Задача №18081

Дан куб $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1\text{.}$ Сфера касается рёбер $AD\text{,}$ $D{D}_1\text{,}$ $CD$ и прямой $B{C}_1\text{.}$ Найти радиус сферы, если длины рёбер куба равны 1.

Введём прямоугольную систему координат, связанную с кубом. Положим

Геометрия трёх рёбер. Заметим, что все три ребра, которых касается сфера, выходят из одной вершины $D=(0,1,0)$ и попарно перпендикулярны (это три ребра куба при вершине $D$):

Пусть центр сферы $P=(x_0,y_0,z_0)\text{,}$ радиус $R\text{.}$ Касание прямой означает равенство расстояния от центра до прямой радиусу. Расстояния от точки $P$ до этих трёх прямых вычисляются как длины проекций на плоскости, ортогональные направлениям рёбер:

Приравнивая все три к $R^2\text{:}$

Из первых двух равенств $x_0^2=(y_0-1{)}^2\text{,}$ из второго и третьего $z_0^2=x_0^2\text{.}$ Значит $x_0^2=(y_0-1{)}^2=z_0^2\text{,}$ и из суммы любых двух

Центр сферы, касающейся рёбер куба, должен лежать со стороны внутренности куба относительно вершины $D\text{:}$ от $D=(0,1,0)$ внутрь — это сторона $x>0$ (к $C$), $y<1$ (к $A$), $z>0$ (к $D_1$). Поэтому берём

то есть

Условие касания прямой $B{C}_1\text{.}$ Прямая $B{C}_1$ проходит через $B=(1,0,0)$ с направляющим вектором $\vec{d}=C_1-B=(0,1,1)\text{,}$ $|\vec{d}{|}^2=2\text{.}$ Расстояние от $P$ до этой прямой:

Положим $t=\frac{R}{\sqrt{2}}\text{,}$ тогда $P-B=(t-1,1-t,t)\text{.}$ Вычисляя векторное произведение с $\vec{d}=(0,1,1)$ и квадрат длины с делением на $|\vec{d}{|}^2=2\text{,}$ получаем

Приравнивая к $R^2$ (касание):

Отсюда

Отбор корня. Корень $R=2\sqrt{2}+\sqrt{5}\approx 5,06$ даёт центр $P\approx (3,58;-2,58;3,58)$ — далеко вне куба; точки касания на рёбрах при этом выходят за пределы отрезков $AD,CD,D{D}_1$ (соответствующие параметры равны $-2,58$ и $3,58\text{,}$ не лежат в $[0,1]$), так что сфера не касается самих рёбер. Этот корень отбрасываем.

Корень $R=2\sqrt{2}-\sqrt{5}\approx 0,592$ даёт центр

лежащий внутри куба; точки касания приходятся на сами рёбра: на $AD$ при $y=0,581\in [0,1]\text{,}$ на $CD$ при $x=0,419\in [0,1]\text{,}$ на $D{D}_1$ при $z=0,419\in [0,1]\text{,}$ а на прямой $B{C}_1$ — при $\lambda =\frac{1}{2}\text{,}$ то есть в середине отрезка $B{C}_1\text{.}$ Все условия касания выполнены, корень допустим.

Итого радиус сферы равен