Найти все числа k, для которых функция y(x)=k(2sin x+cos^2 x+1) не принимает значений больше 3.

Требуется найти все значения параметра k, при которых функция y(x)=k(2sin x+cos^2 x+1) не принимает значений, больших 3, то есть неравенство y(x)<= 3 выполнено сразу для всех x. **Шаг 1. Сводим выражение в скобках к одной переменной.** Обозначим внутреннюю функцию g(x)=2sin x+cos^2 x+1 . Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством cos^2 x=1-sin^2 x и введём замену t=sin x. Поскольку синус принимает все значения отрезка [-1;1] и только их, переменная t пробегает в точности отрезок tin[-1;1]. Тогда g=2t+(1-t^2)+1=-t^2+2t+2 . **Шаг 2. Находим множество значений g.** Выделим полный квадрат: g(t)=-(t^2-2t)+2=-(t-1)^2+3 . Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке t=1. На отрезке [-1;1] функция g(t) монотонно возрастает (производная g'(t)=2-2t>= 0 при t<= 1), поэтому: - наибольшее значение достигается на правом конце t=1 (что отвечает sin x=1, значение достижимо): g(1)=-(1-1)^2+3=3; - наименьшее значение достигается на левом конце t=-1 (что отвечает sin x=-1, тоже достижимо): g(-1)=-(-1-1)^2+3=-(4)+3=-1 . Так как g(t) непрерывна, её множество значений — это весь отрезок g(x)in[-1;3]. Обозначим s=g(x); тогда s пробегает в точности отрезок [-1;3], и задача сводится к следующей: найти все k, при которых ks<= 3 для всех sin[-1;3]. **Шаг 3. Разбор по знаку k.** Левая часть ks линейна по s, поэтому её наибольшее значение на отрезке [-1;3] достигается в одном из концов, и достаточно потребовать, чтобы было _(sin[-1;3])(ks)<= 3. **Случай k>= 0.** Тогда функция s ks неубывающая, её максимум на отрезке достигается при наибольшем s=3: _(s)(ks)=3k . Условие 3k<= 3 даёт k<= 1. С учётом k>= 0 получаем 0<= k<= 1 . **Случай k<0.** Тогда функция s ks убывающая, её максимум достигается при наименьшем s=-1: _(s)(ks)=k*(-1)=-k . Условие -k<= 3 даёт k>= -3. С учётом k<0 получаем -3<= k<0 . **Шаг 4. Объединение и проверка границ.** Объединяя оба случая, получаем kin[-3;1]. Проверим, что концы входят (неравенство нестрогое, «не больше 3»): - при k=1 наибольшее значение функции y равно 1* 3=3<= 3 — условие выполнено (достигается при sin x=1); - при k=-3 наибольшее значение функции y равно (-3)*(-1)=3<= 3 — условие выполнено (достигается при sin x=-1). Если же k>1, то при sin x=1 имеем y=3k>3; если k<-3, то при sin x=-1 имеем y=-k>3. В обоих случаях функция принимает значения, большие 3, что недопустимо. **Ответ:** искомое множество значений параметра — kin[-3;1].

\([-3;1]\)