58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Tc47,Обозначим первый член геометрической прогрессии через $b_1$, а её знаменатель через $q$. Тогда $n$-й член записывается как $b_n=b_1q^{\,n-1}$, и нужные нам члены равны \[b_3=b_1q^2,\qquad b_5=b_1q^4,\qquad b_7=b_1q^6.\] Запишем условия задачи. Во-первых, третий член равен $(-10)$: \[b_3=b_1q^2=-10.\] Поскольку $b_3=-10\neq0$, прогрессия не вырождена: $b_1\neq0$ и $q\neq0$. Во-вторых, квадрат третьего члена в сумме с седьмым членом даёт утроенный пятый член: \[b_3^2+b_7=3b_5.\] Удобно выразить пятый и седьмой члены через третий: умножая $b_3=b_1q^2$ на $q^2$ и на $q^4$, получаем \[b_5=b_3\cdot q^2,\qquad b_7=b_3\cdot q^4.\] Подставим это в равенство $b_3^2+b_7=3b_5$: \[b_3^2+b_3q^4=3b_3q^2.\] Так как $b_3=-10$, имеем $b_3^2=100$; подстановка даёт \[100+(-10)q^4=3\cdot(-10)\,q^2,\] то есть \[100-10q^4=-30q^2.\] Разделив обе части на $10$ и перенеся всё в одну сторону, приходим к биквадратному уравнению относительно $q$: \[q^4-3q^2-10=0.\] Сделаем замену $t=q^2$, где по смыслу $t\geqslant0$ (квадрат действительного числа неотрицателен). Получаем квадратное уравнение \[t^2-3t-10=0.\] Его дискриминант равен $D=9+40=49$, а корни \[t=\frac{3\pm7}{2},\quad\text{то есть}\quad t_1=5,\ \ t_2=-2.\] Корень $t_2=-2$ отбрасываем как отрицательный: равенство $q^2=-2$ не имеет действительных решений. Остаётся \[q^2=5.\] Это значение допустимо: оно положительно, поэтому действительный знаменатель $q=\pm\sqrt5$ существует (и в обоих случаях прогрессия — действительная и невырожденная). Теперь найдём первый член из условия $b_1q^2=-10$. Подставляя $q^2=5$, получаем \[b_1=\frac{-10}{q^2}=\frac{-10}{5}=-2.\] Заметим, что значение $b_1$ не зависит от выбора знака $q$: и при $q=\sqrt5$, и при $q=-\sqrt5$ первый член один и тот же, так как в формулу входит лишь $q^2$. Проверка. При $b_1=-2$ и $q^2=5$ имеем \[b_3=b_1q^2=-2\cdot5=-10,\qquad b_5=b_1q^4=-2\cdot25=-50,\qquad b_7=b_1q^6=-2\cdot125=-250.\] Третий член равен $-10$, как и требовалось, а \[b_3^2+b_7=100+(-250)=-150,\qquad 3b_5=3\cdot(-50)=-150,\] так что оба условия выполнены. Ответ: $b_1=-2$.5c:Te9a,Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля и при этом определён. Поэтому решение распадается на три части: найти область допустимых значений (ОДЗ), приравнять числитель к нулю и среди полученных кандидатов отбросить те, что нарушают ОДЗ или обращают знаменатель в нуль. **Область допустимых значений.** Под квадратным корнем должно стоять неотрицательное выражение, поэтому требуется \[2x^2-4x-1\geqslant 0.\] Корни трёхчлена $2x^2-4x-1$ равны \[x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16+8}}{4}=\frac{4\pm 2\sqrt{6}}{4}=1\pm\frac{\sqrt6}{2},\] а так как старший коэффициент положителен, неравенство выполнено вне отрезка между корнями: \[x\leqslant 1-\frac{\sqrt6}{2}\quad\text{или}\quad x\geqslant 1+\frac{\sqrt6}{2}.\] Численно это означает $x\leqslant -0{,}2247\ldots$ или $x\geqslant 2{,}2247\ldots$. Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль; это условие учтём отдельно на финальном шаге. **Нули числителя.** Приравняем числитель к нулю: \[|x^3|-|5x|=0.\] Поскольку $|x^3|=|x|^3$ и $|5x|=5|x|$, получаем \[|x|^3-5|x|=0\iff |x|\bigl(|x|^2-5\bigr)=0.