Задача №18089

Решите неравенство

$$\frac{4x+15-4x^2}{\sqrt{4x+15}+2x}⩾0.$$

Требуется решить неравенство

$$\frac{4x+15-4x^2}{\sqrt{4x+15}+2x}⩾0.$$

Область допустимых значений. Под корнем должно стоять неотрицательное число:

$$4x+15⩾0⟺x⩾-\frac{15}{4}.$$

Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$\sqrt{4x+15}+2x\ne 0.$$

Найдём, где знаменатель равен нулю. Равенство $\sqrt{4x+15}=-2x$ возможно лишь при $-2x⩾0\text{,}$ то есть при $x⩽0\text{.}$ Возведя в квадрат, получаем $4x+15=4x^2\text{,}$ откуда $4x^2-4x-15=0$ и $x=-\frac{3}{2}$ или $x=\frac{5}{2}\text{.}$ Условию $x⩽0$ удовлетворяет только $x=-\frac{3}{2}$ (проверка: $\sqrt{4\cdot (-\frac{3}{2})+15}=\sqrt{9}=3=-2\cdot (-\frac{3}{2})$ — верно). Значит, знаменатель обращается в нуль лишь в точке $x=-\frac{3}{2}\text{,}$ которую необходимо исключить. Корень $x=\frac{5}{2}$ посторонний для уравнения знаменателя, так как $-2\cdot \frac{5}{2}=-5<0\text{.}$

Итак, область допустимых значений неравенства:

$$x\in \left[-\frac{15}{4};+\infty \right),x\ne -\frac{3}{2}.$$

Упрощение дроби. Обозначим $t=\sqrt{4x+15}⩾0\text{;}$ тогда $4x+15=t^2\text{.}$ Числитель преобразуется к разности квадратов:

$$4x+15-4x^2=t^2-(2x{)}^2=(t-2x)(t+2x).$$

Знаменатель в точности равен $t+2x=\sqrt{4x+15}+2x\text{.}$ На области допустимых значений $t+2x\ne 0\text{,}$ поэтому множитель $(t+2x)$ можно сократить:

$$\frac{(t-2x)(t+2x)}{t+2x}=t-2x=\sqrt{4x+15}-2x.$$

Следовательно, при $x\ne -\frac{3}{2}$ исходное неравенство равносильно

$$\sqrt{4x+15}-2x⩾0,\text{то есть}\sqrt{4x+15}⩾2x.$$

Решение упрощённого неравенства на области $x⩾-\frac{15}{4}\text{.}$

Левая часть неотрицательна. Рассмотрим два случая по знаку правой части.

1) Если $2x<0\text{,}$ то есть $x<0\text{,}$ то неравенство $\sqrt{4x+15}⩾2x$ выполнено автоматически (неотрицательное не меньше отрицательного). С учётом ОДЗ это даёт

$$-\frac{15}{4}⩽x<0.$$

2) Если $2x⩾0\text{,}$ то есть $x⩾0\text{,}$ обе части неотрицательны, и можно возвести в квадрат:

$$4x+15⩾4x^2⟺4x^2-4x-15⩽0.$$

Корни квадратного трёхчлена — это уже найденные $x=-\frac{3}{2}$ и $x=\frac{5}{2}\text{,}$ поэтому

$$4x^2-4x-15⩽0⟺-\frac{3}{2}⩽x⩽\frac{5}{2}.$$

Пересекая с условием $x⩾0\text{,}$ получаем

$$0⩽x⩽\frac{5}{2}.$$

Объединяя оба случая, имеем решение неравенства $\sqrt{4x+15}-2x⩾0\text{:}$

$$-\frac{15}{4}⩽x⩽\frac{5}{2}.$$

Учёт исключённой точки. Точка $x=-\frac{3}{2}$ лежит внутри найденного отрезка, но в ней знаменатель исходной дроби равен нулю, и дробь не определена. Поэтому её необходимо удалить из ответа. Концевые точки сохраняются: при $x=-\frac{15}{4}$ знаменатель равен $\sqrt{0}+2\cdot (-\frac{15}{4})=-\frac{15}{2}\ne 0\text{,}$ а сама дробь равна $\frac{15}{2}>0$ — точка входит; при $x=\frac{5}{2}$ числитель обращается в нуль, знаменатель равен $\sqrt{25}+5=10\ne 0\text{,}$ дробь равна $0$ — точка входит (неравенство нестрогое).

Ответ.

$$\boxed{x\in \left[-\frac{15}{4};-\frac{3}{2}\right)\cup \left(-\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right]}.$$