Задача №18077

Решить уравнение

$$\frac{4\sin x-2\cos 2x-1}{\cos 2x+\sqrt{3}\cos x-2}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому решаем систему: числитель $=0$ при условии, что знаменатель $\ne 0\text{.}$

Числитель. Воспользуемся формулой $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x\text{:}$

$$4\sin x-2\cos 2x-1=4\sin x-2(1-2{\sin }^{2}x)-1=4{\sin }^{2}x+4\sin x-3.$$

Обозначим $s=\sin x\text{.}$ Получаем квадратное уравнение

$$4s^2+4s-3=0,s=\frac{-4\pm \sqrt{16+48}}{8}=\frac{-4\pm 8}{8},$$

откуда $s=\frac{1}{2}$ или $s=-\frac{3}{2}\text{.}$ Значение $s=-\frac{3}{2}$ невозможно, так как $|\sin x|\le 1\text{.}$ Остаётся

$$\sin x=\frac{1}{2}⟹x=\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{или}x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Знаменатель (ОДЗ). Найдём, где знаменатель обращается в нуль, чтобы исключить такие $x\text{.}$ Применим $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1\text{:}$

$$\cos 2x+\sqrt{3}\cos x-2=2{\cos }^{2}x-1+\sqrt{3}\cos x-2=2{\cos }^{2}x+\sqrt{3}\cos x-3.$$

Обозначим $c=\cos x\text{:}$

$$2c^2+\sqrt{3}c-3=0,c=\frac{-\sqrt{3}\pm \sqrt{3+24}}{4}=\frac{-\sqrt{3}\pm 3\sqrt{3}}{4},$$

то есть $c=\frac{\sqrt{3}}{2}$ или $c=-\sqrt{3}\text{.}$ Значение $c=-\sqrt{3}$ невозможно ($|\cos x|\le 1$). Значит знаменатель равен нулю в точности при

$$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}⟺x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k.$$

Эти значения должны быть исключены из ОДЗ.

Отбор корней. Сравним найденные корни числителя с запретными значениями знаменателя.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ совпадает с нулями знаменателя, поэтому в этих точках исходная дробь не определена — корни посторонние. Серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ даёт знаменатель $-3\ne 0\text{,}$ и числитель в ней равен нулю, так что эти значения являются решениями.

Ответ:

$$\boxed{x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.}$$