Задача №18092

На боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ взята такая точка $M\text{,}$ что $AM:BM=2:3\text{.}$ На противоположной стороне $CD$ взята такая точка $N\text{,}$ что отрезок $MN$ делит трапецию на части, одна из которых по площади втрое больше другой. Найти отношение $CN:DN\text{,}$ если $BC:AD=1:2\text{.}$

В трапеции $ABCD$ параллельны основания $BC$ и $AD$ (боковые стороны — $AB$ и $CD$), причём $BC:AD=1:2\text{.}$ Точка $M$ лежит на $AB$ и делит её в отношении $AM:BM=2:3\text{,}$ то есть $AM=\frac{2}{5}AB\text{.}$ Точка $N$ лежит на $CD\text{;}$ отрезок $MN$ разбивает трапецию на две части, и одна из них втрое больше другой по площади. Требуется найти $CN:DN\text{.}$

Постановка в координатах. Так как ответ — отношение площадей, он не зависит от конкретной формы трапеции; выберем удобные координаты. Положим $BC=1\text{,}$ $AD=2$ (это и есть отношение $1:2$). Возьмём

где $h>0$ — высота, а $p$ — произвольный сдвиг верхнего основания. Тогда $AD$ и $BC$ горизонтальны и параллельны, $|BC|=1\text{,}$ $|AD|=2\text{,}$ а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Площадь всей трапеции

Точки $M$ и $N\text{.}$ Из $AM:BM=2:3$ получаем

Обозначим искомое отношение $CN:DN=k$ ($k>0$). Тогда точка $N$ делит отрезок $CD\text{,}$ считая от $C\text{,}$ так, что $CN=\frac{k}{k+1}CD\text{,}$ и

Площади частей. Отрезок $MN$ делит трапецию на четырёхугольник $AMND$ (примыкает к основанию $AD$) и четырёхугольник $MBCN$ (примыкает к основанию $BC$). По формуле площади многоугольника через координаты вершин (с учётом обхода) после упрощения, не зависящего от $p\text{,}$ получаем

причём $S_{AMND}+S_{MBCN}=\frac{3h}{2}=S$ при любом $k>0$ — контроль сходится.

Условие «одна часть втрое больше другой». Возможны два случая.

Случай 1: $S_{AMND}=3S_{MBCN}\text{.}$ Тогда

откуда $k=\frac{3}{29}\text{.}$ При этом $N$ лежит близко к $C\text{,}$ внутри отрезка $CD\text{,}$ и нижняя часть $AMND$ втрое больше верхней.

Случай 2: $S_{MBCN}=3S_{AMND}\text{.}$ Тогда

что невозможно (отношение длин положительно). Геометрически это означает, что при $M\text{,}$ расположенной ближе к $A$ ($AM:BM=2:3$), верхняя часть $MBCN$ ни при каком положении $N$ на $CD$ не может быть втрое больше нижней.

Вывод. Допустимо лишь $k=\frac{3}{29}\text{,}$ то есть

Проверка границ: при $N=C$ (то есть $CN=0$) нижняя часть имеет площадь $\frac{2h}{5}\cdot 3=\frac{6h}{5}\text{,}$ а при $N=D$ — площадь $\frac{2h}{5}\text{;}$ требуемая величина $\frac{3}{4}S=\frac{9h}{8}$ лежит между ними, так что найденная точка $N$ действительно попадает внутрь отрезка $CD\text{,}$ что подтверждает корректность решения.

Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.