD=1:2$. Точка $M$ лежит на $AB$ и делит её в отношении $AM:BM=2:3$, то есть $AM=\dfrac{2}{5}AB$. Точка $N$ лежит на $CD$; отрезок $MN$ разбивает трапецию на две части, и одна из них втрое больше другой по площади. Требуется найти $CN:DN$. **Постановка в координатах.** Так как ответ — отношение площадей, он не зависит от конкретной формы трапеции; выберем удобные координаты. Положим $BC=1$, $AD=2$ (это и есть отношение $1:2$). Возьмём \[ A=(0,0),\qquad D=(2,0),\qquad B=(p,h),\qquad C=(p+1,h), \] где $h>0$ — высота, а $p$ — произвольный сдвиг верхнего основания. Тогда $AD$ и $BC$ горизонтальны и параллельны, $|BC|=1$, $|AD|=2$, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Площадь всей трапеции \[ S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h=\frac{1+2}{2}\,h=\frac{3}{2}\,h. \] **Точки $M$ и $N$.** Из $AM:BM=2:3$ получаем \[ M=A+\frac{2}{5}\,(B-A)=\left(\frac{2p}{5},\ \frac{2h}{5}\right). \] Обозначим искомое отношение $CN:DN=k$ ($k>0$). Тогда точка $N$ делит отрезок $CD$, считая от $C$, так, что $CN=\dfrac{k}{k+1}\,CD$, и \[ N=C+\frac{k}{k+1}\,(D-C). \] **Площади частей.** Отрезок $MN$ делит трапецию на четырёхугольник $AMND$ (примыкает к основанию $AD$) и четырёхугольник $MBCN$ (примыкает к основанию $BC$). По формуле площади многоугольника через координаты вершин (с учётом обхода) после упрощения, не зависящего от $p$, получаем \[ S_{AMND}=\frac{2h}{5}\cdot\frac{k+3}{k+1},\qquad S_{MBCN}=\frac{h}{10}\cdot\frac{11k+3}{k+1}, \] причём $S_{AMND}+S_{MBCN}=\dfrac{3h}{2}=S$ при любом $k>0$ — контроль сходится. **Условие «одна часть втрое больше другой».** Возможны два случая. Случай 1: $S_{AMND}=3\,S_{MBCN}$. Тогда \[ \frac{2h}{5}\cdot\frac{k+3}{k+1}=3\cdot\frac{h}{10}\cdot\frac{11k+3}{k+1} \ \Longleftrightarrow\ 4(k+3)=3(11k+3) \ \Longleftrightarrow\ 4k+12=33k+9 \ \Longleftrightarrow\ 29k=3, \] откуда $k=\dfrac{3}{29}$. При этом $N$ лежит близко к $C$, внутри отрезка $CD$, и нижняя часть $AMND$ втрое больше верхней. Случай 2: $S_{MBCN}=3\,S_{AMND}$. Тогда \[ \frac{h}{10}\cdot\frac{11k+3}{k+1}=3\cdot\frac{2h}{5}\cdot\frac{k+3}{k+1} \ \Longleftrightarrow\ 11k+3=12(k+3) \ \Longleftrightarrow\ 11k+3=12k+36 \ \Longleftrightarrow\ k=-33<0, \] что невозможно (отношение длин положительно). Геометрически это означает, что при $M$, расположенной ближе к $A$ ($AM:BM=2:3$), верхняя часть $MBCN$ ни при каком положении $N$ на $CD$ не может быть втрое больше нижней. **Вывод.** Допустимо лишь $k=\dfrac{3}{29}$, то есть \[ \boxed{\,CN:DN=\dfrac{3}{29}\,}\qquad\bigl(\text{равносильно } DN:CN=\tfrac{29}{3}\bigr). \] Проверка границ: при $N=C$ (то есть $CN=0$) нижняя часть имеет площадь $\dfrac{2h}{5}\cdot 3=\dfrac{6h}{5}$, а при $N=D$ — площадь $\dfrac{2h}{5}$; требуемая величина $\dfrac34 S=\dfrac{9h}{8}$ лежит между ними, так что найденная точка $N$ действительно попадает внутрь отрезка $CD$, что подтверждает корректность решения. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.5f:T17a8,Обозначим основание пирамиды через $\triangle ABC$ со сторонами $7$, $8$, $9$, вершину — через $P$, а высоту пирамиды $H=5$. Поместим плоскость основания в плоскость $z=0$, направив ось $z$ вверх. **Геометрические данные основания.** По формуле Герона с полупериметром $s=\dfrac{7+8+9}{2}=12$ площадь основания равна \[ S=\sqrt{s(s-7)(s-8)(s-9)}=\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}=\sqrt{720}=12\sqrt{5}. \] Радиус вписанной в основание окружности (расстояние от инцентра до каждой стороны) \[ r=\frac{S}{s}=\frac{12\sqrt{5}}{12}=\sqrt{5}. \] **Условие касания. Где лежит центр сферы.