Решите неравенство (4x+15-4x^2)/(sqrt(4x+15)+2x) 0.

Требуется решить неравенство (4x+15-4x^2)/(sqrt(4x+15)+2x) 0. **Область допустимых значений.** Под корнем должно стоять неотрицательное число: 4x+15 0 x -(15)/(4). Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль: sqrt(4x+15)+2x!= 0. Найдём, где знаменатель равен нулю. Равенство sqrt(4x+15)=-2x возможно лишь при -2x 0, то есть при x 0. Возведя в квадрат, получаем 4x+15=4x^2, откуда 4x^2-4x-15=0 и x=-(3)/(2) или x=(5)/(2). Условию x 0 удовлетворяет только x=-(3)/(2) (проверка: sqrt(4*(-32)+15)=sqrt(9)=3=-2*(-32) — верно). Значит, знаменатель обращается в нуль лишь в точке x=-(3)/(2), которую необходимо исключить. Корень x=(5)/(2) посторонний для уравнения знаменателя, так как -2*52=-5<0. Итак, область допустимых значений неравенства: xin[-(15)/(4);+inf), x!= -(3)/(2). **Упрощение дроби.** Обозначим t=sqrt(4x+15) 0; тогда 4x+15=t^2. Числитель преобразуется к разности квадратов: 4x+15-4x^2=t^2-(2x)^2=(t-2x)(t+2x). Знаменатель в точности равен t+2x=sqrt(4x+15)+2x. На области допустимых значений t+2x!= 0, поэтому множитель (t+2x) можно сократить: ((t-2x)(t+2x))/(t+2x)=t-2x=sqrt(4x+15)-2x. Следовательно, при x!= -(3)/(2) исходное неравенство равносильно sqrt(4x+15)-2x 0, то есть sqrt(4x+15) 2x. **Решение упрощённого неравенства** на области x -(15)/(4). Левая часть неотрицательна. Рассмотрим два случая по знаку правой части. 1) Если 2x<0, то есть x<0, то неравенство sqrt(4x+15) 2x выполнено автоматически (неотрицательное не меньше отрицательного). С учётом ОДЗ это даёт -(15)/(4) x<0. 2) Если 2x 0, то есть x 0, обе части неотрицательны, и можно возвести в квадрат: 4x+15 4x^2 4x^2-4x-15 0. Корни квадратного трёхчлена — это уже найденные x=-(3)/(2) и x=(5)/(2), поэтому 4x^2-4x-15 0 -(3)/(2) x (5)/(2). Пересекая с условием x 0, получаем 0 x (5)/(2). Объединяя оба случая, имеем решение неравенства sqrt(4x+15)-2x 0: -(15)/(4) x (5)/(2). **Учёт исключённой точки.** Точка x=-(3)/(2) лежит внутри найденного отрезка, но в ней знаменатель исходной дроби равен нулю, и дробь не определена. Поэтому её необходимо удалить из ответа. Концевые точки сохраняются: при x=-(15)/(4) знаменатель равен sqrt(0)+2*(-(15)/(4))=-(15)/(2)!= 0, а сама дробь равна (15)/(2)>0 — точка входит; при x=(5)/(2) числитель обращается в нуль, знаменатель равен sqrt(25)+5=10!= 0, дробь равна 0 — точка входит (неравенство нестрогое). **Ответ.** xin[-(15)/(4);-(3)/(2))U(-(3)/(2);(5)/(2)].

\(\left[-\frac{15}{4};-\frac{3}{2}\right)\cup\left(-\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right]\)