Задача №18087

На сторонах $AB\text{,}$ $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты точки $D\text{,}$ $E$ и $F$ соответственно. Отрезки $AE$ и $DF$ проходят через центр вписанной в треугольник окружности, а прямые $DF$ и $BC$ параллельны. Найти длину отрезка $BE$ и периметр треугольника $ABC\text{,}$ если $BC=15\text{,}$ $BD=6\text{,}$ $CF=4\text{.}$

Обозначим стороны треугольника: $BC=a=15\text{,}$ $AC=b\text{,}$ $AB=c$ (это длины, которые предстоит найти). Пусть $I$ — центр вписанной окружности, $r$ — её радиус, $s=\frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

Шаг 1. Отрезок $AE$ — биссектриса угла $A\text{.}$

Центр вписанной окружности $I$ лежит на биссектрисе каждого угла треугольника, в частности на биссектрисе угла $A\text{.}$ По условию прямая $AE$ проходит через $I$ и при этом проходит через вершину $A\text{.}$ Прямая, проходящая через $A$ и через инцентр $I\text{,}$ — это и есть биссектриса угла $A\text{.}$ Значит, $AE$ — биссектриса угла $A\text{,}$ а точка $E$ — её основание на стороне $BC\text{.}$

По свойству биссектрисы

Так как $BE+EC=BC=15\text{,}$ получаем

Шаг 2. Из условия $DF\parallel BC$ — подобие.

Точка $D$ лежит на $AB\text{,}$ точка $F$ — на $AC\text{,}$ и $DF\parallel BC\text{.}$ Тогда треугольник $ADF$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам — общий угол $A$ и равные соответственные углы при параллельных прямых). Из подобия следуют пропорции

где $k$ — коэффициент подобия. Обозначим эту общую величину через $k\text{.}$

Шаг 3. Из условия «$DF$ проходит через $I$» — выражение для $k\text{.}$

Поскольку $DF\parallel BC\text{,}$ расстояние от вершины $A$ до прямой $DF$ относится к высоте $h_a$ из $A$ на $BC$ как раз в отношении подобия $k\text{.}$ С другой стороны, прямая $DF$ проходит через инцентр $I\text{,}$ а инцентр удалён от стороны $BC$ ровно на радиус $r\text{.}$ Значит, расстояние от $A$ до прямой $DF$ равно $h_a-r\text{,}$ и

Подставим $r=\frac{S}{s}$ и $h_a=\frac{2S}{a}$ (где $S$ — площадь треугольника):

Следовательно,

Шаг 4. Использование данных $BD=6\text{,}$ $CF=4\text{.}$

Из $BD=6$ имеем $AD=AB-BD=c-6\text{;}$ из $CF=4$ имеем $AF=AC-CF=b-4\text{.}$ Подставляя в $(2)$ и приравнивая к $(3)\text{:}$

Преобразуем первое уравнение. Запишем $\frac{c-6}{c}=1-\frac{6}{c}\text{,}$ а правую часть $\frac{b+c}{a+b+c}=1-\frac{a}{a+b+c}\text{.}$ Приравнивая «дополнения до единицы»:

Аналогично из второго уравнения $\frac{4}{b}=\frac{a}{a+b+c}\text{:}$

Подставим $a=15\text{.}$ Из $(4)\text{:}$ $6(15+b+c)=15c\text{,}$ то есть $90+6b+6c=15c\text{,}$ откуда

Из $(5)\text{:}$ $4(15+b+c)=15b\text{,}$ то есть $60+4b+4c=15b\text{,}$ откуда

Из $(6)\text{:}$ $c=\frac{30+2b}{3}\text{.}$ Подставим в $(7)\text{:}$

Тогда из $(6)\text{:}$ $3c=30+24=54\text{,}$ значит $c=18\text{.}$

Итак, $AC=b=12\text{,}$ $AB=c=18\text{,}$ $BC=a=15\text{.}$ Проверка корректности: $BD=6<AB=18$ и $CF=4<AC=12$ — точки лежат на сторонах; неравенства треугольника $18<12+15\text{,}$ $15<18+12\text{,}$ $12<18+15$ выполнены.

Шаг 5. Вычисление $BE$ и периметра.

По формуле $(1)\text{:}$

Периметр:

Ответ: $BE=9\text{,}$ $P_{ABC}=45\text{.}$