58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Tb39,Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому решаем систему: числитель $=0$ при условии, что знаменатель $\ne 0$. **Числитель.** Воспользуемся формулой $\cos 2x=1-2\sin^2 x$: \[ 4\sin x-2\cos 2x-1=4\sin x-2(1-2\sin^2 x)-1=4\sin^2 x+4\sin x-3. \] Обозначим $s=\sin x$. Получаем квадратное уравнение \[ 4s^2+4s-3=0,\qquad s=\frac{-4\pm\sqrt{16+48}}{8}=\frac{-4\pm 8}{8}, \] откуда $s=\dfrac12$ или $s=-\dfrac32$. Значение $s=-\dfrac32$ невозможно, так как $|\sin x|\le 1$. Остаётся \[ \sin x=\frac12\ \Longrightarrow\ x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \] **Знаменатель (ОДЗ).** Найдём, где знаменатель обращается в нуль, чтобы исключить такие $x$. Применим $\cos 2x=2\cos^2 x-1$: \[ \cos 2x+\sqrt3\cos x-2=2\cos^2 x-1+\sqrt3\cos x-2=2\cos^2 x+\sqrt3\,\cos x-3. \] Обозначим $c=\cos x$: \[ 2c^2+\sqrt3\,c-3=0,\qquad c=\frac{-\sqrt3\pm\sqrt{3+24}}{4}=\frac{-\sqrt3\pm 3\sqrt3}{4}, \] то есть $c=\dfrac{\sqrt3}{2}$ или $c=-\sqrt3$. Значение $c=-\sqrt3$ невозможно ($|\cos x|\le 1$). Значит знаменатель равен нулю в точности при \[ \cos x=\frac{\sqrt3}{2}\ \Longleftrightarrow\ x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k. \] Эти значения должны быть исключены из ОДЗ. **Отбор корней.** Сравним найденные корни числителя с запретными значениями знаменателя. | Серия числителя | $\cos x$ | Знаменатель $2\cos^2 x+\sqrt3\cos x-3$ | Вывод | |---|---|---|---| | $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $2\cdot\frac34+\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}-3=\frac32+\frac32-3=0$ | посторонний (знаменатель $=0$) | | $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$ | $-\frac{\sqrt3}{2}$ | $2\cdot\frac34-\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}-3=\frac32-\frac32-3=-3\ne 0$ | подходит | Серия $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ совпадает с нулями знаменателя, поэтому в этих точках исходная дробь не определена — корни посторонние. Серия $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$ даёт знаменатель $-3\ne0$, и числитель в ней равен нулю, так что эти значения являются решениями. **Ответ:** \[ \boxed{\,x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.\,} \]5c:Ta09,Требуется решить систему \[\begin{cases}2^x+2y=1,\\ 3y-6y^2=2^{x-1}.\end{cases}\] **Замена.** Обозначим $ t=2^x $. Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, имеем строгое ограничение $ t>0 $ (это ключ к последующему отбору). Кроме того, $ 2^{x-1}=\dfrac{2^x}{2}=\dfrac{t}{2} $. Система переписывается так: \[\begin{cases}t+2y=1,\\ 3y-6y^2=\dfrac{t}{2}.\end{cases}\] **Исключение $ t $.** Из первого уравнения выражаем $ t=1-2y $ и подставляем во второе: \[3y-6y^2=\frac{1-2y}{2}.\] Умножим обе части на $2$: \[6y-12y^2=1-2y,\] \[12y^2-8y+1=0.\] **Решение квадратного уравнения.** Дискриминант \[D=(-8)^2-4\cdot 12\cdot 1=64-48=16>0,\qquad \sqrt{D}=4,\] поэтому \[y=\frac{8\pm 4}{24},\qquad y_1=\frac{12}{24}=\frac{1}{2},\qquad y_2=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}.