Задача №18079

Решить неравенство

$${\log }_{(2-5x)}3+\frac{1}{{\log }_2(2-5x)}⩽\frac{1}{{\log }_6(6x^2-6x+1)}.$$

Введём обозначения $t=2-5x$ и $q=6x^2-6x+1\text{.}$ Тогда неравенство имеет вид

$${\log }_{t}3+\frac{1}{{\log }_{2}t}⩽\frac{1}{{\log }_{6}q}.$$

Область допустимых значений (ОДЗ). Логарифм ${\log }_{t}3$ и ${\log }_{2}t$ требуют, чтобы основание $t=2-5x$ было положительным и отличным от единицы; кроме того, в знаменателе ${\log }_{2}t$ нужно ${\log }_{2}t\ne 0\text{,}$ что снова даёт $t\ne 1\text{.}$ Логарифм ${\log }_{6}q$ и деление на него требуют $q=6x^2-6x+1>0$ и $q\ne 1\text{.}$ Итак,

$$\{\begin{array}{l}2-5x>0,\\ 2-5x\ne 1,\\ 6x^2-6x+1>0,\\ 6x^2-6x+1\ne 1.\end{array}$$

Разберём условия по отдельности.

• $2-5x>0⟺x<\frac{2}{5}\text{;}$
• $2-5x\ne 1⟺x\ne \frac{1}{5}\text{;}$
• $6x^2-6x+1>0\text{:}$ корни трёхчлена равны $x=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{6}\text{,}$ старший коэффициент положителен, поэтому $q>0$ при $x<\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}$ или $x>\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}\text{;}$
• $6x^2-6x+1\ne 1⟺6x^2-6x\ne 0⟺x\ne 0$ и $x\ne 1\text{.}$

Так как нас интересуют лишь $x<\frac{2}{5}\text{,}$ а $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\approx 0,211<\frac{2}{5}\text{,}$ то на интересующем нас луче условие $q>0$ даёт $x<\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\text{.}$ Объединяя всё, получаем ОДЗ:

$$x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(0;\frac{1}{5}\right)\cup \left(\frac{1}{5};\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\right).$$

Упрощение левой части. Перейдём к натуральным логарифмам. По формуле перехода

$${\log }_{t}3=\frac{\ln 3}{\ln t},\frac{1}{{\log }_{2}t}=\frac{\ln 2}{\ln t}.$$

Поэтому

$${\log }_{t}3+\frac{1}{{\log }_{2}t}=\frac{\ln 3+\ln 2}{\ln t}=\frac{\ln 6}{\ln t}=\frac{1}{{\log }_{6}t}.$$

Аналогично правая часть равна $\frac{1}{{\log }_{6}q}=\frac{\ln 6}{\ln q}\text{.}$ Так как $\ln 6>0\text{,}$ неравенство равносильно (на ОДЗ)

$$\frac{1}{\ln t}⩽\frac{1}{\ln q},\text{где }t=2-5x,q=6x^2-6x+1.$$

Знаки логарифмов. На ОДЗ $x<\frac{2}{5}\text{.}$ Заметим:

$$\ln t>0⟺t>1⟺2-5x>1⟺x<\frac{1}{5},\ln t<0⟺\frac{1}{5}<x<\frac{2}{5};$$ $$\ln q>0⟺q>1⟺6x^2-6x>0⟺x<0(\text{на нашем луче}),\ln q<0⟺0<q<1.$$

Разобьём ОДЗ на три промежутка и в каждом учтём знаки $u=\ln t$ и $v=\ln q\text{.}$

Ключевая разность:

$$t-q=(2-5x)-(6x^2-6x+1)=-6x^2+x+1=-(2x-1)(3x+1),$$

поэтому

$$t⩾q⟺(2x-1)(3x+1)⩽0⟺-\frac{1}{3}⩽x⩽\frac{1}{2}.$$

Промежуток $(-\infty ;0)\text{.}$ Здесь $x<\frac{1}{5}\text{,}$ значит $u=\ln t>0\text{;}$ и $x<0\text{,}$ значит $v=\ln q>0\text{.}$ Оба знаменателя положительны, поэтому

$$\frac{1}{u}⩽\frac{1}{v}⟺v⩽u⟺\ln q⩽\ln t⟺q⩽t⟺-\frac{1}{3}⩽x⩽\frac{1}{2}.$$

Пересекая с $(-\infty ;0)\text{,}$ получаем $\left[-\frac{1}{3};0\right)$ (точка $x=-\frac{1}{3}$ входит: там $t=q=\frac{11}{3}\text{,}$ обе части равны, ОДЗ соблюдено).

Промежуток $\left(0;\frac{1}{5}\right)\text{.}$ Здесь $u=\ln t>0\text{,}$ но $0<q<1\text{,}$ то есть $v=\ln q<0\text{.}$ Тогда $\frac{1}{u}>0>\frac{1}{v}\text{,}$ и неравенство $\frac{1}{u}⩽\frac{1}{v}$ не выполняется ни при каком $x\text{.}$ Решений нет.

Промежуток $\left(\frac{1}{5};\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\right)\text{.}$ Здесь $\frac{1}{5}<x<\frac{2}{5}\text{,}$ поэтому $t<1$ и $u=\ln t<0\text{;}$ одновременно $0<q<1\text{,}$ поэтому $v=\ln q<0\text{.}$ Оба знаменателя отрицательны, их произведение положительно, и при умножении знак неравенства сохраняется:

$$\frac{1}{u}⩽\frac{1}{v}⟺v⩽u⟺q⩽t⟺-\frac{1}{3}⩽x⩽\frac{1}{2}.$$

Весь промежуток $\left(\frac{1}{5};\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$ лежит внутри $\left[-\frac{1}{3};\frac{1}{2}\right]\text{,}$ поэтому подходит целиком.

Проверка краёв. Точка $x=-\frac{1}{3}$ включается (равенство, ОДЗ выполнено). Точка $x=0$ исключается из ОДЗ (там $q=1\text{,}$ правая часть не определена). Точка $x=\frac{1}{5}$ исключается из ОДЗ (там $t=1\text{,}$ левая часть не определена). Точка $x=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}$ исключается из ОДЗ (там $q=0$).

Ответ.

$$\boxed{x\in \left[-\frac{1}{3};0\right)\cup \left(\frac{1}{5};\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\right).}$$