Задача №18093

Высота пирамиды равна 5, а основанием служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9. Некоторая сфера касается плоскостей всех боковых граней пирамиды в точках, лежащих на сторонах основания. Найти радиус сферы.

Обозначим основание пирамиды через $△ABC$ со сторонами $7\text{,}$ $8\text{,}$ $9\text{,}$ вершину — через $P\text{,}$ а высоту пирамиды $H=5\text{.}$ Поместим плоскость основания в плоскость $z=0\text{,}$ направив ось $z$ вверх.

Геометрические данные основания. По формуле Герона с полупериметром $s=\frac{7+8+9}{2}=12$ площадь основания равна

Радиус вписанной в основание окружности (расстояние от инцентра до каждой стороны)

Условие касания. Где лежит центр сферы. Пусть $O=(x_0,y_0,z_0)$ — центр сферы, $R$ — её радиус. Рассмотрим одну боковую грань, например $PAB\text{.}$ Точка касания $T$ сферы с плоскостью этой грани — это основание перпендикуляра, опущенного из $O$ на плоскость $PAB\text{;}$ при этом $\overrightarrow{OT}$ перпендикулярен плоскости грани и $|OT|=R\text{.}$ По условию точка $T$ лежит на стороне $AB$ основания, то есть в плоскости $z=0\text{.}$

Сторона $AB$ лежит в плоскости грани $PAB\text{,}$ поэтому $\overrightarrow{OT}\perp AB\text{.}$ Значит, проекция точки $O$ на прямую $AB$ совпадает с $T\text{,}$ и точка $T$ есть основание перпендикуляра из проекции $O^{\prime }=(x_0,y_0,0)$ на прямую $AB\text{.}$ Введём для стороны $AB$ плоскость, перпендикулярную ей и проходящую через $T\text{.}$ В этом сечении: основание — горизонтальная прямая, грань $PAB$ — прямая, наклонённая к основанию под двугранным углом $\phi$ (двугранный угол грани при ребре $AB$), точка $O$ имеет координаты «вбок от ребра» $d$ (расстояние от $O^{\prime }$ до прямой $AB\text{,}$ считаем положительным внутрь основания) и «по высоте» $z_0\text{.}$ Условие $\overrightarrow{OT}\perp$ грани в этом сечении даёт

а длина перпендикуляра

Эти соотношения выполняются для всех трёх боковых граней с их двугранными углами ${\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3\text{.}$ Из $R=\frac{|z_0|}{\cos {\phi }_i}$ при одном и том же $R$ и одном и том же $z_0$ получаем $\cos {\phi }_1=\cos {\phi }_2=\cos {\phi }_3\text{,}$ то есть все три двугранных угла при основании равны: ${\phi }_1={\phi }_2={\phi }_3=\phi \text{.}$ Равенство двугранных углов при основании означает, что вершина $P$ проектируется в инцентр $I$ основания, а высота пирамиды есть отрезок $PI\text{.}$

Далее, расстояние от $O^{\prime }$ до каждой стороны равно $d=-z_0\tan \phi$ — одно и то же для всех трёх сторон. Точка, равноудалённая от всех трёх сторон треугольника (внутри него), — это инцентр, а общее расстояние равно радиусу вписанной окружности $r\text{.}$ Поскольку $z_0>0$ давало бы $d<0$ (точка вне всех сторон, что невозможно), заключаем, что $z_0<0\text{:}$ центр сферы лежит ниже плоскости основания, его проекция — инцентр $I\text{,}$ и

При этом точки касания — это основания перпендикуляров из $I$ на стороны, то есть точки, в которых вписанная окружность основания касается сторон; они действительно лежат на самих сторонах (на расстояниях $s-a,s-b,s-c$ от вершин), что согласуется с условием.

Двугранный угол. Опустим из инцентра $I$ перпендикуляр на сторону $AB\text{;}$ его длина равна $r\text{.}$ Вершина $P$ находится над $I$ на высоте $H\text{.}$ В плоскости, перпендикулярной $AB$ и проходящей через точку касания, горизонтальный катет (от точки касания до $I$) равен $r\text{,}$ а вертикальный подъём до вершины равен $H\text{,}$ поэтому

Отсюда $\sin \phi =\frac{\tan \phi }{\sqrt{1+{\tan }^2\phi }}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\text{,}$ $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{6}}\text{.}$

Радиус сферы. Из $r=|z_0|\tan \phi$ находим $|z_0|=\frac{r}{\tan \phi }=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1\text{.}$ Тогда

Эквивалентно, $R=\frac{r}{\sin \phi }=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}/\sqrt{6}}=\sqrt{6}\text{.}$

Итак, радиус сферы равен