Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Мехмат МГУ (архив)
В пирамиде SABC двугранные углы при рёбрах AB, BC и AC равны 90∘, 30∘ и 90∘ соответственно. Плоскость пересекает рёбра SB, SC, AC и AB в точках K, L, M и N соответственно, причём четырёхугольник KLMN — трапеция, основание KL которой втрое меньше основания MN. Найти площадь трапеции, если её высота равна 13 и AS=BS=13.
Расположение вершины пирамиды.
Двугранный угол при основании при ребре AB равен 90∘ — это значит, что боковая грань SAB перпендикулярна плоскости основания ABC. Аналогично из равенства двугранного угла при ребре AC числу 90∘ следует, что и грань SAC перпендикулярна основанию.
Две плоскости SAB и SAC, перпендикулярные основанию, пересекаются по прямой SA. Линия пересечения двух плоскостей, каждая из которых перпендикулярна третьей плоскости, сама перпендикулярна этой третьей плоскости. Следовательно,
SA⊥(ABC),то есть вершина S проектируется в вершину A, а боковое ребро SA служит высотой пирамиды. Обозначим эту высоту H=SA=13.
Двугранный угол при ребре BC.
Пусть d — расстояние от точки A до прямой BC (в плоскости основания). Так как S проектируется в A, линейный угол двугранного угла при ребре BC образован высотой SA и перпендикуляром, опущенным из A на BC; поэтому
tg30∘=dSA=dH⟹d=H3.Структура сечения.
Плоскость пересекает рёбра SB,SC,AC,AB в точках K,L,M,N. Отрезок MN лежит в основании (на сторонах AB,AC), отрезок KL лежит в боковой грани SBC; они и являются основаниями трапеции, поэтому KL∥MN.
Введём координаты: A=(0,0,0), S=(0,0,H); точки B,C лежат в плоскости z=0. Пусть
N=sB,M=sC(0<s<1),то есть ABAN=ACAM=s; тогда NM=s(C−B) направлен вдоль BC, и MN=s⋅BC.
Точки на боковых рёбрах запишем как
K=S+k(B−S),L=S+k(C−S)(0<k<1),то есть SBSK=SCSL=k. Тогда
KL=k(C−B),KL=k⋅BC.Вектор KL уже параллелен NM; кроме того, при таком выборе K,L имеют одинаковую аппликату z=H(1−k), а N,M — аппликату 0, так что обе прямые KL и NM параллельны BC и потому компланарны — четырёхугольник KLMN плоский. (Если бы коэффициенты при B и C в K,L были разными, прямая KL не была бы параллельна BC, и трапеции бы не получилось; именно условие KL∥MN фиксирует одинаковое отношение деления.)
Отношение оснований.
Так как MN=s⋅BC и KL=k⋅BC, условие «основание KL втрое меньше основания MN» даёт
KLMN=ks=3⟹s=3k.Высота трапеции.
Найдём расстояние между параллельными прямыми NM и KL (оно и есть высота трапеции). Так как обе прямые направлены вдоль BC, достаточно взять компоненту вектора NK, перпендикулярную BC. Разложим её в плоскости, перпендикулярной BC: по «горизонтали» (вдоль перпендикуляра из A на BC) точки N и K отстоят на (s−k)d=2kd, а по вертикали — на H(1−k). Значит,
hтр=(2kd)2+(H(1−k))2.Подставляя d=H3, получаем
hтр=H12k2+(1−k)2=H13k2−2k+1.По условию высота трапеции равна 13=H, поэтому
H13k2−2k+1=H⟹13k2−2k+1=1⟹13k2−2k=0.Так как k=0, отсюда
k=132,s=3k=136.Длины оснований и площадь.
Здесь BC=13. Тогда
KL=k⋅BC=132⋅13=2,MN=s⋅BC=136⋅13=6,что согласуется с условием MN=3KL. Площадь трапеции:
SKLMN=2KL+MN⋅hтр=22+6⋅13=4⋅13=52.Ответ: 52.