На боковой стороне AB трапеции ABCD взята такая точка M, что AM:BM=2:3. На противоположной стороне CD взята такая точка N, что отрезок MN делит трапецию на части, одна из которых по площади втрое больше другой. Найти отношение CN:DN, если BC:AD=1:2.

В трапеции ABCD параллельны основания BC и AD (боковые стороны — AB и CD), причём BC:AD=1:2. Точка M лежит на AB и делит её в отношении AM:BM=2:3, то есть AM=(2)/(5)AB. Точка N лежит на CD; отрезок MN разбивает трапецию на две части, и одна из них втрое больше другой по площади. Требуется найти CN:DN. **Постановка в координатах.** Так как ответ — отношение площадей, он не зависит от конкретной формы трапеции; выберем удобные координаты. Положим BC=1, AD=2 (это и есть отношение 1:2). Возьмём A=(0,0), D=(2,0), B=(p,h), C=(p+1,h), где h>0 — высота, а p — произвольный сдвиг верхнего основания. Тогда AD и BC горизонтальны и параллельны, |BC|=1, |AD|=2, а AB и CD — боковые стороны. Площадь всей трапеции S=(BC+AD)/(2)* h=(1+2)/(2)h=(3)/(2)h. **Точки M и N.** Из AM:BM=2:3 получаем M=A+(2)/(5)(B-A)=((2p)/(5), (2h)/(5)). Обозначим искомое отношение CN:DN=k (k>0). Тогда точка N делит отрезок CD, считая от C, так, что CN=(k)/(k+1)CD, и N=C+(k)/(k+1)(D-C). **Площади частей.** Отрезок MN делит трапецию на четырёхугольник AMND (примыкает к основанию AD) и четырёхугольник MBCN (примыкает к основанию BC). По формуле площади многоугольника через координаты вершин (с учётом обхода) после упрощения, не зависящего от p, получаем S_(AMND)=(2h)/(5)*(k+3)/(k+1), S_(MBCN)=(h)/(10)*(11k+3)/(k+1), причём S_(AMND)+S_(MBCN)=(3h)/(2)=S при любом k>0 — контроль сходится. **Условие «одна часть втрое больше другой».** Возможны два случая. Случай 1: S_(AMND)=3S_(MBCN). Тогда (2h)/(5)*(k+3)/(k+1)=3*(h)/(10)*(11k+3)/(k+1) 4(k+3)=3(11k+3) 4k+12=33k+9 29k=3, откуда k=(3)/(29). При этом N лежит близко к C, внутри отрезка CD, и нижняя часть AMND втрое больше верхней. Случай 2: S_(MBCN)=3S_(AMND). Тогда (h)/(10)*(11k+3)/(k+1)=3*(2h)/(5)*(k+3)/(k+1) 11k+3=12(k+3) 11k+3=12k+36 k=-33<0, что невозможно (отношение длин положительно). Геометрически это означает, что при M, расположенной ближе к A (AM:BM=2:3), верхняя часть MBCN ни при каком положении N на CD не может быть втрое больше нижней. **Вывод.** Допустимо лишь k=(3)/(29), то есть CN:DN=(3)/(29) (равносильно DN:CN=(29)/(3)). Проверка границ: при N=C (то есть CN=0) нижняя часть имеет площадь (2h)/(5)* 3=(6h)/(5), а при N=D — площадь (2h)/(5); требуемая величина 34 S=(9h)/(8) лежит между ними, так что найденная точка N действительно попадает внутрь отрезка CD, что подтверждает корректность решения. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(\dfrac{3}{29}\)