На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки D, E и F соответственно. Отрезки AE и DF проходят через центр вписанной в треугольник окружности, а прямые DF и BC параллельны. Найти длину отрезка BE и периметр треугольника ABC, если BC=15, BD=6, CF=4.

Обозначим стороны треугольника: BC=a=15, AC=b, AB=c (это длины, которые предстоит найти). Пусть I — центр вписанной окружности, r — её радиус, s=(a+b+c)/(2) — полупериметр. **Шаг 1. Отрезок AE — биссектриса угла A.** Центр вписанной окружности I лежит на биссектрисе каждого угла треугольника, в частности на биссектрисе угла A. По условию прямая AE проходит через I и при этом проходит через вершину A. Прямая, проходящая через A и через инцентр I, — это и есть биссектриса угла A. Значит, AE — биссектриса угла A, а точка E — её основание на стороне BC. По свойству биссектрисы (BE)/(EC)=(AB)/(AC)=(c)/(b). Так как BE+EC=BC=15, получаем BE=(c)/(b+c)* 15, EC=(b)/(b+c)* 15. 1 **Шаг 2. Из условия DF BC — подобие.** Точка D лежит на AB, точка F — на AC, и DF BC. Тогда треугольник ADF подобен треугольнику ABC (по двум углам — общий угол A и равные соответственные углы при параллельных прямых). Из подобия следуют пропорции (AD)/(AB)=(AF)/(AC)=k, 2 где k — коэффициент подобия. Обозначим эту общую величину через k. **Шаг 3. Из условия «DF проходит через I» — выражение для k.** Поскольку DF BC, расстояние от вершины A до прямой DF относится к высоте h_a из A на BC как раз в отношении подобия k. С другой стороны, прямая DF проходит через инцентр I, а инцентр удалён от стороны BC ровно на радиус r. Значит, расстояние от A до прямой DF равно h_a-r, и k=(h_a-r)/(h_a)=1-(r)/(h_a). Подставим r=(S)/(s) и h_a=(2S)/(a) (где S — площадь треугольника): (r)/(h_a)=(S/s)/(2S/a)=(a)/(2s)=(a)/(a+b+c). Следовательно, k=1-(a)/(a+b+c)=(b+c)/(a+b+c). 3 **Шаг 4. Использование данных BD=6, CF=4.** Из BD=6 имеем AD=AB-BD=c-6; из CF=4 имеем AF=AC-CF=b-4. Подставляя в (2) и приравнивая к (3): (c-6)/(c)=(b+c)/(a+b+c), (b-4)/(b)=(b+c)/(a+b+c). Преобразуем первое уравнение. Запишем (c-6)/(c)=1-(6)/(c), а правую часть (b+c)/(a+b+c)=1-(a)/(a+b+c). Приравнивая «дополнения до единицы»: (6)/(c)=(a)/(a+b+c) 6(a+b+c)=ac. 4 Аналогично из второго уравнения (4)/(b)=(a)/(a+b+c): 4(a+b+c)=ab. 5 Подставим a=15. Из (4): 6(15+b+c)=15c, то есть 90+6b+6c=15c, откуда 90+6b=9c 3c=30+2b. 6 Из (5): 4(15+b+c)=15b, то есть 60+4b+4c=15b, откуда 60+4c=11b 4c=11b-60. 7 Из (6): c=(30+2b)/(3). Подставим в (7): 4*(30+2b)/(3)=11b-60(120+8b)/(3)=11b-60120+8b=33b-180, 300=25b=12. Тогда из (6): 3c=30+24=54, значит c=18. Итак, AC=b=12, AB=c=18, BC=a=15. Проверка корректности: BD=6<AB=18 и CF=4<AC=12 — точки лежат на сторонах; неравенства треугольника 18<12+15, 15<18+12, 12<18+15 выполнены. **Шаг 5. Вычисление BE и периметра.** По формуле (1): BE=(c)/(b+c)* 15=(18)/(12+18)* 15=(18)/(30)* 15=9. Периметр: P_(ABC)=a+b+c=15+12+18=45. **Ответ:** BE=9, P_(ABC)=45.

\(BE = 9,\ P_{ABC} = 45\)