Задача №18085

Найти значения $a\text{,}$ при каждом из которых любое решение системы

$$\{\begin{array}{l}x-a^2{\log }_{3}y=1,\\ x+3a{\log }_{3}y=1\end{array}$$

удовлетворяет неравенству $y>1-x\text{.}$

Введём обозначение $t={\log }_{3}y\text{.}$ Поскольку логарифм определён лишь для положительного аргумента, сразу фиксируем область допустимых значений: $y>0\text{.}$ При этом значение $t={\log }_{3}y$ пробегает всю числовую прямую, и обратно, каждому $t\in \mathbb{R}$ отвечает ровно одно $y=3^t>0\text{.}$ Поэтому решать систему относительно пары $(x,y)$ с условием $y>0$ равносильно решать её относительно пары $(x,t)$ при произвольном $t\in \mathbb{R}\text{.}$

В новых обозначениях система принимает вид

$$\{\begin{array}{l}x-a^{2}t=1,\\ x+3at=1.\end{array}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(x+3at)-(x-a^{2}t)=0⟹(3a+a^2)t=0⟹a(a+3)t=0.$$

Дальнейший разбор зависит от того, обращается ли коэффициент $a(a+3)$ в нуль.

Случай 1: $a\ne 0$ и $a\ne -3\text{.}$ Тогда $a(a+3)\ne 0\text{,}$ и из равенства $a(a+3)t=0$ следует $t=0\text{.}$ Подставляя $t=0$ в первое уравнение, получаем $x=1\text{.}$ Итак, система имеет единственное решение

$$t=0,x=1,\text{то есть}y=3^0=1,x=1.$$

Проверим неравенство $y>1-x\text{:}$ подставляя, имеем $1>1-1=0$ — верно. Значит, при всех таких $a$ единственное решение удовлетворяет требуемому неравенству, и эти значения $a$ подходят.

Случай 2: $a=0\text{.}$ Система превращается в

$$\{\begin{array}{l}x=1,\\ x=1,\end{array}$$

то есть $x=1\text{,}$ а $t$ остаётся произвольным. Следовательно, решениями служат все пары $x=1,y=3^t$ при любом $t\in \mathbb{R}\text{,}$ что даёт $x=1$ и любое $y>0\text{.}$ Проверим неравенство $y>1-x\text{:}$ здесь $1-x=1-1=0\text{,}$ а $y=3^t>0$ при всех $t\text{.}$ Значит, неравенство $y>0$ выполнено для каждого решения системы, и значение $a=0$ подходит.

Случай 3: $a=-3\text{.}$ Тогда $a^2=9$ и $3a=-9\text{,}$ поэтому оба уравнения совпадают: каждое из них имеет вид $x-9t=1\text{.}$ Следовательно, система сводится к одному уравнению, и её решения образуют целое семейство:

$$x=1+9t,y=3^t,t\in \mathbb{R}.$$

Требование задачи означает, что неравенство $y>1-x$ должно выполняться для каждого решения этого семейства, то есть для всех $t\text{.}$ Подставим:

$$1-x=1-(1+9t)=-9t,$$

и условие принимает вид

$$3^t>-9t\text{для всех }t\in \mathbb{R}.$$

Однако при больших по модулю отрицательных $t$ это неверно: левая часть $3^t\to 0^{+}$ при $t\to -\infty \text{,}$ тогда как правая часть $-9t\to +\infty \text{.}$ Например, при $t=-1$ получаем $3^{-1}=\frac{1}{3}\text{,}$ а $-9t=9\text{,}$ и неравенство $\frac{1}{3}>9$ ложно. Значит, среди решений системы есть такие, которые неравенству не удовлетворяют, и потому условие «любое решение удовлетворяет неравенству $y>1-x$» при $a=-3$ не выполняется. Это значение $a$ исключается.

Итог. Условию задачи удовлетворяют все значения параметра, кроме $a=-3$ (в том числе $a=0\text{,}$ где решений бесконечно много, но все они дают $x=1,y>0\text{,}$ и неравенство $y>0$ автоматически верно). Объединяя случаи 1 и 2 и исключая случай 3, получаем

$$\boxed{a\ne -3}.$$