Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1. Сфера касается рёбер AD, DD_1, CD и прямой BC_1. Найти радиус сферы, если длины рёбер куба равны 1.

Введём прямоугольную систему координат, связанную с кубом. Положим A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0), A_1=(0,0,1), B_1=(1,0,1), C_1=(1,1,1), D_1=(0,1,1). **Геометрия трёх рёбер.** Заметим, что все три ребра, которых касается сфера, выходят из одной вершины D=(0,1,0) и попарно перпендикулярны (это три ребра куба при вершине D): AD: (0,t,0), tin[0,1] (вдоль оси Oy), CD: (s,1,0), sin[0,1] (вдоль оси Ox), DD_1: (0,1,u), uin[0,1] (вдоль оси Oz). Пусть центр сферы P=(x_0,y_0,z_0), радиус R. Касание прямой означает равенство расстояния от центра до прямой радиусу. Расстояния от точки P до этих трёх прямых вычисляются как длины проекций на плоскости, ортогональные направлениям рёбер: (P,AD)^2=x_0^2+z_0^2, (P,CD)^2=(y_0-1)^2+z_0^2, (P,DD_1)^2=x_0^2+(y_0-1)^2. Приравнивая все три к R^2: x_0^2+z_0^2=(y_0-1)^2+z_0^2=x_0^2+(y_0-1)^2=R^2. Из первых двух равенств x_0^2=(y_0-1)^2, из второго и третьего z_0^2=x_0^2. Значит x_0^2=(y_0-1)^2=z_0^2, и из суммы любых двух x_0^2+z_0^2=R^2 => 2x_0^2=R^2 => |x_0|=|y_0-1|=|z_0|=(R)/(2). Центр сферы, касающейся рёбер куба, должен лежать со стороны внутренности куба относительно вершины D: от D=(0,1,0) внутрь — это сторона x>0 (к C), y<1 (к A), z>0 (к D_1). Поэтому берём x_0=(R)/(2), y_0=1-(R)/(2), z_0=(R)/(2), то есть P=((R)/(2), 1-(R)/(2), (R)/(2)). **Условие касания прямой BC_1.** Прямая BC_1 проходит через B=(1,0,0) с направляющим вектором d=C_1-B=(0,1,1), | d|^2=2. Расстояние от P до этой прямой: (P,BC_1)=(|(P-B)* d|)/(| d|). Положим t=(R)/(2), тогда P-B=(t-1, 1-t, t). Вычисляя векторное произведение с d=(0,1,1) и квадрат длины с делением на | d|^2=2, получаем (P,BC_1)^2=(3R^2)/(2)-22R+(3)/(2). Приравнивая к R^2 (касание): (3R^2)/(2)-22R+(3)/(2)=R^2 (R^2)/(2)-22R+(3)/(2)=0 R^2-42R+3=0. Отсюда R=(42+-sqrt(32-12))/(2)=22+-5. **Отбор корня.** Корень R=22+5~5,06 даёт центр P~(3,58;-2,58;3,58) — далеко вне куба; точки касания на рёбрах при этом выходят за пределы отрезков AD,CD,DD_1 (соответствующие параметры равны -2,58 и 3,58, не лежат в [0,1]), так что сфера не касается самих рёбер. Этот корень отбрасываем. Корень R=22-5~0,592 даёт центр P~(0,419;0,581;0,419), лежащий внутри куба; точки касания приходятся на сами рёбра: на AD при y=0,581in[0,1], на CD при x=0,419in[0,1], на DD_1 при z=0,419in[0,1], а на прямой BC_1 — при =12, то есть в середине отрезка BC_1. Все условия касания выполнены, корень допустим. Итого радиус сферы равен R=22-5.

\(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\)