В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Вокруг треугольника ECB описана окружность, а касательная к этой окружности, проведённая в точке E, пересекает прямую AD в точке F таким образом, что точки A, D и S лежат последовательно на этой прямой. Известно, что AF=a, AD=b. Найти EF.

Уточним конфигурацию. В трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Вокруг треугольника ECB описана окружность; касательная к ней в точке E пересекает прямую основания AD в точке F, причём точки A, D, F расположены на прямой именно в таком порядке (то есть F лежит на луче AD за точкой D). Дано AF=a, AD=b; поскольку порядок точек A,D,F, то a>b, и при этом FD=AF-AD=a-b. (Замечание о транскрипции: в источнике вместо F напечатана буква S — это опечатка, по смыслу касательная пересекает прямую AD именно в точке F.) **Шаг 1. Угол между касательной и хордой.** Прямая FE касается описанной окружности треугольника ECB в точке E, а EC — хорда этой окружности. По теореме об угле между касательной и хордой этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду из дугового («альтернативного») сегмента: (FE,EC)= EBC. Здесь EBC — вписанный угол окружности, опирающийся на хорду EC (вершина B лежит на окружности), то есть это угол CBD в треугольнике EBC (точки E и D лежат на одной прямой BD, так как E — точка пересечения диагоналей, поэтому EBC= DBC). **Шаг 2. Перенос угла через параллельность оснований.** Так как BC AD, а прямая BD — секущая, накрест лежащие углы равны: DBC= BDA. Угол BDA — это угол при вершине D в треугольнике EDA (снова E лежит на прямой BD, поэтому BDA= EDA). Объединяя с шагом 1, получаем (FE,EC)= EDA. Луч EC есть продолжение луча EA (точки A, E, C лежат на одной диагонали AC). Угол между касательной EF и хордой EC, взятый со стороны точки A, равен углу FEA (вертикально-смежная пара даёт равные углы между прямой FE и прямой AC). Поэтому окончательно FEA= EDA. (Это равенство углов проверено численно во всех взятых конфигурациях — см. самопроверку.) **Шаг 3. Подобие треугольников FEA и FDE.** Рассмотрим треугольники FEA и FDE. У них общий угол при вершине F: EFA= DFE (это один и тот же угол, так как точки A, D, F лежат на одной прямой, а вершина E общая). Кроме того, по шагу 2 FEA= FDE (= EDA). По двум равным углам треугольники подобны: FEA FDE. В этом подобии вершине E первого треугольника соответствует вершина D второго, а вершине A — вершина E. Записывая отношение сходственных сторон, прилежащих к общему углу F: (FE)/(FD)=(FA)/(FE), откуда FE^(2)=FA* FD. Это в точности соотношение «квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть» (степень точки F относительно окружности): касательный отрезок FE и секущая, проходящая через F (на которой при необходимости лежат точки пересечения окружности с прямой AD), связаны равенством FE^2=FA* FD. **Шаг 4. Подстановка длин.** По условию FA=AF=a, а по доказанному выше FD=a-b. Следовательно, FE^(2)=a(a-b), FE=sqrt(a(a-b)). Корень имеет смысл, так как a>b (из порядка точек A,D,F), значит a-b>0 и подкоренное выражение положительно. **Ответ:** EF=sqrt(a(a-b)).

\(\sqrt{a(a-b)}\)