\] Отсюда $|x|=0$ или $|x|^2=5$, то есть кандидаты \[x=0,\qquad x=\sqrt5,\qquad x=-\sqrt5.\] **Отбор кандидатов.** Точка $x=0$: подставляя в подкоренное выражение, имеем $2\cdot0-4\cdot0-1=-1<0$. Корень не определён, значит $x=0$ не входит в ОДЗ и отбрасывается. Точка $x=\sqrt5$: здесь $\sqrt5\approx2{,}236\geqslant 1+\dfrac{\sqrt6}{2}$, то есть точка лежит в ОДЗ. Проверим знаменатель. Подкоренное выражение \[2\cdot5-4\sqrt5-1=9-4\sqrt5,\] причём $9-4\sqrt5=(\sqrt5-2)^2$, а $\sqrt5>2$, поэтому \[\sqrt{9-4\sqrt5}=\sqrt5-2.\] Тогда знаменатель равен \[\sqrt{9-4\sqrt5}-|\sqrt5|+2=(\sqrt5-2)-\sqrt5+2=0.\] Знаменатель обращается в нуль, поэтому при $x=\sqrt5$ дробь не определена — это посторонний корень, он отбрасывается. Точка $x=-\sqrt5$: здесь $-\sqrt5\approx-2{,}236\leqslant 1-\dfrac{\sqrt6}{2}$, то есть точка лежит в ОДЗ. Подкоренное выражение \[2\cdot5+4\sqrt5-1=9+4\sqrt5=(\sqrt5+2)^2,\] поэтому \[\sqrt{9+4\sqrt5}=\sqrt5+2.\] Знаменатель равен \[\sqrt{9+4\sqrt5}-|-\sqrt5|+2=(\sqrt5+2)-\sqrt5+2=4\neq0.\] Числитель в этой точке равен нулю, знаменатель равен $4\neq0$ и определён. Следовательно, $x=-\sqrt5$ — настоящий корень уравнения. **Итог.** Из трёх кандидатов $x=0$ выпадает из ОДЗ, $x=\sqrt5$ обращает знаменатель в нуль, и лишь $x=-\sqrt5$ удовлетворяет всем условиям. Уравнение имеет единственное решение \[\boxed{x=-\sqrt5}.\]5d:T118f,Введём обозначение $t=\log_3 y$. Поскольку логарифм определён лишь для положительного аргумента, сразу фиксируем область допустимых значений: $y>0$. При этом значение $t=\log_3 y$ пробегает всю числовую прямую, и обратно, каждому $t\in\mathbb{R}$ отвечает ровно одно $y=3^{\,t}>0$. Поэтому решать систему относительно пары $(x,y)$ с условием $y>0$ равносильно решать её относительно пары $(x,t)$ при произвольном $t\in\mathbb{R}$. В новых обозначениях система принимает вид \[\begin{cases}x-a^2 t=1,\\ x+3a\,t=1.\end{cases}\] Вычтем первое уравнение из второго: \[(x+3a\,t)-(x-a^2 t)=0\quad\Longrightarrow\quad (3a+a^2)\,t=0\quad\Longrightarrow\quad a(a+3)\,t=0.\] Дальнейший разбор зависит от того, обращается ли коэффициент $a(a+3)$ в нуль. **Случай 1: $a\neq 0$ и $a\neq -3$.** Тогда $a(a+3)\neq 0$, и из равенства $a(a+3)\,t=0$ следует $t=0$. Подставляя $t=0$ в первое уравнение, получаем $x=1$. Итак, система имеет единственное решение \[t=0,\quad x=1,\qquad\text{то есть}\quad y=3^{\,0}=1,\ x=1.\] Проверим неравенство $y>1-x$: подставляя, имеем $1>1-1=0$ — верно. Значит, при всех таких $a$ единственное решение удовлетворяет требуемому неравенству, и эти значения $a$ подходят. **Случай 2: $a=0$.** Система превращается в \[\begin{cases}x=1,\\ x=1,\end{cases}\] то есть $x=1$, а $t$ остаётся произвольным. Следовательно, решениями служат все пары $x=1,\ y=3^{\,t}$ при любом $t\in\mathbb{R}$, что даёт $x=1$ и любое $y>0$. Проверим неравенство $y>1-x$: здесь $1-x=1-1=0$, а $y=3^{\,t}>0$ при всех $t$. Значит, неравенство $y>0$ выполнено для каждого решения системы, и значение $a=0$ подходит. **Случай 3: $a=-3$.** Тогда $a^2=9$ и $3a=-9$, поэтому оба уравнения совпадают: каждое из них имеет вид $x-9t=1$. Следовательно, система сводится к одному уравнению, и её решения образуют целое семейство: \[x=1+9t,\qquad y=3^{\,t},\qquad t\in\mathbb{R}.