Задача №18080

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E\text{.}$ Вокруг треугольника $ECB$ описана окружность, а касательная к этой окружности, проведённая в точке $E\text{,}$ пересекает прямую $AD$ в точке $F$ таким образом, что точки $A\text{,}$ $D$ и $S$ лежат последовательно на этой прямой. Известно, что $AF=a\text{,}$ $AD=b\text{.}$ Найти $EF\text{.}$

Уточним конфигурацию. В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E\text{.}$ Вокруг треугольника $ECB$ описана окружность; касательная к ней в точке $E$ пересекает прямую основания $AD$ в точке $F\text{,}$ причём точки $A\text{,}$ $D\text{,}$ $F$ расположены на прямой именно в таком порядке (то есть $F$ лежит на луче $AD$ за точкой $D$). Дано $AF=a\text{,}$ $AD=b\text{;}$ поскольку порядок точек $A,D,F\text{,}$ то $a>b\text{,}$ и при этом

(Замечание о транскрипции: в источнике вместо $F$ напечатана буква $S$ — это опечатка, по смыслу касательная пересекает прямую $AD$ именно в точке $F\text{.}$)

Шаг 1. Угол между касательной и хордой.
Прямая $FE$ касается описанной окружности треугольника $ECB$ в точке $E\text{,}$ а $EC$ — хорда этой окружности. По теореме об угле между касательной и хордой этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду из дугового («альтернативного») сегмента:

Здесь $\angle EBC$ — вписанный угол окружности, опирающийся на хорду $EC$ (вершина $B$ лежит на окружности), то есть это угол $\angle CBD$ в треугольнике $EBC$ (точки $E$ и $D$ лежат на одной прямой $BD\text{,}$ так как $E$ — точка пересечения диагоналей, поэтому $\angle EBC=\angle DBC$).

Шаг 2. Перенос угла через параллельность оснований.
Так как $BC\parallel AD\text{,}$ а прямая $BD$ — секущая, накрест лежащие углы равны:

Угол $\angle BDA$ — это угол при вершине $D$ в треугольнике $EDA$ (снова $E$ лежит на прямой $BD\text{,}$ поэтому $\angle BDA=\angle EDA$). Объединяя с шагом 1, получаем

Луч $EC$ есть продолжение луча $EA$ (точки $A\text{,}$ $E\text{,}$ $C$ лежат на одной диагонали $AC$). Угол между касательной $EF$ и хордой $EC\text{,}$ взятый со стороны точки $A\text{,}$ равен углу $\angle FEA$ (вертикально-смежная пара даёт равные углы между прямой $FE$ и прямой $AC$). Поэтому окончательно

(Это равенство углов проверено численно во всех взятых конфигурациях — см. самопроверку.)

Шаг 3. Подобие треугольников $FEA$ и $FDE\text{.}$
Рассмотрим треугольники $FEA$ и $FDE\text{.}$ У них общий угол при вершине $F\text{:}$

(это один и тот же угол, так как точки $A\text{,}$ $D\text{,}$ $F$ лежат на одной прямой, а вершина $E$ общая). Кроме того, по шагу 2

По двум равным углам треугольники подобны:

В этом подобии вершине $E$ первого треугольника соответствует вершина $D$ второго, а вершине $A$ — вершина $E\text{.}$ Записывая отношение сходственных сторон, прилежащих к общему углу $F\text{:}$

откуда

Это в точности соотношение «квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть» (степень точки $F$ относительно окружности): касательный отрезок $FE$ и секущая, проходящая через $F$ (на которой при необходимости лежат точки пересечения окружности с прямой $AD$), связаны равенством $F{E}^2=FA\cdot FD\text{.}$

Шаг 4. Подстановка длин.
По условию $FA=AF=a\text{,}$ а по доказанному выше $FD=a-b\text{.}$ Следовательно,

Корень имеет смысл, так как $a>b$ (из порядка точек $A,D,F$), значит $a-b>0$ и подкоренное выражение положительно.

Ответ: $EF=\sqrt{a(a-b)}.$