Решить уравнение (|x^3|-|5x|)/(sqrt(2x^2-4x-1)-|x|+2)=0.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля и при этом определён. Поэтому решение распадается на три части: найти область допустимых значений (ОДЗ), приравнять числитель к нулю и среди полученных кандидатов отбросить те, что нарушают ОДЗ или обращают знаменатель в нуль. **Область допустимых значений.** Под квадратным корнем должно стоять неотрицательное выражение, поэтому требуется 2x^2-4x-1 0. Корни трёхчлена 2x^2-4x-1 равны x_(1,2)=(4+-sqrt(16+8))/(4)=(4+- 2sqrt(6))/(4)=1+-(6)/(2), а так как старший коэффициент положителен, неравенство выполнено вне отрезка между корнями: x 1-(6)/(2) или x 1+(6)/(2). Численно это означает x -0,2247 или x 2,2247. Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль; это условие учтём отдельно на финальном шаге. **Нули числителя.** Приравняем числитель к нулю: |x^3|-|5x|=0. Поскольку |x^3|=|x|^3 и |5x|=5|x|, получаем |x|^3-5|x|=0 |x|(|x|^2-5)=0. Отсюда |x|=0 или |x|^2=5, то есть кандидаты x=0, x=5, x=-5. **Отбор кандидатов.** Точка x=0: подставляя в подкоренное выражение, имеем 2*0-4*0-1=-1<0. Корень не определён, значит x=0 не входит в ОДЗ и отбрасывается. Точка x=5: здесь 5~2,236 1+(6)/(2), то есть точка лежит в ОДЗ. Проверим знаменатель. Подкоренное выражение 2*5-45-1=9-45, причём 9-45=(5-2)^2, а 5>2, поэтому sqrt(9-45)=5-2. Тогда знаменатель равен sqrt(9-45)-|5|+2=(5-2)-5+2=0. Знаменатель обращается в нуль, поэтому при x=5 дробь не определена — это посторонний корень, он отбрасывается. Точка x=-5: здесь -5~-2,236 1-(6)/(2), то есть точка лежит в ОДЗ. Подкоренное выражение 2*5+45-1=9+45=(5+2)^2, поэтому sqrt(9+45)=5+2. Знаменатель равен sqrt(9+45)-|-5|+2=(5+2)-5+2=40. Числитель в этой точке равен нулю, знаменатель равен 40 и определён. Следовательно, x=-5 — настоящий корень уравнения. **Итог.** Из трёх кандидатов x=0 выпадает из ОДЗ, x=5 обращает знаменатель в нуль, и лишь x=-5 удовлетворяет всем условиям. Уравнение имеет единственное решение x=-5.

\(-\sqrt{5}\)