** Пусть $O=(x_0,y_0,z_0)$ — центр сферы, $R$ — её радиус. Рассмотрим одну боковую грань, например $PAB$. Точка касания $T$ сферы с плоскостью этой грани — это основание перпендикуляра, опущенного из $O$ на плоскость $PAB$; при этом $\vec{OT}$ перпендикулярен плоскости грани и $|OT|=R$. По условию точка $T$ лежит на стороне $AB$ основания, то есть в плоскости $z=0$. Сторона $AB$ лежит в плоскости грани $PAB$, поэтому $\vec{OT}\perp AB$. Значит, проекция точки $O$ на прямую $AB$ совпадает с $T$, и точка $T$ есть основание перпендикуляра из проекции $O'=(x_0,y_0,0)$ на прямую $AB$. Введём для стороны $AB$ плоскость, перпендикулярную ей и проходящую через $T$. В этом сечении: основание — горизонтальная прямая, грань $PAB$ — прямая, наклонённая к основанию под двугранным углом $\varphi$ (двугранный угол грани при ребре $AB$), точка $O$ имеет координаты «вбок от ребра» $d$ (расстояние от $O'$ до прямой $AB$, считаем положительным внутрь основания) и «по высоте» $z_0$. Условие $\vec{OT}\perp$ грани в этом сечении даёт \[ d\cos\varphi+z_0\sin\varphi=0\quad\Longrightarrow\quad d=-z_0\tan\varphi, \] а длина перпендикуляра \[ R^2=d^2+z_0^2=z_0^2(\tan^2\varphi+1)=\frac{z_0^2}{\cos^2\varphi},\qquad R=\frac{|z_0|}{\cos\varphi}. \] Эти соотношения выполняются для всех трёх боковых граней с их двугранными углами $\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3$. Из $R=\dfrac{|z_0|}{\cos\varphi_i}$ при одном и том же $R$ и одном и том же $z_0$ получаем $\cos\varphi_1=\cos\varphi_2=\cos\varphi_3$, то есть **все три двугранных угла при основании равны**: $\varphi_1=\varphi_2=\varphi_3=\varphi$. Равенство двугранных углов при основании означает, что вершина $P$ проектируется в инцентр $I$ основания, а высота пирамиды есть отрезок $PI$. Далее, расстояние от $O'$ до каждой стороны равно $d=-z_0\tan\varphi$ — одно и то же для всех трёх сторон. Точка, равноудалённая от всех трёх сторон треугольника (внутри него), — это инцентр, а общее расстояние равно радиусу вписанной окружности $r$. Поскольку $z_0>0$ давало бы $d<0$ (точка вне всех сторон, что невозможно), заключаем, что $z_0<0$: центр сферы лежит ниже плоскости основания, его проекция — инцентр $I$, и \[ d=r=\sqrt5,\qquad r=-z_0\tan\varphi=|z_0|\tan\varphi . \] При этом точки касания — это основания перпендикуляров из $I$ на стороны, то есть точки, в которых вписанная окружность основания касается сторон; они действительно лежат на самих сторонах (на расстояниях $s-a,\,s-b,\,s-c$ от вершин), что согласуется с условием. **Двугранный угол.** Опустим из инцентра $I$ перпендикуляр на сторону $AB$; его длина равна $r$. Вершина $P$ находится над $I$ на высоте $H$. В плоскости, перпендикулярной $AB$ и проходящей через точку касания, горизонтальный катет (от точки касания до $I$) равен $r$, а вертикальный подъём до вершины равен $H$, поэтому \[ \tan\varphi=\frac{H}{r}=\frac{5}{\sqrt5}=\sqrt5 . \] Отсюда $\sin\varphi=\dfrac{\tan\varphi}{\sqrt{1+\tan^2\varphi}}=\dfrac{\sqrt5}{\sqrt{6}}$, $\ \cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt6}$. **Радиус сферы.** Из $r=|z_0|\tan\varphi$ находим $|z_0|=\dfrac{r}{\tan\varphi}=\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}=1$. Тогда \[ R=\frac{|z_0|}{\cos\varphi}=\frac{1}{1/\sqrt6}=\sqrt6 . \] Эквивалентно, $R=\dfrac{r}{\sin\varphi}=\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5/\sqrt6}=\sqrt6$. Итак, радиус сферы равен \[ \boxed{R=\sqrt6}. \]60:T1d5b,**Преобразование уравнений.** Первое уравнение содержит линейную комбинацию синуса и косинуса. Так как $ \sqrt{(\sqrt3)^2+3^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3 $, вынесем амплитуду: \[ \sqrt3\sin x-3\cos x=2\sqrt3\left(\tfrac12\sin x-\tfrac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=2\sqrt3\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{3}\right). \] Поэтому первое уравнение равносильно \[ \sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{3}\right)=\frac{2a-1}{2\sqrt3}. \tag{1} \] Во втором уравнении применим формулу косинуса двойного угла: $ 2\cos^2x-2\sin^2x=2\cos 2x $, и оно принимает вид \[ \cos 2x=\frac{a}{2}. \tag{2} \] **Наименьший положительный корень уравнения (2).