Решить уравнение (4sin x-2cos 2x-1)/(cos 2x+sqrt(3)cos x-2)=0.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому решаем систему: числитель =0 при условии, что знаменатель != 0. **Числитель.** Воспользуемся формулой cos 2x=1-2sin^2 x: 4sin x-2cos 2x-1=4sin x-2(1-2sin^2 x)-1=4sin^2 x+4sin x-3. Обозначим s=sin x. Получаем квадратное уравнение 4s^2+4s-3=0, s=(-4+-sqrt(16+48))/(8)=(-4+- 8)/(8), откуда s=12 или s=-32. Значение s=-32 невозможно, так как |sin x|<= 1. Остаётся sin x=12 x=(pi)/(6)+2pi k или x=(5pi)/(6)+2pi k, kinZ. **Знаменатель (ОДЗ).** Найдём, где знаменатель обращается в нуль, чтобы исключить такие x. Применим cos 2x=2cos^2 x-1: cos 2x+3cos x-2=2cos^2 x-1+3cos x-2=2cos^2 x+3cos x-3. Обозначим c=cos x: 2c^2+3c-3=0, c=(-3+-sqrt(3+24))/(4)=(-3+- 33)/(4), то есть c=(3)/(2) или c=-3. Значение c=-3 невозможно (|cos x|<= 1). Значит знаменатель равен нулю в точности при cos x=(3)/(2) x=+-(pi)/(6)+2pi k. Эти значения должны быть исключены из ОДЗ. **Отбор корней.** Сравним найденные корни числителя с запретными значениями знаменателя. | Серия числителя | cos x | Знаменатель 2cos^2 x+3cos x-3 | Вывод | |---|---|---|---| | x=(pi)/(6)+2pi k | (3)/(2) | 2*34+3*(3)/(2)-3=32+32-3=0 | посторонний (знаменатель =0) | | x=(5pi)/(6)+2pi k | -(3)/(2) | 2*34-3*(3)/(2)-3=32-32-3=-3!= 0 | подходит | Серия x=(pi)/(6)+2pi k совпадает с нулями знаменателя, поэтому в этих точках исходная дробь не определена — корни посторонние. Серия x=(5pi)/(6)+2pi k даёт знаменатель -30, и числитель в ней равен нулю, так что эти значения являются решениями. **Ответ:** x=(5pi)/(6)+2pi k, kinZ.

\(\frac{5}{6}\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\)