Пусть x1 — наибольший отрицательный корень уравнения
3sinx−3cosx=2a−1,а x2 — наименьший положительный корень уравнения
2cos2x−2sin2x=a.Найти все значения a, при каждом из которых ∣x1∣⩽∣x2∣.
Преобразование уравнений.
Первое уравнение содержит линейную комбинацию синуса и косинуса. Так как (3)2+32=12=23, вынесем амплитуду:
3sinx−3cosx=23(21sinx−23cosx)=23sin(x−3π).Поэтому первое уравнение равносильно
sin(x−3π)=232a−1.(1)Во втором уравнении применим формулу косинуса двойного угла: 2cos2x−2sin2x=2cos2x, и оно принимает вид
cos2x=2a.(2)Наименьший положительный корень уравнения (2). Уравнение разрешимо при 2a⩽1, то есть при −2⩽a⩽2. Положительные значения переменной x дают условие 2x>0. Наименьшее положительное значение 2x, при котором cos2x=2a, есть главное значение arccos2a∈[0;π] (любой меньший положительный угол косинусом значения 2a не даёт). Значит,
x2=21arccos2a,x2∈(0;2π]при −2≤a<2.(*) x2=πпри a=2 (см. ниже).(**)Особый случай a=2: тогда cos2x=1, 2x=2πk, x=πk; формула 21arccos1=0 даёт x=0, которое не положительно, поэтому наименьший положительный корень равен x2=π. Этот случай разберём отдельно.
Наибольший отрицательный корень уравнения (1). Обозначим t=232a−1. Уравнение (1) разрешимо при ∣t∣⩽1, то есть при
−23⩽2a−1⩽23⟺21−3⩽a⩽21+3.Общее решение: x−3π=arcsint+2πk или x−3π=π−arcsint+2πk. Среди всех корней нас интересует наибольший отрицательный. Рассмотрим «ближайшую к нулю снизу» ветвь
x=3π+arcsint.Поскольку arcsint∈[−2π;2π], это значение лежит в [−6π;65π]. Оно отрицательно (и тогда является наибольшим отрицательным корнем) ровно при 3π+arcsint<0, то есть arcsint<−3π, то есть t<−23. Условие t<−23 означает 232a−1<−23, откуда 2a−1<−3, то есть a<−1.
Итак, при 21−3⩽a<−1 имеем
x1=3π+arcsint,x1∈[−6π;0).Анализ условия ∣x1∣≤∣x2∣ на промежутке [21−3;−1). Здесь ∣x1∣<6π (а на левом конце a=21−3 даже x1=−6π, ∣x1∣=6π). С другой стороны, при a∈[21−3;−1) имеем 2a∈[41−23;−21), поэтому arccos2a>arccos(−21)=32π, и
x2=21arccos2a>3π>6π⩾∣x1∣.Значит, неравенство ∣x1∣⩽∣x2∣ выполнено для всех a∈[21−3;−1). Левый конец a=21−3 включается: там ∣x1∣=6π<x2≈1,117.
Граничная точка a=−1. При a=−1 ветвь 3π+arcsint даёт t=−23, arcsint=−3π и x=3π−3π=0 — это корень, но он не отрицателен. Поэтому наибольшим отрицательным корнем уравнения (1) становится корень соседней ветви x1=−3π. Одновременно cos2x=−21 даёт x2=21⋅32π=3π. Тогда
∣x1∣=3π=∣x2∣,и нестрогое неравенство ∣x1∣⩽∣x2∣ выполняется. Таким образом, по строгому смыслу условия точка a=−1 подходит. (Официальный ответ эту точку исключает — см. self-check.)
Промежуток −1<a<2. Здесь a>−1, то есть t>−23, и ветвь 3π+arcsint уже неотрицательна; наибольший отрицательный корень уравнения (1) «перескакивает» к значению x1=−32π−arcsint, модуль которого превосходит 32π>2π⩾x2. Поэтому ∣x1∣>∣x2∣, и условие не выполняется ни при каком a∈(−1;2) (прямая численная проверка на сетке это подтверждает).
Особая точка a=2. Уравнение (1): sin(x−3π)=233=23, откуда x−3π=3π или 32π (с периодом 2π), то есть x=32π+2πk или x=π+2πk. Наибольший отрицательный корень: π−2π=−π (он больше, чем 32π−2π=−34π), значит x1=−π. Уравнение (2): cos2x=1, наименьший положительный корень x2=π (как показано выше). Тогда ∣x1∣=π=∣x2∣, условие выполнено. Итак, a=2 — изолированное подходящее значение.
При a>2 и a<21−3 одно из уравнений не имеет решений (нет соответствующего корня), поэтому такие a не рассматриваются.
Ответ. Условию удовлетворяют
a∈[21−3;−1]∪{2}.(Официальный ответ: [21−3;−1)∪{2} — отличается лишь исключением граничной точки a=−1.)
Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
Мехмат МГУ (архив)