\] **Отбор по условию $ t>0 $.** Для каждого корня находим $ t=1-2y $ и проверяем положительность. | $ y $ | $ t=1-2y $ | $ t>0 $? | вывод | |---|---|---|---| | $ \tfrac12 $ | $ 1-1=0 $ | нет | посторонний: уравнение $ 2^x=0 $ не имеет решений | | $ \tfrac16 $ | $ 1-\tfrac13=\tfrac23 $ | да | годится | Корень $ y=\dfrac12 $ даёт $ t=0 $, а равенство $ 2^x=0 $ невозможно ни при каком $ x $, поэтому этот случай отбрасывается. Остаётся $ y=\dfrac16 $, для которого $ t=\dfrac23 $. **Нахождение $ x $.** Из $ 2^x=\dfrac23 $ логарифмированием по основанию $2$ получаем \[x=\log_2\frac{2}{3}\quad\Bigl(=1-\log_2 3\Bigr).\] **Проверка.** Подставим $ x=\log_2\frac23 $ (то есть $ 2^x=\tfrac23 $) и $ y=\tfrac16 $ в исходную систему: \[2^x+2y=\frac{2}{3}+2\cdot\frac{1}{6}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1\quad(\text{верно});\] \[3y-6y^2=3\cdot\frac{1}{6}-6\cdot\frac{1}{36}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3},\qquad 2^{x-1}=\frac{2^x}{2}=\frac{2/3}{2}=\frac{1}{3}\quad(\text{верно}).\] Оба уравнения обращаются в тождества. **Ответ:** $ \left(\log_2\dfrac{2}{3};\ \dfrac{1}{6}\right) $.5d:T13ef,Введём обозначения $ t=2-5x $ и $ q=6x^2-6x+1 $. Тогда неравенство имеет вид \[\log_{t}3+\frac{1}{\log_2 t}\leqslant\frac{1}{\log_6 q}.\] **Область допустимых значений (ОДЗ).** Логарифм $ \log_t 3 $ и $ \log_2 t $ требуют, чтобы основание $ t=2-5x $ было положительным и отличным от единицы; кроме того, в знаменателе $ \log_2 t $ нужно $ \log_2 t\neq0 $, что снова даёт $ t\neq1 $. Логарифм $ \log_6 q $ и деление на него требуют $ q=6x^2-6x+1>0 $ и $ q\neq1 $. Итак, \[\begin{cases}2-5x>0,\\ 2-5x\neq1,\\ 6x^2-6x+1>0,\\ 6x^2-6x+1\neq1.\end{cases}\] Разберём условия по отдельности. - $ 2-5x>0\iff x<\dfrac{2}{5} $; - $ 2-5x\neq1\iff x\neq\dfrac{1}{5} $; - $ 6x^2-6x+1>0 $: корни трёхчлена равны $ x=\dfrac12\pm\dfrac{\sqrt3}{6} $, старший коэффициент положителен, поэтому $ q>0 $ при $ x<\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{6} $ или $ x>\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{6} $; - $ 6x^2-6x+1\neq1\iff 6x^2-6x\neq0\iff x\neq0 $ и $ x\neq1 $. Так как нас интересуют лишь $ x<\dfrac25 $, а $ \dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{6}\approx0{,}211<\dfrac25 $, то на интересующем нас луче условие $ q>0 $ даёт $ x<\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{6} $. Объединяя всё, получаем ОДЗ: \[x\in\left(-\infty;\,0\right)\cup\left(0;\,\frac15\right)\cup\left(\frac15;\,\frac12-\frac{\sqrt3}{6}\right).\] **Упрощение левой части.** Перейдём к натуральным логарифмам. По формуле перехода \[\log_t 3=\frac{\ln3}{\ln t},\qquad \frac{1}{\log_2 t}=\frac{\ln2}{\ln t}.\] Поэтому \[\log_t 3+\frac{1}{\log_2 t}=\frac{\ln3+\ln2}{\ln t}=\frac{\ln6}{\ln t}=\frac{1}{\log_6 t}.\] Аналогично правая часть равна $ \dfrac{1}{\log_6 q}=\dfrac{\ln6}{\ln q} $. Так как $ \ln6>0 $, неравенство равносильно (на ОДЗ) \[\frac{1}{\ln t}\leqslant\frac{1}{\ln q},\qquad\text{где } t=2-5x,\ q=6x^2-6x+1.