Сколько корней имеет уравнение _2(40-5x^2+x^2* 2^x)=x+3?

Требуется найти число корней уравнения _2(40-5x^2+x^2* 2^x)=x+3. **Переход к показательной форме.** Логарифм определён там, где его аргумент положителен, поэтому область допустимых значений задаётся условием 40-5x^2+x^2* 2^x>0. По определению логарифма уравнение равносильно на ОДЗ системе: аргумент положителен и 40-5x^2+x^2* 2^x=2^(x+3). Так как 2^(x+3)=8* 2^x>0 при любом x, то всякий корень этого равенства автоматически делает левую часть равной положительному числу 2^(x+3), а значит, условие положительности аргумента выполняется само собой. Поэтому достаточно решить уравнение x^2* 2^x-8* 2^x-5x^2+40=0, а проверку ОДЗ для каждого найденного корня провести в конце (она окажется автоматической). **Разложение на множители.** Сгруппируем слагаемые: (x^2* 2^x-8* 2^x)-(5x^2-40)=2^x(x^2-8)-5(x^2-8)=(2^x-5)(x^2-8). Таким образом, уравнение принимает вид (2^x-5)(x^2-8)=0. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда обращается в нуль один из множителей. **Первый множитель.** Из 2^x-5=0 получаем 2^x=5, то есть x=_2 5~ 2,322. Корень единственный, так как показательная функция строго монотонна. **Второй множитель.** Из x^2-8=0 получаем x^2=8, откуда x=22~ 2,828 и x=-22~ -2,828. **Различность корней и проверка ОДЗ.** Все три числа _2 5,22,-22 попарно различны (их приближённые значения 2,322, 2,828, -2,828 разные). Подставляя каждый из них в аргумент логарифма, получаем 40-5x^2+x^2* 2^x=2^(x+3)>0, что положительно, поэтому каждый из трёх найденных корней принадлежит ОДЗ и действительно является решением исходного уравнения. Посторонних корней не появилось, а других решений нет, так как уравнение (2^x-5)(x^2-8)=0 равносильно исходному и имеет ровно эти три корня. **Ответ.** Уравнение имеет 3 корня.

\(3\)