58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Td0b,Сначала определим, в какой четверти лежит угол $2x$. По условию $\sin 2x>0$, а $\operatorname{tg}2x=-\dfrac{3}{4}<0$; поскольку $\operatorname{tg}2x=\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}$, при положительном синусе тангенс отрицателен лишь когда $\cos 2x<0$. Итак, \[\sin 2x>0,\qquad \cos 2x<0,\] то есть угол $2x$ (с точностью до периода $2\pi$) лежит во второй четверти: \[\frac{\pi}{2}+2\pi k<2x<\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.\] Разделив на $2$, получаем для самого $x$: \[\frac{\pi}{4}+\pi k\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}=1\). Уже отсюда видно, что $\operatorname{tg}x$ существует и положителен. Теперь найдём $\operatorname{tg}x$. Положим $t=\operatorname{tg}x$. По формуле тангенса двойного угла \[\operatorname{tg}2x=\frac{2t}{1-t^{2}}=-\frac{3}{4}.\] Отсюда $-3\,(1-t^{2})=8t$, то есть \[3t^{2}-8t-3=0,\qquad t=\frac{8\pm\sqrt{64+36}}{6}=\frac{8\pm 10}{6}.\] Получаем два корня: $t=3$ и $t=-\dfrac{1}{3}$. Из доказанного выше неравенства $\operatorname{tg}x>1$ второй корень $-\dfrac{1}{3}$ невозможен, поэтому \[\operatorname{tg}x=3.\] (Корень $t=-\dfrac13$ отвечает случаю $\sin 2x<0$, который условием исключён: при $\operatorname{tg}x=-\dfrac13$ угол $2x$ попадает в четвёртую четверть.) Заметим, что выбор корня однозначен при любом допустимом $x$: какое бы целое $k$ ни взять, для всех $x$ из найденных промежутков получается одно и то же значение $\operatorname{tg}x=3$. Значит, ответ не зависит от того, какое именно $x$ удовлетворяет условиям, — выражение определено обязательно. Осталось вычислить логарифм. Основание равно \[\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}=3^{-1/2}.\] Оно положительно и отлично от $1$, а число под логарифмом $\operatorname{tg}x=3>0$; следовательно, выражение $\log_{\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}}\operatorname{tg}x$ определено. Вычисляем: \[\log_{\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}}\operatorname{tg}x=\log_{3^{-1/2}}3=\frac{\ln 3}{\ln 3^{-1/2}}=\frac{\ln 3}{-\tfrac12\ln 3}=-2.\] То же короче: если $3^{-1/2}=a$, то $3=a^{-2}$, значит $\log_a 3=-2$. Итак, при заданных условиях выражение $\log_{\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}}\operatorname{tg}x$ обязательно определено и равно $\boxed{-2}$.5c:T1182,Решаем уравнение \[3\sqrt{x+4}=5-2|x+2|.\] **Область определения.** Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[x+4\geqslant 0\quad\Longleftrightarrow\quad x\geqslant -4.\] Поэтому далее рассматриваем только $x\geqslant -4$. **Необходимое условие на знак правой части.** Левая часть $3\sqrt{x+4}\geqslant 0$ при всех допустимых $x$. Значит, корень возможен лишь там, где правая часть тоже неотрицательна: \[5-2|x+2|\geqslant 0\quad\Longleftrightarrow\quad |x+2|\leqslant \tfrac{5}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad -\tfrac{9}{2}\leqslant x\leqslant \tfrac{1}{2}.