Задача №18090

Сколько корней имеет уравнение

$${\log }_2\left(40-5x^2+x^2\cdot 2^x\right)=x+3?$$

Требуется найти число корней уравнения

$${\log }_2\left(40-5x^2+x^2\cdot 2^x\right)=x+3.$$

Переход к показательной форме. Логарифм определён там, где его аргумент положителен, поэтому область допустимых значений задаётся условием

$$40-5x^2+x^2\cdot 2^x>0.$$

По определению логарифма уравнение равносильно на ОДЗ системе: аргумент положителен и

$$40-5x^2+x^2\cdot 2^x=2^{x+3}.$$

Так как $2^{x+3}=8\cdot 2^x>0$ при любом $x\text{,}$ то всякий корень этого равенства автоматически делает левую часть равной положительному числу $2^{x+3}\text{,}$ а значит, условие положительности аргумента выполняется само собой. Поэтому достаточно решить уравнение

$$x^2\cdot 2^x-8\cdot 2^x-5x^2+40=0,$$

а проверку ОДЗ для каждого найденного корня провести в конце (она окажется автоматической).

Разложение на множители. Сгруппируем слагаемые:

$$(x^2\cdot 2^x-8\cdot 2^x)-(5x^2-40)=2^x(x^2-8)-5(x^2-8)=(2^x-5)(x^2-8).$$

Таким образом, уравнение принимает вид

$$(2^x-5)(x^2-8)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда обращается в нуль один из множителей.

Первый множитель. Из $2^x-5=0$ получаем $2^x=5\text{,}$ то есть

$$x={\log }_{2}5\approx 2,322.$$

Корень единственный, так как показательная функция строго монотонна.

Второй множитель. Из $x^2-8=0$ получаем $x^2=8\text{,}$ откуда

$$x=2\sqrt{2}\approx 2,828\text{и}x=-2\sqrt{2}\approx -2,828.$$

Различность корней и проверка ОДЗ. Все три числа ${\log }_{2}5,2\sqrt{2},-2\sqrt{2}$ попарно различны (их приближённые значения $2,322\text{,}$ $2,828\text{,}$ $-2,828$ разные). Подставляя каждый из них в аргумент логарифма, получаем

$$40-5x^2+x^2\cdot 2^x=2^{x+3}>0,$$

что положительно, поэтому каждый из трёх найденных корней принадлежит ОДЗ и действительно является решением исходного уравнения. Посторонних корней не появилось, а других решений нет, так как уравнение $(2^x-5)(x^2-8)=0$ равносильно исходному и имеет ровно эти три корня.

Ответ. Уравнение имеет $\boxed{3}$ корня.