Задача №18084

Решить уравнение

$$\frac{|x^3|-|5x|}{\sqrt{2x^2-4x-1}-|x|+2}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля и при этом определён. Поэтому решение распадается на три части: найти область допустимых значений (ОДЗ), приравнять числитель к нулю и среди полученных кандидатов отбросить те, что нарушают ОДЗ или обращают знаменатель в нуль.

Область допустимых значений. Под квадратным корнем должно стоять неотрицательное выражение, поэтому требуется

$$2x^2-4x-1⩾0.$$

Корни трёхчлена $2x^2-4x-1$ равны

$$x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{16+8}}{4}=\frac{4\pm 2\sqrt{6}}{4}=1\pm \frac{\sqrt{6}}{2},$$

а так как старший коэффициент положителен, неравенство выполнено вне отрезка между корнями:

$$x⩽1-\frac{\sqrt{6}}{2}\text{или}x⩾1+\frac{\sqrt{6}}{2}.$$

Численно это означает $x⩽-0,2247\dots$ или $x⩾2,2247\dots \text{.}$ Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль; это условие учтём отдельно на финальном шаге.

Нули числителя. Приравняем числитель к нулю:

$$|x^3|-|5x|=0.$$

Поскольку $|x^3|=|x{|}^3$ и $|5x|=5|x|\text{,}$ получаем

$$|x{|}^3-5|x|=0⟺|x|(|x{|}^2-5)=0.$$

Отсюда $|x|=0$ или $|x{|}^2=5\text{,}$ то есть кандидаты

$$x=0,x=\sqrt{5},x=-\sqrt{5}.$$

Отбор кандидатов.

Точка $x=0\text{:}$ подставляя в подкоренное выражение, имеем $2\cdot 0-4\cdot 0-1=-1<0\text{.}$ Корень не определён, значит $x=0$ не входит в ОДЗ и отбрасывается.

Точка $x=\sqrt{5}\text{:}$ здесь $\sqrt{5}\approx 2,236⩾1+\frac{\sqrt{6}}{2}\text{,}$ то есть точка лежит в ОДЗ. Проверим знаменатель. Подкоренное выражение

$$2\cdot 5-4\sqrt{5}-1=9-4\sqrt{5},$$

причём $9-4\sqrt{5}=(\sqrt{5}-2{)}^2\text{,}$ а $\sqrt{5}>2\text{,}$ поэтому

$$\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2.$$

Тогда знаменатель равен

$$\sqrt{9-4\sqrt{5}}-|\sqrt{5}|+2=(\sqrt{5}-2)-\sqrt{5}+2=0.$$

Знаменатель обращается в нуль, поэтому при $x=\sqrt{5}$ дробь не определена — это посторонний корень, он отбрасывается.

Точка $x=-\sqrt{5}\text{:}$ здесь $-\sqrt{5}\approx -2,236⩽1-\frac{\sqrt{6}}{2}\text{,}$ то есть точка лежит в ОДЗ. Подкоренное выражение

$$2\cdot 5+4\sqrt{5}-1=9+4\sqrt{5}=(\sqrt{5}+2{)}^2,$$

поэтому

$$\sqrt{9+4\sqrt{5}}=\sqrt{5}+2.$$

Знаменатель равен

$$\sqrt{9+4\sqrt{5}}-|-\sqrt{5}|+2=(\sqrt{5}+2)-\sqrt{5}+2=4\ne 0.$$

Числитель в этой точке равен нулю, знаменатель равен $4\ne 0$ и определён. Следовательно, $x=-\sqrt{5}$ — настоящий корень уравнения.

Итог. Из трёх кандидатов $x=0$ выпадает из ОДЗ, $x=\sqrt{5}$ обращает знаменатель в нуль, и лишь $x=-\sqrt{5}$ удовлетворяет всем условиям. Уравнение имеет единственное решение

$$\boxed{x=-\sqrt{5}}.$$