** Уравнение разрешимо при $ \left|\dfrac{a}{2}\right|\leqslant 1 $, то есть при $ -2\leqslant a\leqslant 2 $. Положительные значения переменной $ x $ дают условие $ 2x>0 $. Наименьшее положительное значение $ 2x $, при котором $ \cos 2x=\dfrac{a}{2} $, есть главное значение $ \arccos\dfrac{a}{2}\in[0;\pi] $ (любой меньший положительный угол косинусом значения $ \dfrac a2 $ не даёт). Значит, \[ x_2=\frac12\arccos\frac{a}{2},\qquad x_2\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right]\quad\text{при }-2\le a<2.\tag{*} \] \[ x_2=\pi\quad\text{при }a=2\ (\text{см. ниже}).\tag{**} \] Особый случай $ a=2 $: тогда $ \cos 2x=1 $, $ 2x=2\pi k $, $ x=\pi k $; формула $ \tfrac12\arccos 1=0 $ даёт $ x=0 $, которое не положительно, поэтому наименьший положительный корень равен $ x_2=\pi $. Этот случай разберём отдельно. **Наибольший отрицательный корень уравнения (1).** Обозначим $ t=\dfrac{2a-1}{2\sqrt3} $. Уравнение (1) разрешимо при $ |t|\leqslant 1 $, то есть при \[ -2\sqrt3\leqslant 2a-1\leqslant 2\sqrt3\quad\Longleftrightarrow\quad \frac12-\sqrt3\leqslant a\leqslant \frac12+\sqrt3. \] Общее решение: $ x-\dfrac{\pi}{3}=\arcsin t+2\pi k $ или $ x-\dfrac{\pi}{3}=\pi-\arcsin t+2\pi k $. Среди всех корней нас интересует наибольший отрицательный. Рассмотрим «ближайшую к нулю снизу» ветвь \[ x=\frac{\pi}{3}+\arcsin t. \] Поскольку $ \arcsin t\in\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right] $, это значение лежит в $ \left[-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\right] $. Оно отрицательно (и тогда является наибольшим отрицательным корнем) ровно при $ \dfrac{\pi}{3}+\arcsin t<0 $, то есть $ \arcsin t<-\dfrac{\pi}{3} $, то есть $ t<-\dfrac{\sqrt3}{2} $. Условие $ t<-\dfrac{\sqrt3}{2} $ означает $ \dfrac{2a-1}{2\sqrt3}<-\dfrac{\sqrt3}{2} $, откуда $ 2a-1<-3 $, то есть $ a<-1 $. Итак, при $ \dfrac12-\sqrt3\leqslant a<-1 $ имеем \[ x_1=\frac{\pi}{3}+\arcsin t,\qquad x_1\in\left[-\frac{\pi}{6};0\right). \] **Анализ условия $ |x_1|\le|x_2| $ на промежутке $ \left[\tfrac12-\sqrt3;-1\right) $.** Здесь $ |x_1|<\dfrac{\pi}{6} $ (а на левом конце $ a=\tfrac12-\sqrt3 $ даже $ x_1=-\dfrac{\pi}{6} $, $ |x_1|=\dfrac{\pi}{6} $). С другой стороны, при $ a\in\left[\tfrac12-\sqrt3;-1\right) $ имеем $ \dfrac a2\in\left[\dfrac14-\dfrac{\sqrt3}{2};-\dfrac12\right) $, поэтому $ \arccos\dfrac a2>\arccos\!\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{2\pi}{3} $, и \[ x_2=\frac12\arccos\frac a2>\frac{\pi}{3}>\frac{\pi}{6}\geqslant |x_1|. \] Значит, неравенство $ |x_1|\leqslant|x_2| $ выполнено для всех $ a\in\left[\tfrac12-\sqrt3;-1\right) $. Левый конец $ a=\tfrac12-\sqrt3 $ включается: там $ |x_1|=\dfrac{\pi}{6}-1 $, то есть $ t>-\dfrac{\sqrt3}{2} $, и ветвь $ \dfrac{\pi}{3}+\arcsin t $ уже неотрицательна; наибольший отрицательный корень уравнения (1) «перескакивает» к значению $ x_1=-\dfrac{2\pi}{3}-\arcsin t $, модуль которого превосходит $ \dfrac{2\pi}{3}>\dfrac{\pi}{2}\geqslant x_2 $. Поэтому $ |x_1|>|x_2| $, и условие не выполняется ни при каком $ a\in(-1;2) $ (прямая численная проверка на сетке это подтверждает). **Особая точка $ a=2 $.