Задача №18078

Решить систему уравнений

$$\{\begin{array}{l}{2}^x+2y=1,\\ 3y-6y^2=2^{x-1}.\end{array}$$

Требуется решить систему

$$\{\begin{array}{l}{2}^x+2y=1,\\ 3y-6y^2=2^{x-1}.\end{array}$$

Замена. Обозначим $t=2^x\text{.}$ Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, имеем строгое ограничение $t>0$ (это ключ к последующему отбору). Кроме того, $2^{x-1}=\frac{2^x}{2}=\frac{t}{2}\text{.}$ Система переписывается так:

$$\{\begin{array}{l}t+2y=1,\\ 3y-6y^2=\frac{t}{2}.\end{array}$$

Исключение $t\text{.}$ Из первого уравнения выражаем $t=1-2y$ и подставляем во второе:

$$3y-6y^2=\frac{1-2y}{2}.$$

Умножим обе части на $2\text{:}$

$$6y-12y^2=1-2y,$$ $$12y^2-8y+1=0.$$

Решение квадратного уравнения. Дискриминант

$$D=(-8{)}^2-4\cdot 12\cdot 1=64-48=16>0,\sqrt{D}=4,$$

поэтому

$$y=\frac{8\pm 4}{24},y_1=\frac{12}{24}=\frac{1}{2},y_2=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}.$$

Отбор по условию $t>0\text{.}$ Для каждого корня находим $t=1-2y$ и проверяем положительность.

Корень $y=\frac{1}{2}$ даёт $t=0\text{,}$ а равенство $2^x=0$ невозможно ни при каком $x\text{,}$ поэтому этот случай отбрасывается. Остаётся $y=\frac{1}{6}\text{,}$ для которого $t=\frac{2}{3}\text{.}$

Нахождение $x\text{.}$ Из $2^x=\frac{2}{3}$ логарифмированием по основанию $2$ получаем

$$x={\log }_2\frac{2}{3}(=1-{\log }_{2}3).$$

Проверка. Подставим $x={\log }_2\frac{2}{3}$ (то есть $2^x=\frac{2}{3}$) и $y=\frac{1}{6}$ в исходную систему:

$$2^x+2y=\frac{2}{3}+2\cdot \frac{1}{6}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1(\text{верно});$$ $$3y-6y^2=3\cdot \frac{1}{6}-6\cdot \frac{1}{36}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3},2^{x-1}=\frac{2^x}{2}=\frac{2/3}{2}=\frac{1}{3}(\text{верно}).$$

Оба уравнения обращаются в тождества.

Ответ: $\left({\log }_2\frac{2}{3};\frac{1}{6}\right)\text{.}$