\] **Знаки логарифмов.** На ОДЗ $ x<\dfrac25 $. Заметим: \[\ln t>0\iff t>1\iff 2-5x>1\iff x<\frac15,\qquad \ln t<0\iff \frac150\iff q>1\iff 6x^2-6x>0\iff x<0\ (\text{на нашем луче}),\qquad \ln q<0\iff 00 \); и $ x<0 $, значит $ v=\ln q>0 $. Оба знаменателя положительны, поэтому \[\frac1u\leqslant\frac1v\iff v\leqslant u\iff \ln q\leqslant\ln t\iff q\leqslant t\iff -\frac13\leqslant x\leqslant\frac12.\] Пересекая с $ (-\infty;0) $, получаем $ \left[-\dfrac13;\,0\right) $ (точка $ x=-\dfrac13 $ входит: там $ t=q=\dfrac{11}{3} $, обе части равны, ОДЗ соблюдено). **Промежуток $ \left(0;\dfrac15\right) $.** Здесь $ u=\ln t>0 $, но $ 00>\dfrac1v $, и неравенство $ \dfrac1u\leqslant\dfrac1v $ не выполняется ни при каком $ x $. Решений нет. **Промежуток $ \left(\dfrac15;\,\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{6}\right) $.** Здесь $ \dfrac15b$, и при этом \[FD=AF-AD=a-b.\] (Замечание о транскрипции: в источнике вместо $F$ напечатана буква $S$ — это опечатка, по смыслу касательная пересекает прямую $AD$ именно в точке $F$.) **Шаг 1. Угол между касательной и хордой.** Прямая $FE$ касается описанной окружности треугольника $ECB$ в точке $E$, а $EC$ — хорда этой окружности. По теореме об угле между касательной и хордой этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду из дугового («альтернативного») сегмента: \[\angle(FE,\,EC)=\angle EBC.\] Здесь $\angle EBC$ — вписанный угол окружности, опирающийся на хорду $EC$ (вершина $B$ лежит на окружности), то есть это угол $\angle CBD$ в треугольнике $EBC$ (точки $E$ и $D$ лежат на одной прямой $BD$, так как $E$ — точка пересечения диагоналей, поэтому $\angle EBC=\angle DBC$). **Шаг 2. Перенос угла через параллельность оснований.** Так как $BC\parallel AD$, а прямая $BD$ — секущая, накрест лежащие углы равны: \[\angle DBC=\angle BDA.\] Угол $\angle BDA$ — это угол при вершине $D$ в треугольнике $EDA$ (снова $E$ лежит на прямой $BD$, поэтому $\angle BDA=\angle EDA$). Объединяя с шагом 1, получаем \[\angle(FE,\,EC)=\angle EDA.\] Луч $EC$ есть продолжение луча $EA$ (точки $A$, $E$, $C$ лежат на одной диагонали $AC$). Угол между касательной $EF$ и хордой $EC$, взятый со стороны точки $A$, равен углу $\angle FEA$ (вертикально-смежная пара даёт равные углы между прямой $FE$ и прямой $AC$). Поэтому окончательно \[\angle FEA=\angle EDA.\] (Это равенство углов проверено численно во всех взятых конфигурациях — см. самопроверку.) **Шаг 3. Подобие треугольников $FEA$ и $FDE$.** Рассмотрим треугольники $FEA$ и $FDE$. У них общий угол при вершине $F$: \[\angle EFA=\angle DFE\] (это один и тот же угол, так как точки $A$, $D$, $F$ лежат на одной прямой, а вершина $E$ общая). Кроме того, по шагу 2 \[\angle FEA=\angle FDE\quad(=\angle EDA).\] По двум равным углам треугольники подобны: \[\triangle FEA\sim\triangle FDE.\] В этом подобии вершине $E$ первого треугольника соответствует вершина $D$ второго, а вершине $A$ — вершина $E$. Записывая отношение сходственных сторон, прилежащих к общему углу $F$: \[\frac{FE}{FD}=\frac{FA}{FE},\] откуда \[FE^{2}=FA\cdot FD.