Найти первый член геометрической прогрессии, если её третий член равен (-10), а его квадрат в сумме с седьмым членом даёт утроенный пятый член.

Обозначим первый член геометрической прогрессии через b_1, а её знаменатель через q. Тогда n-й член записывается как b_n=b_1q^(n-1), и нужные нам члены равны b_3=b_1q^2, b_5=b_1q^4, b_7=b_1q^6. Запишем условия задачи. Во-первых, третий член равен (-10): b_3=b_1q^2=-10. Поскольку b_3=-100, прогрессия не вырождена: b_10 и q0. Во-вторых, квадрат третьего члена в сумме с седьмым членом даёт утроенный пятый член: b_3^2+b_7=3b_5. Удобно выразить пятый и седьмой члены через третий: умножая b_3=b_1q^2 на q^2 и на q^4, получаем b_5=b_3* q^2, b_7=b_3* q^4. Подставим это в равенство b_3^2+b_7=3b_5: b_3^2+b_3q^4=3b_3q^2. Так как b_3=-10, имеем b_3^2=100; подстановка даёт 100+(-10)q^4=3*(-10)q^2, то есть 100-10q^4=-30q^2. Разделив обе части на 10 и перенеся всё в одну сторону, приходим к биквадратному уравнению относительно q: q^4-3q^2-10=0. Сделаем замену t=q^2, где по смыслу t0 (квадрат действительного числа неотрицателен). Получаем квадратное уравнение t^2-3t-10=0. Его дискриминант равен D=9+40=49, а корни t=(3+-7)/(2), то есть t_1=5, t_2=-2. Корень t_2=-2 отбрасываем как отрицательный: равенство q^2=-2 не имеет действительных решений. Остаётся q^2=5. Это значение допустимо: оно положительно, поэтому действительный знаменатель q=+-5 существует (и в обоих случаях прогрессия — действительная и невырожденная). Теперь найдём первый член из условия b_1q^2=-10. Подставляя q^2=5, получаем b_1=(-10)/(q^2)=(-10)/(5)=-2. Заметим, что значение b_1 не зависит от выбора знака q: и при q=5, и при q=-5 первый член один и тот же, так как в формулу входит лишь q^2. Проверка. При b_1=-2 и q^2=5 имеем b_3=b_1q^2=-2*5=-10, b_5=b_1q^4=-2*25=-50, b_7=b_1q^6=-2*125=-250. Третий член равен -10, как и требовалось, а b_3^2+b_7=100+(-250)=-150, 3b_5=3*(-50)=-150, так что оба условия выполнены. Ответ: b_1=-2.

\(-2\)