\] Это условие мы будем явно проверять при отсеивании посторонних корней. Модуль $|x+2|$ раскрывается по-разному в зависимости от знака $x+2$, поэтому разбиваем задачу на два случая. **Случай 1: $-4\leqslant x\leqslant -2$.** Здесь $x+2\leqslant 0$, поэтому $|x+2|=-(x+2)$, и правая часть равна \[5-2\bigl(-(x+2)\bigr)=5+2(x+2)=2x+9.\] Уравнение принимает вид \[3\sqrt{x+4}=2x+9.\] На отрезке $[-4,-2]$ правая часть $2x+9$ меняется от $1$ до $5$, то есть всюду положительна, так что условие неотрицательности правой части выполнено автоматически. Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат равносильно: \[9(x+4)=(2x+9)^2,\qquad 9x+36=4x^2+36x+81,\] \[4x^2+27x+45=0.\] Дискриминант $D=27^2-4\cdot4\cdot45=729-720=9$, откуда \[x=\frac{-27\pm 3}{8},\qquad x_1=\frac{-24}{8}=-3,\qquad x_2=\frac{-30}{8}=-\frac{15}{4}.\] Оба числа лежат в рассматриваемом промежутке $[-4,-2]$ (ведь $-\tfrac{15}{4}=-3{,}75$ и $-3$), поэтому оба являются корнями. Проверка подстановкой: при $x=-3$ имеем $3\sqrt{1}=3$ и $5-2\cdot1=3$; при $x=-\tfrac{15}{4}$ имеем $3\sqrt{\tfrac14}=\tfrac32$ и $5-2\cdot\tfrac74=\tfrac32$. Совпадает. **Случай 2: $x\geqslant -2$.** Здесь $x+2\geqslant 0$, поэтому $|x+2|=x+2$, и правая часть равна \[5-2(x+2)=1-2x.\] Уравнение принимает вид \[3\sqrt{x+4}=1-2x.\] Возводить в квадрат можно лишь при неотрицательной правой части, то есть при $1-2x\geqslant 0$, что даёт $x\leqslant \tfrac12$. Итак, в этом случае допустимы $x\in[-2,\tfrac12]$. Возводим в квадрат: \[9(x+4)=(1-2x)^2,\qquad 9x+36=4x^2-4x+1,\] \[4x^2-13x-35=0.\] Дискриминант $D=13^2+4\cdot4\cdot35=169+560=729=27^2$, откуда \[x=\frac{13\pm 27}{8},\qquad x_3=\frac{40}{8}=5,\qquad x_4=\frac{-14}{8}=-\frac{7}{4}.\] Корень $x=5$ посторонний: он не попадает в промежуток $[-2,\tfrac12]$, и формально $1-2\cdot5=-9<0$ не может равняться неотрицательной левой части. Корень $x=-\tfrac74=-1{,}75$ лежит в $[-2,\tfrac12]$ и потому годится. Проверка подстановкой: при $x=-\tfrac74$ имеем $3\sqrt{\tfrac94}=3\cdot\tfrac32=\tfrac92$ и $1-2\cdot\bigl(-\tfrac74\bigr)=1+\tfrac72=\tfrac92$. Совпадает. **Объединение.** Из двух случаев получаем три корня: \[\boxed{x=-\frac{15}{4},\qquad x=-3,\qquad x=-\frac{7}{4}.}\] Замечание. Корень $x=-\tfrac74$ — это точка касания графиков $y=3\sqrt{x+4}$ и $y=5-2|x+2|$ (правая часть на луче $x\geqslant -2$ убывает вдвое быстрее, чем растёт левая, и линии касаются), поэтому он легко теряется при «грубом» отсеивании; именно поэтому важно аккуратно проводить разбор по случаям и проверку.5d:T143e,Пусть $O$ — центр окружности радиуса $R=1$, а $A$, $B$, $C$ — концы данных хорд: $AB=\sqrt{2}$, $BC=\dfrac{10}{7}$. Точки $A$, $B$, $C$ лежат на окружности, поэтому они образуют вписанный в неё треугольник $ABC$, и нам нужна площадь той части круга, которая лежит внутри угла $ABC$ (угол с вершиной $B$, образованный лучами $BA$ и $BC$). **Углы треугольника.