\] Это в точности соотношение «квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть» (степень точки $F$ относительно окружности): касательный отрезок $FE$ и секущая, проходящая через $F$ (на которой при необходимости лежат точки пересечения окружности с прямой $AD$), связаны равенством $FE^2=FA\cdot FD$. **Шаг 4. Подстановка длин.** По условию $FA=AF=a$, а по доказанному выше $FD=a-b$. Следовательно, \[FE^{2}=a\,(a-b),\qquad FE=\sqrt{a(a-b)}.\] Корень имеет смысл, так как $a>b$ (из порядка точек $A,D,F$), значит $a-b>0$ и подкоренное выражение положительно. **Ответ:** $\;EF=\sqrt{a(a-b)}.$5f:T10e7,Введём прямоугольную систему координат, связанную с кубом. Положим \[A=(0,0,0),\quad B=(1,0,0),\quad C=(1,1,0),\quad D=(0,1,0),\] \[A_1=(0,0,1),\quad B_1=(1,0,1),\quad C_1=(1,1,1),\quad D_1=(0,1,1).\] **Геометрия трёх рёбер.** Заметим, что все три ребра, которых касается сфера, выходят из одной вершины $D=(0,1,0)$ и попарно перпендикулярны (это три ребра куба при вершине $D$): \[AD:\ (0,t,0),\ t\in[0,1]\quad(\text{вдоль оси }Oy),\] \[CD:\ (s,1,0),\ s\in[0,1]\quad(\text{вдоль оси }Ox),\] \[DD_1:\ (0,1,u),\ u\in[0,1]\quad(\text{вдоль оси }Oz).\] Пусть центр сферы $P=(x_0,y_0,z_0)$, радиус $R$. Касание прямой означает равенство расстояния от центра до прямой радиусу. Расстояния от точки $P$ до этих трёх прямых вычисляются как длины проекций на плоскости, ортогональные направлениям рёбер: \[\rho(P,AD)^2=x_0^2+z_0^2,\qquad \rho(P,CD)^2=(y_0-1)^2+z_0^2,\qquad \rho(P,DD_1)^2=x_0^2+(y_0-1)^2.\] Приравнивая все три к $R^2$: \[x_0^2+z_0^2=(y_0-1)^2+z_0^2=x_0^2+(y_0-1)^2=R^2.\] Из первых двух равенств $x_0^2=(y_0-1)^2$, из второго и третьего $z_0^2=x_0^2$. Значит $x_0^2=(y_0-1)^2=z_0^2$, и из суммы любых двух \[x_0^2+z_0^2=R^2\ \Rightarrow\ 2x_0^2=R^2\ \Rightarrow\ |x_0|=|y_0-1|=|z_0|=\dfrac{R}{\sqrt2}.\] Центр сферы, касающейся рёбер куба, должен лежать со стороны внутренности куба относительно вершины $D$: от $D=(0,1,0)$ внутрь — это сторона $x>0$ (к $C$), $y<1$ (к $A$), $z>0$ (к $D_1$). Поэтому берём \[x_0=\frac{R}{\sqrt2},\qquad y_0=1-\frac{R}{\sqrt2},\qquad z_0=\frac{R}{\sqrt2},\] то есть \[P=\left(\frac{R}{\sqrt2},\ 1-\frac{R}{\sqrt2},\ \frac{R}{\sqrt2}\right).\] **Условие касания прямой $BC_1$.** Прямая $BC_1$ проходит через $B=(1,0,0)$ с направляющим вектором $\vec d=C_1-B=(0,1,1)$, $|\vec d|^2=2$. Расстояние от $P$ до этой прямой: \[\rho(P,BC_1)=\frac{\bigl|\,(P-B)\times\vec d\,\bigr|}{|\vec d|}.\] Положим $t=\dfrac{R}{\sqrt2}$, тогда $P-B=(t-1,\ 1-t,\ t)$. Вычисляя векторное произведение с $\vec d=(0,1,1)$ и квадрат длины с делением на $|\vec d|^2=2$, получаем \[\rho(P,BC_1)^2=\frac{3R^2}{2}-2\sqrt2\,R+\frac{3}{2}.\] Приравнивая к $R^2$ (касание): \[\frac{3R^2}{2}-2\sqrt2\,R+\frac{3}{2}=R^2\ \Longleftrightarrow\ \frac{R^2}{2}-2\sqrt2\,R+\frac{3}{2}=0\ \Longleftrightarrow\ R^2-4\sqrt2\,R+3=0.\] Отсюда \[R=\frac{4\sqrt2\pm\sqrt{32-12}}{2}=2\sqrt2\pm\sqrt5.