Задача №18091

Найти все числа $k\text{,}$ для которых функция

$$y(x)=k\left(2\sin x+{\cos }^{2}x+1\right)$$

не принимает значений больше 3.

Требуется найти все значения параметра $k\text{,}$ при которых функция

$$y(x)=k(2\sin x+{\cos }^{2}x+1)$$

не принимает значений, больших $3\text{,}$ то есть неравенство $y(x)\le 3$ выполнено сразу для всех $x\text{.}$

Шаг 1. Сводим выражение в скобках к одной переменной.

Обозначим внутреннюю функцию

$$g(x)=2\sin x+{\cos }^{2}x+1.$$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ и введём замену $t=\sin x\text{.}$ Поскольку синус принимает все значения отрезка $[-1;1]$ и только их, переменная $t$ пробегает в точности отрезок $t\in [-1;1]\text{.}$ Тогда

$$g=2t+(1-t^2)+1=-t^2+2t+2.$$

Шаг 2. Находим множество значений $g\text{.}$

Выделим полный квадрат:

$$g(t)=-(t^2-2t)+2=-(t-1{)}^2+3.$$

Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $t=1\text{.}$ На отрезке $[-1;1]$ функция $g(t)$ монотонно возрастает (производная $g^{\prime }(t)=2-2t\ge 0$ при $t\le 1$), поэтому:

• наибольшее значение достигается на правом конце $t=1$ (что отвечает $\sin x=1\text{,}$ значение достижимо):

$$g(1)=-(1-1{)}^2+3=3;$$

• наименьшее значение достигается на левом конце $t=-1$ (что отвечает $\sin x=-1\text{,}$ тоже достижимо):

$$g(-1)=-(-1-1{)}^2+3=-(4)+3=-1.$$

Так как $g(t)$ непрерывна, её множество значений — это весь отрезок

$$g(x)\in [-1;3].$$

Обозначим $s=g(x)\text{;}$ тогда $s$ пробегает в точности отрезок $[-1;3]\text{,}$ и задача сводится к следующей: найти все $k\text{,}$ при которых

$$ks\le 3\text{для всех }s\in [-1;3].$$

Шаг 3. Разбор по знаку $k\text{.}$

Левая часть $ks$ линейна по $s\text{,}$ поэтому её наибольшее значение на отрезке $[-1;3]$ достигается в одном из концов, и достаточно потребовать, чтобы было ${\max }_{s\in [-1;3]}(ks)\le 3\text{.}$

Случай $k\ge 0\text{.}$ Тогда функция $s\mapsto ks$ неубывающая, её максимум на отрезке достигается при наибольшем $s=3\text{:}$

$$\underset{s}{\max }(ks)=3k.$$

Условие $3k\le 3$ даёт $k\le 1\text{.}$ С учётом $k\ge 0$ получаем

$$0\le k\le 1.$$

Случай $k<0\text{.}$ Тогда функция $s\mapsto ks$ убывающая, её максимум достигается при наименьшем $s=-1\text{:}$

$$\underset{s}{\max }(ks)=k\cdot (-1)=-k.$$

Условие $-k\le 3$ даёт $k\ge -3\text{.}$ С учётом $k<0$ получаем

$$-3\le k<0.$$

Шаг 4. Объединение и проверка границ.

Объединяя оба случая, получаем

$$k\in [-3;1].$$

Проверим, что концы входят (неравенство нестрогое, «не больше $3$»):

• при $k=1$ наибольшее значение функции $y$ равно $1\cdot 3=3\le 3$ — условие выполнено (достигается при $\sin x=1$);
• при $k=-3$ наибольшее значение функции $y$ равно $(-3)\cdot (-1)=3\le 3$ — условие выполнено (достигается при $\sin x=-1$).

Если же $k>1\text{,}$ то при $\sin x=1$ имеем $y=3k>3\text{;}$ если $k<-3\text{,}$ то при $\sin x=-1$ имеем $y=-k>3\text{.}$ В обоих случаях функция принимает значения, большие $3\text{,}$ что недопустимо.

Ответ: искомое множество значений параметра —

$$\boxed{k\in [-3;1]}.$$