\] Требование задачи означает, что неравенство $y>1-x$ должно выполняться для каждого решения этого семейства, то есть для всех $t$. Подставим: \[1-x=1-(1+9t)=-9t,\] и условие принимает вид \[3^{\,t}>-9t\qquad\text{для всех }t\in\mathbb{R}.\] Однако при больших по модулю отрицательных $t$ это неверно: левая часть $3^{\,t}\to 0^{+}$ при $t\to-\infty$, тогда как правая часть $-9t\to+\infty$. Например, при $t=-1$ получаем $3^{-1}=\tfrac13$, а $-9t=9$, и неравенство $\tfrac13>9$ ложно. Значит, среди решений системы есть такие, которые неравенству не удовлетворяют, и потому условие «любое решение удовлетворяет неравенству $y>1-x$» при $a=-3$ не выполняется. Это значение $a$ исключается. **Итог.** Условию задачи удовлетворяют все значения параметра, кроме $a=-3$ (в том числе $a=0$, где решений бесконечно много, но все они дают $x=1,\ y>0$, и неравенство $y>0$ автоматически верно). Объединяя случаи 1 и 2 и исключая случай 3, получаем \[\boxed{a\neq -3}.\]5e:T1636,Нужно найти все $x\in[0;\pi]$, при которых выражения \[\operatorname{tg}x\qquad\text{и}\qquad \frac{1}{\cos 2x}-2\cos 2x\] имеют разные знаки, то есть при которых их произведение строго отрицательно (и оба выражения при этом определены). **Область определения.** Тангенс не определён при $\cos x=0$, то есть при $x=\dfrac{\pi}{2}$. Второе выражение не определено при $\cos 2x=0$, то есть при $2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, что на $[0;\pi]$ даёт $x=\dfrac{\pi}{4}$ и $x=\dfrac{3\pi}{4}$. Все эти точки из рассмотрения исключаются. **Преобразование второго выражения.** Приведём к общему знаменателю: \[\frac{1}{\cos 2x}-2\cos 2x=\frac{1-2\cos^2 2x}{\cos 2x}.\] Так как $2\cos^2 2x-1=\cos 4x$, числитель равен $1-2\cos^2 2x=-\cos 4x$, поэтому \[\frac{1}{\cos 2x}-2\cos 2x=-\frac{\cos 4x}{\cos 2x}.\] **Сведение к произведению.** Условие «разные знаки» равносильно неравенству \[\operatorname{tg}x\cdot\left(-\frac{\cos 4x}{\cos 2x}\right)<0,\qquad\text{то есть}\qquad \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos 4x}{\cos 2x}>0.\] (Множитель $-1$ перенесён в правую часть, знак неравенства изменился.) На отрезке $[0;\pi]$ имеем $\sin x\ge 0$, причём $\sin x=0$ лишь в концах $x=0$ и $x=\pi$ — там $\operatorname{tg}x=0$, знаков «разных» быть не может, эти точки исключаем. Внутри $(0;\pi)$ множитель $\sin x>0$, поэтому неравенство равносильно \[\frac{\cos 4x}{\cos x\,\cos 2x}>0.\] **Расстановка знаков.** На $(0;\pi)$ рассмотрим знаки трёх множителей. Знаменатель $\cos x$: положителен на $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$, отрицателен на $\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right)$. Множитель $\cos 2x$: нули в $x=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}$; положителен на $\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right)$ и $\left(\dfrac{3\pi}{4};\pi\right)$, отрицателен на $\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right)$. Числитель $\cos 4x$: нули в точках $4x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, то есть $x=\dfrac{\pi}{8},\dfrac{3\pi}{8},\dfrac{5\pi}{8},\dfrac{7\pi}{8}$; положителен на $\left(0;\dfrac{\pi}{8}\right),\left(\dfrac{3\pi}{8};\dfrac{5\pi}{8}\right),\left(\dfrac{7\pi}{8};\pi\right)$ и отрицателен на $\left(\dfrac{\pi}{8};\dfrac{3\pi}{8}\right),\left(\dfrac{5\pi}{8};\dfrac{7\pi}{8}\right)$. Все «особые» точки $0,\dfrac{\pi}{8},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{8},\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{8},\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{7\pi}{8},\pi$ разбивают отрезок на восемь интервалов. Определим на каждом знак дроби $\dfrac{\cos 4x}{\cos x\,\cos 2x}$ (берём по пробной точке — середине интервала): | Интервал | $\cos 4x$ | $\cos x$ | $\cos 2x$ | дробь | разные знаки? | |---|---|---|---|---|---| | $(0;\tfrac{\pi}{8})$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | да | | $(\tfrac{\pi}{8};\tfrac{\pi}{4})$ | $-$ | $+$ | $+$ | $-$ | нет | | $(\tfrac{\pi}{4};\tfrac{3\pi}{8})$ | $-$ | $+$ | $-$ | $+$ | да | | $(\tfrac{3\pi}{8};\tfrac{\pi}{2})$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | нет | | $(\tfrac{\pi}{2};\tfrac{5\pi}{8})$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ | да | | $(\tfrac{5\pi}{8};\tfrac{3\pi}{4})$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | нет | | $(\tfrac{3\pi}{4};\tfrac{7\pi}{8})$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ | да | | $(\tfrac{7\pi}{8};\pi)$ | $+$ | $-$ | $+$ | $-$ | нет | Дробь положительна (значит, исходные выражения имеют разные знаки) на четырёх интервалах: \[\left(0;\frac{\pi}{8}\right),\quad\left(\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{8}\right),\quad\left(\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{8}\right),\quad\left(\frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{8}\right).\] **Концевые точки.** В точках $x=\dfrac{\pi}{8},\dfrac{3\pi}{8},\dfrac{5\pi}{8},\dfrac{7\pi}{8}$ числитель $\cos 4x=0$, поэтому второе выражение равно нулю — знаков «разных» нет. В точках $x=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}$ второе выражение не определено, в точке $x=\dfrac{\pi}{2}$ не определён тангенс, а в концах $x=0,\pi$ тангенс равен нулю. Все границы исключаются, поэтому интервалы открытые. **Ответ.** \[\boxed{\,x\in\left(0;\frac{\pi}{8}\right)\cup\left(\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{8}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{8}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{8}\right).\,}\] Эти четыре интервала компактно записываются как \[\frac{\pi n}{4}1-x\\).","answer_text":"\$a \\neq -3\$","answer":"\$a \\neq -3\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"03","variant_key":"mm1995-03","year":1995},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"aa6e8219-4309-468c-bb4a-3b6f64ef9c5e","code":"tag-157","name":"Системы с параметром"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"6b002046-d761-4406-ba87-dd8041eb4c70","collection_id":"2547bb8d-c26b-4760-8df3-068e35e27d2f","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"6b002046-d761-4406-ba87-dd8041eb4c70","short_id":18086,"task_number":93,"topic_id":"4f9bb644-d279-4577-a64f-757d71347eae","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Найти все значения \$x\\in[0;\\pi]\$, при которых выражения\n\\[\\operatorname{tg}x \\quad \\text{и} \\quad \\frac{1}{\\cos 2x}-2\\cos 2x\\]\nимеют разные