\] **Отбор корня.** Корень $R=2\sqrt2+\sqrt5\approx5{,}06$ даёт центр $P\approx(3{,}58;\,-2{,}58;\,3{,}58)$ — далеко вне куба; точки касания на рёбрах при этом выходят за пределы отрезков $AD,CD,DD_1$ (соответствующие параметры равны $-2{,}58$ и $3{,}58$, не лежат в $[0,1]$), так что сфера не касается самих рёбер. Этот корень отбрасываем. Корень $R=2\sqrt2-\sqrt5\approx0{,}592$ даёт центр \[P\approx(0{,}419;\,0{,}581;\,0{,}419),\] лежащий внутри куба; точки касания приходятся на сами рёбра: на $AD$ при $y=0{,}581\in[0,1]$, на $CD$ при $x=0{,}419\in[0,1]$, на $DD_1$ при $z=0{,}419\in[0,1]$, а на прямой $BC_1$ — при $\lambda=\tfrac12$, то есть в середине отрезка $BC_1$. Все условия касания выполнены, корень допустим. Итого радиус сферы равен \[\boxed{R=2\sqrt2-\sqrt5}.\]60:T13e4,Решаем уравнение (параметр в источнике назван $c$, но фактически это $a$ — опечатка) \[ 2x^2+2ax-a^2=\sqrt{4x+2a+3a^2}. \] **Сведение к двум квадратным уравнениям.** Обозначим левую часть $L=2x^2+2ax-a^2$ и подкоренное выражение $R=4x+2a+3a^2$. Поскольку справа стоит арифметический корень, исходное уравнение равносильно системе \[ \begin{cases} L\geqslant 0,\\ L^2=R. \end{cases} \] (Условие $R\geqslant 0$ при $L^2=R$ выполнено автоматически, так как $R=L^2\geqslant 0$.) Раскроем $L^2-R$ и разложим на множители (проверено символьно): \[ L^2-R=\bigl(2x^2+2ax-a^2-2x-a\bigr)\bigl(2x^2+2ax-a^2+2x+a+2\bigr). \] Поэтому равенство $L^2=R$ означает, что обращается в нуль хотя бы один из двух множителей: \[ (\mathrm{F}_1):\quad 2x^2+2ax-a^2=2x+a,\qquad (\mathrm{F}_2):\quad 2x^2+2ax-a^2=-(2x+a+2). \] Эти записи удобны тем, что они сразу дают значение левой части $L$: на корнях $(\mathrm{F}_1)$ имеем $L=2x+a$, а на корнях $(\mathrm{F}_2)$ имеем $L=-(2x+a+2)$. Условие отбора $L\geqslant 0$ превращается, следовательно, в \[ (\mathrm{F}_1):\ 2x+a\geqslant 0,\qquad (\mathrm{F}_2):\ 2x+a\leqslant -2. \] **Анализ уравнения $(\mathrm{F}_1)$.** Приведём к виду $2x^2+(2a-2)x-(a^2+a)=0$. Его дискриминант \[ D_1=(2a-2)^2+8(a^2+a)=12a^2+4=4(3a^2+1)>0 \] положителен при всех $a$, так что всегда есть два корня \[ x=\frac{1-a\pm\sqrt{1+3a^2}}{2}. \] Для каждого из них вычислим $2x+a$: \[ 2x+a=1\pm\sqrt{1+3a^2}. \] Для корня со знаком «$+$» получаем $2x+a=1+\sqrt{1+3a^2}>0$ — условие $2x+a\geqslant0$ выполнено всегда, значит корень \[ \boxed{\,x=\dfrac{1-a+\sqrt{1+3a^2}}{2}\,} \] является решением при любом $a$. Для корня со знаком «$-$» имеем $2x+a=1-\sqrt{1+3a^2}$. Он неотрицателен лишь при $\sqrt{1+3a^2}\leqslant 1$, то есть при $1+3a^2\leqslant 1$, что даёт единственное $a=0$. Итак, корень $x=\dfrac{1-a-\sqrt{1+3a^2}}{2}$ проходит отбор только при $a=0$ (при $a=0$ он равен $0$, а первый корень равен $1$). **Анализ уравнения $(\mathrm{F}_2)$.