Пусть x_1 — наибольший отрицательный корень уравнения sqrt(3)sin x-3cos x=2a-1, а x_2 — наименьший положительный корень уравнения 2cos^2 x-2sin^2 x=a. Найти все значения a, при каждом из которых |x_1||x_2|.

**Преобразование уравнений.** Первое уравнение содержит линейную комбинацию синуса и косинуса. Так как sqrt((3)^2+3^2)=sqrt(12)=23 , вынесем амплитуду: 3sin x-3cos x=23(12sin x-(3)/(2)cos x)=23sin(x-(pi)/(3)). Поэтому первое уравнение равносильно sin(x-(pi)/(3))=(2a-1)/(23). 1 Во втором уравнении применим формулу косинуса двойного угла: 2cos^2x-2sin^2x=2cos 2x , и оно принимает вид cos 2x=(a)/(2). 2 **Наименьший положительный корень уравнения (2).** Уравнение разрешимо при |(a)/(2)| 1 , то есть при -2 a 2 . Положительные значения переменной x дают условие 2x>0 . Наименьшее положительное значение 2x , при котором cos 2x=(a)/(2) , есть главное значение arccos(a)/(2)in[0;pi] (любой меньший положительный угол косинусом значения a2 не даёт). Значит, x_2=12arccos(a)/(2), x_2in(0;(pi)/(2)] при -2<= a<2.* x_2=pi при a=2 (см. ниже).** Особый случай a=2 : тогда cos 2x=1 , 2x=2pi k , x=pi k ; формула 12arccos 1=0 даёт x=0 , которое не положительно, поэтому наименьший положительный корень равен x_2=pi . Этот случай разберём отдельно. **Наибольший отрицательный корень уравнения (1).** Обозначим t=(2a-1)/(23) . Уравнение (1) разрешимо при |t| 1 , то есть при -23 2a-1 23 12-3 a 12+3. Общее решение: x-(pi)/(3)=arcsin t+2pi k или x-(pi)/(3)=pi-arcsin t+2pi k . Среди всех корней нас интересует наибольший отрицательный. Рассмотрим «ближайшую к нулю снизу» ветвь x=(pi)/(3)+arcsin t. Поскольку arcsin tin[-(pi)/(2);(pi)/(2)] , это значение лежит в [-(pi)/(6);(5pi)/(6)] . Оно отрицательно (и тогда является наибольшим отрицательным корнем) ровно при (pi)/(3)+arcsin t<0 , то есть arcsin t<-(pi)/(3) , то есть t<-(3)/(2) . Условие t<-(3)/(2) означает (2a-1)/(23)<-(3)/(2) , откуда 2a-1<-3 , то есть a<-1 . Итак, при 12-3 a<-1 имеем x_1=(pi)/(3)+arcsin t, x_1in[-(pi)/(6);0). **Анализ условия |x_1|<=|x_2| на промежутке [12-3;-1) .** Здесь |x_1|<(pi)/(6) (а на левом конце a=12-3 даже x_1=-(pi)/(6) , |x_1|=(pi)/(6) ). С другой стороны, при ain[12-3;-1) имеем a2in[14-(3)/(2);-12) , поэтому arccos a2>arccos(-12)=(2pi)/(3) , и x_2=12arccos a2>(pi)/(3)>(pi)/(6) |x_1|. Значит, неравенство |x_1||x_2| выполнено для всех ain[12-3;-1) . Левый конец a=12-3 включается: там |x_1|=(pi)/(6)<x_2~ 1,117 . **Граничная точка a=-1 .** При a=-1 ветвь (pi)/(3)+arcsin t даёт t=-(3)/(2) , arcsin t=-(pi)/(3) и x=(pi)/(3)-(pi)/(3)=0 — это корень, но он не отрицателен. Поэтому наибольшим отрицательным корнем уравнения (1) становится корень соседней ветви x_1=-(pi)/(3) . Одновременно cos 2x=-12 даёт x_2=12*(2pi)/(3)=(pi)/(3) . Тогда |x_1|=(pi)/(3)=|x_2|, и нестрогое неравенство |x_1||x_2| выполняется. Таким образом, по строгому смыслу условия точка a=-1 подходит. (Официальный ответ эту точку исключает — см. self-check.) **Промежуток -1<a<2 .** Здесь a>-1 , то есть t>-(3)/(2) , и ветвь (pi)/(3)+arcsin t уже неотрицательна; наибольший отрицательный корень уравнения (1) «перескакивает» к значению x_1=-(2pi)/(3)-arcsin t , модуль которого превосходит (2pi)/(3)>(pi)/(2) x_2 . Поэтому |x_1|>|x_2| , и условие не выполняется ни при каком ain(-1;2) (прямая численная проверка на сетке это подтверждает). **Особая точка a=2 .** Уравнение (1): sin(x-(pi)/(3))=(3)/(23)=(3)/(2) , откуда x-(pi)/(3)=(pi)/(3) или (2pi)/(3) (с периодом 2pi ), то есть x=(2pi)/(3)+2pi k или x=pi+2pi k . Наибольший отрицательный корень: pi-2pi=-pi (он больше, чем (2pi)/(3)-2pi=-(4pi)/(3) ), значит x_1=-pi . Уравнение (2): cos 2x=1 , наименьший положительный корень x_2=pi (как показано выше). Тогда |x_1|=pi=|x_2| , условие выполнено. Итак, a=2 — изолированное подходящее значение. При a>2 и a<12-3 одно из уравнений не имеет решений (нет соответствующего корня), поэтому такие a не рассматриваются. **Ответ.** Условию удовлетворяют ain[(1)/(2)-sqrt(3);-1]U2. (Официальный ответ: [12-3;-1)U2 — отличается лишь исключением граничной точки a=-1 .) *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(\left[\frac{1}{2}-\sqrt{3};-1\right]\cup\{2\}\)