знаки.","answer_text":"\$x\\in\\left(0;\\frac{\\pi}{8}\\right)\\cup\\left(\\frac{\\pi}{4};\\frac{3\\pi}{8}\\right)\\cup\\left(\\frac{\\pi}{2};\\frac{5\\pi}{8}\\right)\\cup\\left(\\frac{3\\pi}{4};\\frac{7\\pi}{8}\\right)\$","answer":"\$x\\in\\left(0;\\frac{\\pi}{8}\\right)\\cup\\left(\\frac{\\pi}{4};\\frac{3\\pi}{8}\\right)\\cup\\left(\\frac{\\pi}{2};\\frac{5\\pi}{8}\\right)\\cup\\left(\\frac{3\\pi}{4};\\frac{7\\pi}{8}\\right)\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"03","variant_key":"mm1995-03","year":1995},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"4f9bb644-d279-4577-a64f-757d71347eae","name":"Тригонометрические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"39f76dc0-848e-472d-88e1-62a691f44e23","code":"tag-53","name":"Тригонометрические функции, их графики"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"688c2e77-c6c6-42d7-8d2d-2a35b37db137","collection_id":"2547bb8d-c26b-4760-8df3-068e35e27d2f","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"688c2e77-c6c6-42d7-8d2d-2a35b37db137","short_id":18087,"task_number":18,"topic_id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"На сторонах \$AB\$, \$BC\$ и \$AC\$ треугольника \$ABC\$ взяты точки \$D\$, \$E\$ и \$F\$ соответственно. Отрезки \$AE\$ и \$DF\$ проходят через центр вписанной в треугольник окружности, а прямые \$DF\$ и \$BC\$ параллельны. Найти длину отрезка \$BE\$ и периметр треугольника \$ABC\$, если \$BC=15\$, \$BD=6\$, \$CF=4\$.","answer_text":"\$BE = 9,\\ P_{ABC} = 45\$","answer":"\$BE = 9,\\ P_{ABC} = 45\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"03","variant_key":"mm1995-03","year":1995},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","name":"Треугольники","description":null},"tags":[{"id":"4b1ff467-d0bf-44bd-913c-7ae8d7e220ef","code":"tag-72","name":"Окружность, вписанная в треугольник"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"},{"id":"f00d2a00-0868-464c-9622-e0ea87e0aefd","code":"tag-230","name":"Вписанная и описанная окружность треугольника"}]}},{"problem_id":"a42e0436-ddfc-465d-9872-12ac97bfc9d3","collection_id":"2547bb8d-c26b-4760-8df3-068e35e27d2f","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"a42e0436-ddfc-465d-9872-12ac97bfc9d3","short_id":18088,"task_number":20,"topic_id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"В пирамиде \$SABC\$ двугранные углы при рёбрах \$AB\$, \$BC\$ и \$AC\$ равны \$90^\\circ\$, \$30^\\circ\$ и \$90^\\circ\$ соответственно. Плоскость пересекает рёбра \$SB\$, \$SC\$, \$AC\$ и \$AB\$ в точках \$K\$, \$L\$, \$M\$ и \$N\$ соответственно, причём четырёхугольник \$KLMN\$ — трапеция, основание \$KL\$ которой втрое меньше основания \$MN\$. Найти площадь трапеции, если её высота равна \$13\$ и \$AS=BS=13\$.","answer_text":"\$52\$","answer":"\$52\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"03","variant_key":"mm1995-03","year":1995},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","name":"Многогранники","description":null},"tags":[{"id":"15da41c2-bd2d-46d6-8143-c3bef8efc547","code":"tag-21","name":"Сечение трапеция"},{"id":"a5d2df2e-01c6-46dd-8b36-c0f1bc1b9a11","code":"tag-153","name":"Площадь сечения"},{"id":"d72e5676-86a6-4521-aa99-b097dd7dde8d","code":"tag-203","name":"Двугранный угол, линейный угол двугранного угла"},{"id":"d910c52b-60cc-47a9-b58b-f21ab0d0fc24","code":"tag-205","name":"Треугольная пирамида"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