** Приведём к виду $2x^2+(2a+2)x+(-a^2+a+2)=0$. Его дискриминант \[ D_2=(2a+2)^2-8(-a^2+a+2)=12a^2-12=12(a-1)(a+1), \] поэтому вещественные корни есть лишь при $a^2\geqslant 1$; тогда \[ x=\frac{-1-a\pm\sqrt{3a^2-3}}{2},\qquad 2x+a=-1\pm\sqrt{3a^2-3}. \] Условие отбора $2x+a\leqslant -2$ даёт: - для знака «$+$»: $-1+\sqrt{3a^2-3}\leqslant -2\Leftrightarrow \sqrt{3a^2-3}\leqslant -1$ — невозможно, корень отбрасывается всегда; - для знака «$-$»: $-1-\sqrt{3a^2-3}\leqslant -2\Leftrightarrow \sqrt{3a^2-3}\geqslant 1\Leftrightarrow 3a^2-3\geqslant 1\Leftrightarrow a^2\geqslant \dfrac43\Leftrightarrow |a|\geqslant \dfrac{2}{\sqrt3}.$ Так как $\dfrac{2}{\sqrt3}>1$, условие существования вещественного корня ($|a|\geqslant1$) автоматически слабее. Значит, второй корень \[ \boxed{\,x=\dfrac{-1-a-\sqrt{3a^2-3}}{2}\,} \] является решением в точности при $|a|\geqslant \dfrac{2}{\sqrt3}$. На границе $|a|=\dfrac{2}{\sqrt3}$ тогда $\sqrt{3a^2-3}=1$, значение $2x+a=-2$ удовлетворяет нестрогому условию, поэтому концы включаются (закрытые скобки). **Сводка по случаям.** | значения $a$ | решения | | --- | --- | | $a=0$ | $x=0,\ x=1$ | | $a\in\left(-\tfrac{2}{\sqrt3};0\right)\cup\left(0;\tfrac{2}{\sqrt3}\right)$ | $x=\dfrac{1-a+\sqrt{1+3a^2}}{2}$ | | $a\in\left(-\infty;-\tfrac{2}{\sqrt3}\right]\cup\left[\tfrac{2}{\sqrt3};+\infty\right)$ | $x=\dfrac{1-a+\sqrt{1+3a^2}}{2},\quad x=\dfrac{-1-a-\sqrt{3a^2-3}}{2}$ | При $a=0$ первый случай вырождается: оба корня уравнения $(\mathrm{F}_1)$ проходят отбор, и решениями являются $x=0$ и $x=1$ (это согласуется с предельным переходом первой строки таблицы при $a\to 0$: $\dfrac{1+1}{2}=1$, плюс «вернувшийся» корень $0$).41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 1994\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — июль 1994\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-1994-07\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-09T22:30:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 1994\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — июль 1994-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — июль 1994"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-1994-07","serverCollection":{"id":"8abda0e5-5de6-4557-ac7d-1ac6b2f92c99","name":"Мехмат МГУ — июль 1994","code":"mehmat-1994-07","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"07","session_label":"Механико-математический факультет МГУ, письменный экзамен, 1994 год (июль)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm1994-07.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":1994},"created_at":"2026-06-09T22:30:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"9a66ac93-2617-4279-930d-52aed6f4fb4b","collection_id":"8abda0e5-5de6-4557-ac7d-1ac6b2f92c99","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"9a66ac93-2617-4279-930d-52aed6f4fb4b","short_id":18077,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решить уравнение\n\\[\\frac{4\\sin x-2\\cos 2x-1}{\\cos 2x+\\sqrt{3}\\cos x-2}=0.