Задача №18082

При всех значениях параметра $c$ решить уравнение

$$2x^2+2ax-a^2=\sqrt{4x+2a+3a^2}.$$

Решаем уравнение (параметр в источнике назван $c\text{,}$ но фактически это $a$ — опечатка)

$$2x^2+2ax-a^2=\sqrt{4x+2a+3a^2}.$$

Сведение к двум квадратным уравнениям.
Обозначим левую часть $L=2x^2+2ax-a^2$ и подкоренное выражение $R=4x+2a+3a^2\text{.}$ Поскольку справа стоит арифметический корень, исходное уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}L⩾0,\\ L^2=R.\end{array}$$

(Условие $R⩾0$ при $L^2=R$ выполнено автоматически, так как $R=L^2⩾0\text{.}$)

Раскроем $L^2-R$ и разложим на множители (проверено символьно):

$$L^2-R=(2x^2+2ax-a^2-2x-a)(2x^2+2ax-a^2+2x+a+2).$$

Поэтому равенство $L^2=R$ означает, что обращается в нуль хотя бы один из двух множителей:

$$({\mathrm{F}}_1):2x^2+2ax-a^2=2x+a,({\mathrm{F}}_2):2x^2+2ax-a^2=-(2x+a+2).$$

Эти записи удобны тем, что они сразу дают значение левой части $L\text{:}$ на корнях $({\mathrm{F}}_1)$ имеем $L=2x+a\text{,}$ а на корнях $({\mathrm{F}}_2)$ имеем $L=-(2x+a+2)\text{.}$ Условие отбора $L⩾0$ превращается, следовательно, в

$$({\mathrm{F}}_1):2x+a⩾0,({\mathrm{F}}_2):2x+a⩽-2.$$

Анализ уравнения $({\mathrm{F}}_1)\text{.}$
Приведём к виду $2x^2+(2a-2)x-(a^2+a)=0\text{.}$ Его дискриминант

$$D_1=(2a-2{)}^2+8(a^2+a)=12a^2+4=4(3a^2+1)>0$$

положителен при всех $a\text{,}$ так что всегда есть два корня

$$x=\frac{1-a\pm \sqrt{1+3a^2}}{2}.$$

Для каждого из них вычислим $2x+a\text{:}$

$$2x+a=1\pm \sqrt{1+3a^2}.$$

Для корня со знаком «$+$» получаем $2x+a=1+\sqrt{1+3a^2}>0$ — условие $2x+a⩾0$ выполнено всегда, значит корень

$$\boxed{x=\frac{1-a+\sqrt{1+3a^2}}{2}}$$

является решением при любом $a\text{.}$
Для корня со знаком «$-$» имеем $2x+a=1-\sqrt{1+3a^2}\text{.}$ Он неотрицателен лишь при $\sqrt{1+3a^2}⩽1\text{,}$ то есть при $1+3a^2⩽1\text{,}$ что даёт единственное $a=0\text{.}$ Итак, корень $x=\frac{1-a-\sqrt{1+3a^2}}{2}$ проходит отбор только при $a=0$ (при $a=0$ он равен $0\text{,}$ а первый корень равен $1$).

Анализ уравнения $({\mathrm{F}}_2)\text{.}$
Приведём к виду $2x^2+(2a+2)x+(-a^2+a+2)=0\text{.}$ Его дискриминант

$$D_2=(2a+2{)}^2-8(-a^2+a+2)=12a^2-12=12(a-1)(a+1),$$

поэтому вещественные корни есть лишь при $a^2⩾1\text{;}$ тогда

$$x=\frac{-1-a\pm \sqrt{3a^2-3}}{2},2x+a=-1\pm \sqrt{3a^2-3}.$$

Условие отбора $2x+a⩽-2$ даёт:

• для знака «$+$»: $-1+\sqrt{3a^2-3}⩽-2\iff \sqrt{3a^2-3}⩽-1$ — невозможно, корень отбрасывается всегда;
• для знака «$-$»: $-1-\sqrt{3a^2-3}⩽-2\iff \sqrt{3a^2-3}⩾1\iff 3a^2-3⩾1\iff a^2⩾\frac{4}{3}\iff |a|⩾\frac{2}{\sqrt{3}}.$

Так как $\frac{2}{\sqrt{3}}>1\text{,}$ условие существования вещественного корня ($|a|⩾1$) автоматически слабее. Значит, второй корень

$$\boxed{x=\frac{-1-a-\sqrt{3a^2-3}}{2}}$$

является решением в точности при $|a|⩾\frac{2}{\sqrt{3}}\text{.}$ На границе $|a|=\frac{2}{\sqrt{3}}$ тогда $\sqrt{3a^2-3}=1\text{,}$ значение $2x+a=-2$ удовлетворяет нестрогому условию, поэтому концы включаются (закрытые скобки).

Сводка по случаям.

При $a=0$ первый случай вырождается: оба корня уравнения $({\mathrm{F}}_1)$ проходят отбор, и решениями являются $x=0$ и $x=1$ (это согласуется с предельным переходом первой строки таблицы при $a\to 0\text{:}$ $\frac{1+1}{2}=1\text{,}$ плюс «вернувшийся» корень $0$).