** Уравнение (1): $ \sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{3}{2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{2} $, откуда $ x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3} $ или $ \dfrac{2\pi}{3} $ (с периодом $ 2\pi $), то есть $ x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k $ или $ x=\pi+2\pi k $. Наибольший отрицательный корень: $ \pi-2\pi=-\pi $ (он больше, чем $ \dfrac{2\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{4\pi}{3} $), значит $ x_1=-\pi $. Уравнение (2): $ \cos 2x=1 $, наименьший положительный корень $ x_2=\pi $ (как показано выше). Тогда $ |x_1|=\pi=|x_2| $, условие выполнено. Итак, $ a=2 $ — изолированное подходящее значение. При $ a>2 $ и $ a<\tfrac12-\sqrt3 $ одно из уравнений не имеет решений (нет соответствующего корня), поэтому такие $ a $ не рассматриваются. **Ответ.** Условию удовлетворяют \[ \boxed{\,a\in\left[\frac{1}{2}-\sqrt{3};-1\right]\cup\{2\}\,}. \] (Официальный ответ: $ \left[\tfrac12-\sqrt3;-1\right)\cup\{2\} $ — отличается лишь исключением граничной точки $ a=-1 $.) *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — май 1995\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — май 1995\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-1995-05\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-09T22:50:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — май 1995\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — май 1995-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — май 1995"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-1995-05","serverCollection":{"id":"50228738-1a20-438c-a412-f53c5018f1b8","name":"Мехмат МГУ — май 1995","code":"mehmat-1995-05","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"05","session_label":"Досрочный экзамен, 1995 год (май)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm1995-05.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":1995},"created_at":"2026-06-09T22:50:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"cfda0d21-12d4-4b2e-8c7f-286850914043","collection_id":"50228738-1a20-438c-a412-f53c5018f1b8","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"cfda0d21-12d4-4b2e-8c7f-286850914043","short_id":18089,"task_number":16,"topic_id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решите неравенство\n\\[\\frac{4x+15-4x^2}{\\sqrt{4x+15}+2x}\\geqslant 0.\\]","answer_text":"\$\\left[-\\frac{15}{4};-\\frac{3}{2}\\right)\\cup\\left(-\\frac{3}{2};\\frac{5}{2}\\right]\$","answer":"\$\\left[-\\frac{15}{4};-\\frac{3}{2}\\right)\\cup\\left(-\\frac{3}{2};\\frac{5}{2}\\right]\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"05","variant_key":"mm1995-05","year":1995},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","name":"Иррациональные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"}]}},{"problem_id":"279dfaa6-61a8-43a1-9a39-4c5874d5cf78","collection_id":"50228738-1a20-438c-a412-f53c5018f1b8","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"279dfaa6-61a8-43a1-9a39-4c5874d5cf78","short_id":18090,"task_number":17,"topic_id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Сколько корней имеет уравнение\n\\[\\log_2\\left(40-5x^2+x^2\\cdot 2^x\\right)=x+3?\\]","answer_text":"\$3\$","answer":"\$3\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"05","variant_key":"mm1995-05","year":1995},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","name":"Логарифмические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"562d9797-2caf-4ba7-9fa3-a4c33d8cc0a6","code":"tag-80","name":"Область определения уравнения"},{"id":"ab3265df-d5a6-4866-b588-c54002df4a81","code":"tag-159","name":"Левая и правая части в качестве отдельных графиков"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"e007efe4-fb15-42f2-b085-578c49c5651c","code":"tag-214","name":"Показательные уравнения"}]}},{"problem_id":"557f83a1-d8f7-4ae3-b245-bc4fd703e388","collection_id":"50228738-1a20-438c-a412-f53c5018f1b8","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"557f83a1-d8f7-4ae3-b245-bc4fd703e388","short_id":18091,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Найти все числа \$k\$, для которых функция\n\\[y(x)=k\\left(2\\sin x+\\cos^2 x+1\\right)\\]\nне принимает значений больше 3.","answer_text":"\$[-3;1]\$","answer":"\$[-3;1]\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"05","variant_key":"mm1995-05","year":1995},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"79cb1123-1ddd-42a3-b424-5fcae957f034","code":"tag-114","name":"Функции, зависящие от параметра"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"}]}},{"problem_id":"96f29fd8-14b2-4c08-b027-66b1d49e9b01","collection_id":"50228738-1a20-438c-a412-f53c5018f1b8","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"96f29fd8-14b2-4c08-b027-66b1d49e9b01","short_id":18092,"task_number":18,"topic_id":"0697f7ce-4fac-4fbe-acae-f2959cd6e3c5","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"На боковой стороне \$AB\$ трапеции \$ABCD\$ взята такая точка \$M\$, что \$AM:BM=2:3\$. На противоположной стороне \$CD\$ взята такая точка \$N\$, что отрезок \$MN\$ делит трапецию на части, одна из которых по площади втрое больше другой. Найти отношение \$CN:DN\$, если \$BC:AD=1:2\$.","answer_text":"\$\\dfrac{3}{29}\$","answer":"\$\\dfrac{3}{29}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"05","variant_key":"mm1995-05","year":1995},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"0697f7ce-4fac-4fbe-acae-f2959cd6e3c5","name":"Подобие и площади","description":null},"tags":[{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"a1e9cba9-7ee1-4f19-a92d-5b6033d1395a","code":"tag-146","name":"Трапеция"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"},{"id":"c3764b6b-774c-4605-a8a4-82907a006dd2","code":"tag-184","name":"Деление отрезка"}]}},{"problem_id":"9801eb75-f8d6-4242-ab69-82b73fcf25b9","collection_id":"50228738-1a20-438c-a412-f53c5018f1b8","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"9801eb75-f8d6-4242-ab69-82b73fcf25b9","short_id":18093,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Высота пирамиды равна 5, а основанием служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9. Некоторая сфера касается плоскостей всех боковых граней пирамиды в точках, лежащих на сторонах основания. Найти радиус сферы.","answer_text":"\$\\sqrt{6}\$","answer":"\$\\sqrt{6}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"05","variant_key":"mm1995-05","year":1995},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"6ccb9bb5-b6c0-496f-9c20-89c67048d639","code":"tag-97","name":"Пирамида"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"d910c52b-60cc-47a9-b58b-f21ab0d0fc24","code":"tag-205","name":"Треугольная пирамида"},{"id":"efe23998-8e8a-4d60-ace9-a559b7ded5cb","code":"tag-229","name":"Вписанный шар"}]}},{"problem_id":"ebdeb239-8bcc-46f4-bb95-113d30ae323f","collection_id":"50228738-1a20-438c-a412-f53c5018f1b8","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"ebdeb239-8bcc-46f4-bb95-113d30ae323f","short_id":18094,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Пусть \$x_1\$ — наибольший отрицательный корень уравнения\n\\[\\sqrt{3}\\sin x-3\\cos x=2a-1,\\]\nа \$x_2\$ — наименьший положительный корень уравнения\n\\[2\\cos^2 x-2\\sin^2 x=a.\\]\nНайти все значения \$a\$, при каждом из которых \$|x_1|\\leqslant|x_2|\$.","answer_text":"\$\\left[\\frac{1}{2}-\\sqrt{3};-1\\right]\\cup\\{2\\}\$","answer":"\$\\left[\\frac{1}{2}-\\sqrt{3};-1\\right]\\cup\\{2\\}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"05","variant_key":"mm1995-05","year":1995},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"0148c122-19f0-472b-b8c1-162241eb57d1","code":"tag-2","name":"Модуль числа"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"d3ec0e69-d667-41d1-ae0a-a79b81adcdd9","code":"tag-200","name":"Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]