Решить неравенство _((2-5x))3+(1)/(_2(2-5x))(1)/(_6(6x^2-6x+1)).

Введём обозначения t=2-5x и q=6x^2-6x+1 . Тогда неравенство имеет вид _(t)3+(1)/(_2 t)(1)/(_6 q). **Область допустимых значений (ОДЗ).** Логарифм _t 3 и _2 t требуют, чтобы основание t=2-5x было положительным и отличным от единицы; кроме того, в знаменателе _2 t нужно _2 t0 , что снова даёт t1 . Логарифм _6 q и деление на него требуют q=6x^2-6x+1>0 и q1 . Итак, cases2-5x>0, 2-5x1, 6x^2-6x+1>0, 6x^2-6x+11.cases Разберём условия по отдельности. - 2-5x>0 x<(2)/(5) ; - 2-5x1 x!=(1)/(5) ; - 6x^2-6x+1>0 : корни трёхчлена равны x=12+-(3)/(6) , старший коэффициент положителен, поэтому q>0 при x<12-(3)/(6) или x>12+(3)/(6) ; - 6x^2-6x+11 6x^2-6x0 x0 и x1 . Так как нас интересуют лишь x<25 , а 12-(3)/(6)~0,211<25 , то на интересующем нас луче условие q>0 даёт x<12-(3)/(6) . Объединяя всё, получаем ОДЗ: xin(-inf;0)U(0;15)U(15;12-(3)/(6)). **Упрощение левой части.** Перейдём к натуральным логарифмам. По формуле перехода _t 3=(3)/(ln t), (1)/(_2 t)=(2)/(ln t). Поэтому _t 3+(1)/(_2 t)=(3+2)/(ln t)=(6)/(ln t)=(1)/(_6 t). Аналогично правая часть равна (1)/(_6 q)=(6)/(ln q) . Так как 6>0 , неравенство равносильно (на ОДЗ) (1)/(ln t)(1)/(ln q), где t=2-5x, q=6x^2-6x+1. **Знаки логарифмов.** На ОДЗ x<25 . Заметим: ln t>0 t>1 2-5x>1 x<15, ln t<0 15<x<25; ln q>0 q>1 6x^2-6x>0 x<0 (на нашем луче), ln q<0 0<q<1. Разобьём ОДЗ на три промежутка и в каждом учтём знаки u=ln t и v=ln q . Ключевая разность: t-q=(2-5x)-(6x^2-6x+1)=-6x^2+x+1=-(2x-1)(3x+1), поэтому t q (2x-1)(3x+1)0 -13 x12. **Промежуток (-inf;0) .** Здесь x<15 , значит u=ln t>0 ; и x<0 , значит v=ln q>0 . Оба знаменателя положительны, поэтому 1u1v v u ln q t q t -13 x12. Пересекая с (-inf;0) , получаем [-13;0) (точка x=-13 входит: там t=q=(11)/(3) , обе части равны, ОДЗ соблюдено). **Промежуток (0;15) .** Здесь u=ln t>0 , но 0<q<1 , то есть v=ln q<0 . Тогда 1u>0>1v , и неравенство 1u1v не выполняется ни при каком x . Решений нет. **Промежуток (15;12-(3)/(6)) .** Здесь 15<x<25 , поэтому t<1 и u=ln t<0 ; одновременно 0<q<1 , поэтому v=ln q<0 . Оба знаменателя отрицательны, их произведение положительно, и при умножении знак неравенства сохраняется: 1u1v v u q t -13 x12. Весь промежуток (15;12-(3)/(6)) лежит внутри [-13;12] , поэтому подходит целиком. **Проверка краёв.** Точка x=-13 включается (равенство, ОДЗ выполнено). Точка x=0 исключается из ОДЗ (там q=1 , правая часть не определена). Точка x=15 исключается из ОДЗ (там t=1 , левая часть не определена). Точка x=12-(3)/(6) исключается из ОДЗ (там q=0 ). **Ответ.** xin[-13;0)U(15;12-(3)/(6)).

\(\left[-\frac{1}{3};\,0\right)\cup\left(\frac{1}{5};\,\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\right)\)