Найти первый член геометрической прогрессии, если её третий член равен (−10), а его квадрат в сумме с седьмым членом даёт утроенный пятый член.
Обозначим первый член геометрической прогрессии через b1, а её знаменатель через q. Тогда n-й член записывается как bn=b1qn−1, и нужные нам члены равны
b3=b1q2,b5=b1q4,b7=b1q6.Запишем условия задачи. Во-первых, третий член равен (−10):
b3=b1q2=−10.Поскольку b3=−10=0, прогрессия не вырождена: b1=0 и q=0.
Во-вторых, квадрат третьего члена в сумме с седьмым членом даёт утроенный пятый член:
b32+b7=3b5.Удобно выразить пятый и седьмой члены через третий: умножая b3=b1q2 на q2 и на q4, получаем
b5=b3⋅q2,b7=b3⋅q4.Подставим это в равенство b32+b7=3b5:
b32+b3q4=3b3q2.Так как b3=−10, имеем b32=100; подстановка даёт
100+(−10)q4=3⋅(−10)q2,то есть
100−10q4=−30q2.Разделив обе части на 10 и перенеся всё в одну сторону, приходим к биквадратному уравнению относительно q:
q4−3q2−10=0.Сделаем замену t=q2, где по смыслу t⩾0 (квадрат действительного числа неотрицателен). Получаем квадратное уравнение
t2−3t−10=0.Его дискриминант равен D=9+40=49, а корни
t=23±7,то естьt1=5, t2=−2.Корень t2=−2 отбрасываем как отрицательный: равенство q2=−2 не имеет действительных решений. Остаётся
q2=5.Это значение допустимо: оно положительно, поэтому действительный знаменатель q=±5 существует (и в обоих случаях прогрессия — действительная и невырожденная).
Теперь найдём первый член из условия b1q2=−10. Подставляя q2=5, получаем
b1=q2−10=5−10=−2.Заметим, что значение b1 не зависит от выбора знака q: и при q=5, и при q=−5 первый член один и тот же, так как в формулу входит лишь q2.
Проверка. При b1=−2 и q2=5 имеем
b3=b1q2=−2⋅5=−10,b5=b1q4=−2⋅25=−50,b7=b1q6=−2⋅125=−250.Третий член равен −10, как и требовалось, а
b32+b7=100+(−250)=−150,3b5=3⋅(−50)=−150,так что оба условия выполнены.
Ответ: b1=−2.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Мехмат МГУ (архив)