В пирамиде SABC двугранные углы при рёбрах AB, BC и AC равны 90^, 30^ и 90^ соответственно. Плоскость пересекает рёбра SB, SC, AC и AB в точках K, L, M и N соответственно, причём четырёхугольник KLMN — трапеция, основание KL которой втрое меньше основания MN. Найти площадь трапеции, если её высота равна 13 и AS=BS=13.

**Расположение вершины пирамиды.** Двугранный угол при основании при ребре AB равен 90^ — это значит, что боковая грань SAB перпендикулярна плоскости основания ABC. Аналогично из равенства двугранного угла при ребре AC числу 90^ следует, что и грань SAC перпендикулярна основанию. Две плоскости SAB и SAC, перпендикулярные основанию, пересекаются по прямой SA. Линия пересечения двух плоскостей, каждая из которых перпендикулярна третьей плоскости, сама перпендикулярна этой третьей плоскости. Следовательно, SA(ABC), то есть вершина S проектируется в вершину A, а боковое ребро SA служит высотой пирамиды. Обозначим эту высоту H=SA=13. **Двугранный угол при ребре BC.** Пусть d — расстояние от точки A до прямой BC (в плоскости основания). Так как S проектируется в A, линейный угол двугранного угла при ребре BC образован высотой SA и перпендикуляром, опущенным из A на BC; поэтому tg30^=(SA)/(d)=(H)/(d) d=H3. **Структура сечения.** Плоскость пересекает рёбра SB,SC,AC,AB в точках K,L,M,N. Отрезок MN лежит в основании (на сторонах AB,AC), отрезок KL лежит в боковой грани SBC; они и являются основаниями трапеции, поэтому KL MN. Введём координаты: A=(0,0,0), S=(0,0,H); точки B,C лежат в плоскости z=0. Пусть N=sB, M=sC (0<s<1), то есть (AN)/(AB)=(AM)/(AC)=s; тогда NM=s(C-B) направлен вдоль BC, и MN=s* BC. Точки на боковых рёбрах запишем как K=S+k(B-S), L=S+k(C-S) (0<k<1), то есть (SK)/(SB)=(SL)/(SC)=k. Тогда KL=k(C-B), KL=k* BC. Вектор KL уже параллелен NM; кроме того, при таком выборе K,L имеют одинаковую аппликату z=H(1-k), а N,M — аппликату 0, так что обе прямые KL и NM параллельны BC и потому компланарны — четырёхугольник KLMN плоский. (Если бы коэффициенты при B и C в K,L были разными, прямая KL не была бы параллельна BC, и трапеции бы не получилось; именно условие KL MN фиксирует одинаковое отношение деления.) **Отношение оснований.** Так как MN=s* BC и KL=k* BC, условие «основание KL втрое меньше основания MN» даёт (MN)/(KL)=(s)/(k)=3 s=3k. **Высота трапеции.** Найдём расстояние между параллельными прямыми NM и KL (оно и есть высота трапеции). Так как обе прямые направлены вдоль BC, достаточно взять компоненту вектора NK, перпендикулярную BC. Разложим её в плоскости, перпендикулярной BC: по «горизонтали» (вдоль перпендикуляра из A на BC) точки N и K отстоят на (s-k)d=2kd, а по вертикали — на H(1-k). Значит, h_(тр)=sqrt((2kd)^2+(H(1-k))^2). Подставляя d=H3, получаем h_(тр)=Hsqrt(12k^2+(1-k)^2)=Hsqrt(13k^2-2k+1). По условию высота трапеции равна 13=H, поэтому Hsqrt(13k^2-2k+1)=H 13k^2-2k+1=1 13k^2-2k=0. Так как k0, отсюда k=(2)/(13), s=3k=(6)/(13). **Длины оснований и площадь.** Здесь BC=13. Тогда KL=k* BC=(2)/(13)* 13=2, MN=s* BC=(6)/(13)* 13=6, что согласуется с условием MN=3KL. Площадь трапеции: S_(KLMN)=(KL+MN)/(2)* h_(тр)=(2+6)/(2)* 13=4* 13=52. **Ответ:** 52.