\\]","answer_text":"\$\\frac{5}{6}\\pi+2\\pi k,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$\\frac{5}{6}\\pi+2\\pi k,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"07","variant_key":"mm1994-07","year":1994},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"2a6876b0-df38-4bc8-89a9-d986e627b92a","code":"tag-38","name":"Основное тригонометрическое тождество и его следствия"},{"id":"562d9797-2caf-4ba7-9fa3-a4c33d8cc0a6","code":"tag-80","name":"Область определения уравнения"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9f2c32f9-1c81-45d4-bfd9-70a4620bebf8","code":"tag-142","name":"Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители"}]}},{"problem_id":"cfc922e2-2583-463c-b780-d48aa9e3261b","collection_id":"8abda0e5-5de6-4557-ac7d-1ac6b2f92c99","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"cfc922e2-2583-463c-b780-d48aa9e3261b","short_id":18078,"task_number":17,"topic_id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решить систему уравнений\n\\[\\begin{cases}2^x+2y=1,\\\\ 3y-6y^2=2^{x-1}.\\end{cases}\\]","answer_text":"\$\\left(\\log_2\\frac{2}{3};\\ \\frac{1}{6}\\right)\$","answer":"\$\\left(\\log_2\\frac{2}{3};\\ \\frac{1}{6}\\right)\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"07","variant_key":"mm1994-07","year":1994},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","name":"Системы уравнений","description":null},"tags":[{"id":"164a5062-f1e8-49cd-ad14-ee6f3e291522","code":"tag-23","name":"Уравнения рациональные относительно показательных функций"},{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"},{"id":"e007efe4-fb15-42f2-b085-578c49c5651c","code":"tag-214","name":"Показательные уравнения"}]}},{"problem_id":"72954c61-071d-4b24-85f2-bc6f497ca226","collection_id":"8abda0e5-5de6-4557-ac7d-1ac6b2f92c99","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"72954c61-071d-4b24-85f2-bc6f497ca226","short_id":18079,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\log_{(2-5x)}3+\\frac{1}{\\log_2(2-5x)}\\leqslant\\frac{1}{\\log_6(6x^2-6x+1)}.\\]","answer_text":"\$\\left[-\\frac{1}{3};\\,0\\right)\\cup\\left(\\frac{1}{5};\\,\\frac{1}{2}-\\frac{\\sqrt{3}}{6}\\right)\$","answer":"\$\\left[-\\frac{1}{3};\\,0\\right)\\cup\\left(\\frac{1}{5};\\,\\frac{1}{2}-\\frac{\\sqrt{3}}{6}\\right)\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"07","variant_key":"mm1994-07","year":1994},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"a13da04a-1585-4241-aa6f-14021c064334","code":"tag-145","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"20af93d3-be1a-4e60-8dc5-d371cb0e06a2","collection_id":"8abda0e5-5de6-4557-ac7d-1ac6b2f92c99","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"20af93d3-be1a-4e60-8dc5-d371cb0e06a2","short_id":18080,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"В трапеции \$ABCD\$ с основаниями \$AD\$ и \$BC\$ диагонали \$AC\$ и \$BD\$ пересекаются в точке \$E\$. Вокруг треугольника \$ECB\$ описана окружность, а касательная к этой окружности, проведённая в точке \$E\$, пересекает прямую \$AD\$ в точке \$F\$ таким образом, что точки \$A\$, \$D\$ и \$S\$ лежат последовательно на этой прямой. Известно, что \$AF=a\$, \$AD=b\$. Найти \$EF\$.","answer_text":"\$\\sqrt{a(a-b)}\$","answer":"\$\\sqrt{a(a-b)}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"07","variant_key":"mm1994-07","year":1994},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"9cea34fa-faa0-4a81-91ea-1e59dbb45b17","code":"tag-138","name":"Окружности"},{"id":"a1e9cba9-7ee1-4f19-a92d-5b6033d1395a","code":"tag-146","name":"Трапеция"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"},{"id":"d3b75ad2-c6a5-4ba6-85c8-0cbefe7f8516","code":"tag-199","name":"Окружность, описанная вокруг треугольника"}]}},{"problem_id":"756d8bf7-29e9-4dec-87b1-58c97cfb7b2a","collection_id":"8abda0e5-5de6-4557-ac7d-1ac6b2f92c99","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"756d8bf7-29e9-4dec-87b1-58c97cfb7b2a","short_id":18081,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Дан куб \$ABCDA_1B_1C_1D_1\$. Сфера касается рёбер \$AD\$, \$DD_1\$, \$CD\$ и прямой \$BC_1\$. Найти радиус сферы, если длины рёбер куба равны 1.","answer_text":"\$2\\sqrt{2}-\\sqrt{5}\$","answer":"\$2\\sqrt{2}-\\sqrt{5}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"07","variant_key":"mm1994-07","year":1994},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"a10bcfea-9448-4bdb-b69b-2dc377bcf4de","code":"tag-144","name":"Куб"},{"id":"b08fa4e2-4af6-40f5-ad34-408bf3068be7","code":"tag-165","name":"Шар"},{"id":"d32e29f3-03cd-4611-a30a-5cd040c54cdd","code":"tag-198","name":"Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве"},{"id":"efe23998-8e8a-4d60-ace9-a559b7ded5cb","code":"tag-229","name":"Вписанный шар"}]}},{"problem_id":"6f2ca1c6-d4f1-43eb-970e-8c1ff546f150","collection_id":"8abda0e5-5de6-4557-ac7d-1ac6b2f92c99","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"6f2ca1c6-d4f1-43eb-970e-8c1ff546f150","short_id":18082,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"При всех значениях параметра \$c\$ решить уравнение\n\\[2x^2+2ax-a^2=\\sqrt{4x+2a+3a^2}.\\]","answer_text":"\$0;\\ 1\\ \\text{при}\\ a=0;\\quad \\frac{1-a+\\sqrt{1+3a^2}}{2}\\ \\text{при}\\ a\\in\\left(-\\frac{2}{\\sqrt{3}};0\\right)\\cup\\left(0;\\frac{2}{\\sqrt{3}}\\right);\\quad \\frac{1-a+\\sqrt{1+3a^2}}{2},\\ \\frac{-1-a-\\sqrt{3a^2-3}}{2}\\ \\text{при}\\ a\\in\\left(-\\infty;-\\frac{2}{\\sqrt{3}}\\right]\\cup\\left[\\frac{2}{\\sqrt{3}};+\\infty\\right)\$","answer":"\$0;\\ 1\\ \\text{при}\\ a=0;\\quad \\frac{1-a+\\sqrt{1+3a^2}}{2}\\ \\text{при}\\ a\\in\\left(-\\frac{2}{\\sqrt{3}};0\\right)\\cup\\left(0;\\frac{2}{\\sqrt{3}}\\right);\\quad \\frac{1-a+\\sqrt{1+3a^2}}{2},\\ \\frac{-1-a-\\sqrt{3a^2-3}}{2}\\ \\text{при}\\ a\\in\\left(-\\infty;-\\frac{2}{\\sqrt{3}}\\right]\\cup\\left[\\frac{2}{\\sqrt{3}};+\\infty\\right)\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"07","variant_key":"mm1994-07","year":1994},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"},{"id":"aa6e8219-4309-468c-bb4a-3b6f64ef9c5e","code":"tag-157","name":"Системы с параметром"},{"id":"dd1b76a0-263b-443b-abbd-179a85c1de5b","code":"tag-213","name":"Иррациональные уравнения"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]