Решить систему уравнений cases2^x+2y=1, 3y-6y^2=2^(x-1).cases

Требуется решить систему cases2^x+2y=1, 3y-6y^2=2^(x-1).cases **Замена.** Обозначим t=2^x . Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, имеем строгое ограничение t>0 (это ключ к последующему отбору). Кроме того, 2^(x-1)=(2^x)/(2)=(t)/(2) . Система переписывается так: casest+2y=1, 3y-6y^2=(t)/(2).cases **Исключение t .** Из первого уравнения выражаем t=1-2y и подставляем во второе: 3y-6y^2=(1-2y)/(2). Умножим обе части на 2: 6y-12y^2=1-2y, 12y^2-8y+1=0. **Решение квадратного уравнения.** Дискриминант D=(-8)^2-4* 12* 1=64-48=16>0, sqrt(D)=4, поэтому y=(8+- 4)/(24), y_1=(12)/(24)=(1)/(2), y_2=(4)/(24)=(1)/(6). **Отбор по условию t>0 .** Для каждого корня находим t=1-2y и проверяем положительность. | y | t=1-2y | t>0 ? | вывод | |---|---|---|---| | 12 | 1-1=0 | нет | посторонний: уравнение 2^x=0 не имеет решений | | 16 | 1-13=23 | да | годится | Корень y=12 даёт t=0 , а равенство 2^x=0 невозможно ни при каком x , поэтому этот случай отбрасывается. Остаётся y=16 , для которого t=23 . **Нахождение x .** Из 2^x=23 логарифмированием по основанию 2 получаем x=_2(2)/(3) (=1-_2 3). **Проверка.** Подставим x=_223 (то есть 2^x=23 ) и y=16 в исходную систему: 2^x+2y=(2)/(3)+2*(1)/(6)=(2)/(3)+(1)/(3)=1 (верно); 3y-6y^2=3*(1)/(6)-6*(1)/(36)=(1)/(2)-(1)/(6)=(1)/(3), 2^(x-1)=(2^x)/(2)=(2/3)/(2)=(1)/(3) (верно). Оба уравнения обращаются в тождества. **Ответ:** (_2(2)/(3); (1)/(6)) .

\(\left(\log_2\frac{2}{3};\ \frac{1}{6}\right)\)