При всех значениях параметра c решить уравнение 2x^2+2ax-a^2=sqrt(4x+2a+3a^2).

Решаем уравнение (параметр в источнике назван c, но фактически это a — опечатка) 2x^2+2ax-a^2=sqrt(4x+2a+3a^2). **Сведение к двум квадратным уравнениям.** Обозначим левую часть L=2x^2+2ax-a^2 и подкоренное выражение R=4x+2a+3a^2. Поскольку справа стоит арифметический корень, исходное уравнение равносильно системе cases L 0, L^2=R. cases (Условие R 0 при L^2=R выполнено автоматически, так как R=L^2 0.) Раскроем L^2-R и разложим на множители (проверено символьно): L^2-R=(2x^2+2ax-a^2-2x-a)(2x^2+2ax-a^2+2x+a+2). Поэтому равенство L^2=R означает, что обращается в нуль хотя бы один из двух множителей: (F_1): 2x^2+2ax-a^2=2x+a, (F_2): 2x^2+2ax-a^2=-(2x+a+2). Эти записи удобны тем, что они сразу дают значение левой части L: на корнях (F_1) имеем L=2x+a, а на корнях (F_2) имеем L=-(2x+a+2). Условие отбора L 0 превращается, следовательно, в (F_1): 2x+a 0, (F_2): 2x+a -2. **Анализ уравнения (F_1).** Приведём к виду 2x^2+(2a-2)x-(a^2+a)=0. Его дискриминант D_1=(2a-2)^2+8(a^2+a)=12a^2+4=4(3a^2+1)>0 положителен при всех a, так что всегда есть два корня x=(1-a+-sqrt(1+3a^2))/(2). Для каждого из них вычислим 2x+a: 2x+a=1+-sqrt(1+3a^2). Для корня со знаком «+» получаем 2x+a=1+sqrt(1+3a^2)>0 — условие 2x+a0 выполнено всегда, значит корень x=(1-a+sqrt(1+3a^2))/(2) является решением при любом a. Для корня со знаком «-» имеем 2x+a=1-sqrt(1+3a^2). Он неотрицателен лишь при sqrt(1+3a^2) 1, то есть при 1+3a^2 1, что даёт единственное a=0. Итак, корень x=(1-a-sqrt(1+3a^2))/(2) проходит отбор только при a=0 (при a=0 он равен 0, а первый корень равен 1). **Анализ уравнения (F_2).** Приведём к виду 2x^2+(2a+2)x+(-a^2+a+2)=0. Его дискриминант D_2=(2a+2)^2-8(-a^2+a+2)=12a^2-12=12(a-1)(a+1), поэтому вещественные корни есть лишь при a^2 1; тогда x=(-1-a+-sqrt(3a^2-3))/(2), 2x+a=-1+-sqrt(3a^2-3). Условие отбора 2x+a -2 даёт: - для знака «+»: -1+sqrt(3a^2-3) -2<=> sqrt(3a^2-3) -1 — невозможно, корень отбрасывается всегда; - для знака «-»: -1-sqrt(3a^2-3) -2<=> sqrt(3a^2-3) 1<=> 3a^2-3 1<=> a^2 43<=> |a| (2)/(3). Так как (2)/(3)>1, условие существования вещественного корня (|a|1) автоматически слабее. Значит, второй корень x=(-1-a-sqrt(3a^2-3))/(2) является решением в точности при |a| (2)/(3). На границе |a|=(2)/(3) тогда sqrt(3a^2-3)=1, значение 2x+a=-2 удовлетворяет нестрогому условию, поэтому концы включаются (закрытые скобки). **Сводка по случаям.** | значения a | решения | | --- | --- | | a=0 | x=0, x=1 | | ain(-(2)/(3);0)U(0;(2)/(3)) | x=(1-a+sqrt(1+3a^2))/(2) | | ain(-inf;-(2)/(3)]U[(2)/(3);+inf) | x=(1-a+sqrt(1+3a^2))/(2), x=(-1-a-sqrt(3a^2-3))/(2) | При a=0 первый случай вырождается: оба корня уравнения (F_1) проходят отбор, и решениями являются x=0 и x=1 (это согласуется с предельным переходом первой строки таблицы при a 0: (1+1)/(2)=1, плюс «вернувшийся» корень 0).