Высота пирамиды равна 5, а основанием служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9. Некоторая сфера касается плоскостей всех боковых граней пирамиды в точках, лежащих на сторонах основания. Найти радиус сферы.

Обозначим основание пирамиды через ABC со сторонами 7, 8, 9, вершину — через P, а высоту пирамиды H=5. Поместим плоскость основания в плоскость z=0, направив ось z вверх. **Геометрические данные основания.** По формуле Герона с полупериметром s=(7+8+9)/(2)=12 площадь основания равна S=sqrt(s(s-7)(s-8)(s-9))=sqrt(12* 5* 4* 3)=sqrt(720)=12sqrt(5). Радиус вписанной в основание окружности (расстояние от инцентра до каждой стороны) r=(S)/(s)=(12sqrt(5))/(12)=sqrt(5). **Условие касания. Где лежит центр сферы.** Пусть O=(x_0,y_0,z_0) — центр сферы, R — её радиус. Рассмотрим одну боковую грань, например PAB. Точка касания T сферы с плоскостью этой грани — это основание перпендикуляра, опущенного из O на плоскость PAB; при этом OT перпендикулярен плоскости грани и |OT|=R. По условию точка T лежит на стороне AB основания, то есть в плоскости z=0. Сторона AB лежит в плоскости грани PAB, поэтому OT AB. Значит, проекция точки O на прямую AB совпадает с T, и точка T есть основание перпендикуляра из проекции O'=(x_0,y_0,0) на прямую AB. Введём для стороны AB плоскость, перпендикулярную ей и проходящую через T. В этом сечении: основание — горизонтальная прямая, грань PAB — прямая, наклонённая к основанию под двугранным углом (двугранный угол грани при ребре AB), точка O имеет координаты «вбок от ребра» d (расстояние от O' до прямой AB, считаем положительным внутрь основания) и «по высоте» z_0. Условие OT грани в этом сечении даёт dcos+z_0sin=0 d=-z_0tan, а длина перпендикуляра R^2=d^2+z_0^2=z_0^2(tan^2+1)=(z_0^2)/(cos^2), R=(|z_0|)/(cos). Эти соотношения выполняются для всех трёх боковых граней с их двугранными углами _1,_2,_3. Из R=(|z_0|)/(cos_i) при одном и том же R и одном и том же z_0 получаем cos_1=cos_2=cos_3, то есть **все три двугранных угла при основании равны**: _1=_2=_3=. Равенство двугранных углов при основании означает, что вершина P проектируется в инцентр I основания, а высота пирамиды есть отрезок PI. Далее, расстояние от O' до каждой стороны равно d=-z_0tan — одно и то же для всех трёх сторон. Точка, равноудалённая от всех трёх сторон треугольника (внутри него), — это инцентр, а общее расстояние равно радиусу вписанной окружности r. Поскольку z_0>0 давало бы d<0 (точка вне всех сторон, что невозможно), заключаем, что z_0<0: центр сферы лежит ниже плоскости основания, его проекция — инцентр I, и d=r=5, r=-z_0tan=|z_0|tan . При этом точки касания — это основания перпендикуляров из I на стороны, то есть точки, в которых вписанная окружность основания касается сторон; они действительно лежат на самих сторонах (на расстояниях s-a,s-b,s-c от вершин), что согласуется с условием. **Двугранный угол.** Опустим из инцентра I перпендикуляр на сторону AB; его длина равна r. Вершина P находится над I на высоте H. В плоскости, перпендикулярной AB и проходящей через точку касания, горизонтальный катет (от точки касания до I) равен r, а вертикальный подъём до вершины равен H, поэтому tan=(H)/(r)=(5)/(5)=5 . Отсюда sin=(tan)/(sqrt(1+tan^2))=(5)/(sqrt(6)), cos=(1)/(6). **Радиус сферы.** Из r=|z_0|tan находим |z_0|=(r)/(tan)=(5)/(5)=1. Тогда R=(|z_0|)/(cos)=(1)/(1/6)=6 . Эквивалентно, R=(r)/(sin)=(5)/(5/6)=6. Итак, радиус сферы равен R=6.

\(\sqrt{6}\)