** По теореме синусов для вписанного треугольника каждая сторона равна $2R$ на синус противолежащего угла; при $R=1$ сторона равна удвоенному синусу противолежащего угла. Сторона $BC$ лежит против угла $A=\angle BAC$: \[ BC=2\sin A\quad\Longrightarrow\quad \sin A=\frac{BC}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{10}{7}=\frac{5}{7}. \] По условию угол $BAC$ острый, поэтому из двух решений берём \[ \angle BAC=\arcsin\frac{5}{7},\qquad \cos A=\sqrt{1-\frac{25}{49}}=\frac{2\sqrt{6}}{7}. \] Сторона $AB$ лежит против угла $C=\angle ACB$: \[ AB=2\sin C\quad\Longrightarrow\quad \sin C=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad\Longrightarrow\quad \angle ACB=\frac{\pi}{4}\ \text{или}\ \frac{3\pi}{4}. \] Если бы $\angle ACB=\dfrac{3\pi}{4}$, то $\angle ABC=\pi-\angle BAC-\angle ACB=\dfrac{\pi}{4}-\arcsin\dfrac{5}{7}<0$, что невозможно. Значит, однозначно \[ \angle ACB=\frac{\pi}{4}. \] Тогда третий угол \[ \angle ABC=\pi-\angle BAC-\angle ACB=\pi-\arcsin\frac{5}{7}-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}-\arcsin\frac{5}{7}. \] Численно $\angle ABC\approx 89{,}42^\circ$ — острый, всё согласовано. **Что входит в искомую область.** Лучи $BA$ и $BC$ — это хорды, разрезающие круг. Внутри угла $ABC$ (его раствор меньше $180^\circ$) лежит, во-первых, весь треугольник $ABC$, а во-вторых — круговой сегмент, отсекаемый хордой $AC$ и расположенный по другую сторону от $AC$, чем вершина $B$ (то есть сегмент, опирающийся на дугу $AC$, не содержащую $B$). Сегменты же, отсекаемые хордами $AB$ и $BC$, целиком лежат вне угла (по внешнюю сторону от соответствующих лучей), поэтому в площадь не входят. Таким образом, \[ S=S_{\triangle ABC}+S_{\text{сегм }AC}. \] **Площадь треугольника.** \[ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\,AB\cdot BC\cdot\sin\angle ABC. \] Так как $\angle ABC=\pi-\bigl(\angle BAC+\tfrac{\pi}{4}\bigr)$, то $\sin\angle ABC=\sin\!\Bigl(\arcsin\dfrac{5}{7}+\dfrac{\pi}{4}\Bigr)$: \[ \sin\angle ABC=\sin A\cos\frac{\pi}{4}+\cos A\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{5}{7}+\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)=\frac{\sqrt{2}\,(5+2\sqrt{6})}{14}. \] Следовательно, \[ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{10}{7}\cdot\frac{\sqrt{2}\,(5+2\sqrt{6})}{14}=\frac{10\,(5+2\sqrt{6})}{49}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{1}=\frac{25}{49}+\frac{10\sqrt{6}}{49}. \] **Площадь сегмента над $AC$.** Центральный угол, опирающийся на хорду $AC$, вдвое больше вписанного угла $\angle ABC$, который на эту хорду опирается: \[ \varphi=2\angle ABC=2\left(\frac{3\pi}{4}-\arcsin\frac{5}{7}\right)=\frac{3\pi}{2}-2\arcsin\frac{5}{7}. \] Численно $\varphi\approx 178{,}83^\circ<180^\circ$, поэтому это центральный угол как раз дуги $AC$, не содержащей $B$, и площадь соответствующего сегмента при $R=1$ равна \[ S_{\text{сегм }AC}=\frac{1}{2}\,(\varphi-\sin\varphi). \] Найдём $\sin\varphi$. Поскольку $\varphi=\dfrac{3\pi}{2}-2\arcsin\dfrac{5}{7}$, имеем \[ \sin\varphi=\sin\!\Bigl(\frac{3\pi}{2}-2A\Bigr)=-\cos 2A=-\bigl(1-2\sin^2A\bigr)=-\left(1-\frac{50}{49}\right)=\frac{1}{49}. \] Тогда \[ S_{\text{сегм }AC}=\frac{1}{2}\left(\frac{3\pi}{2}-2\arcsin\frac{5}{7}-\frac{1}{49}\right)=\frac{3\pi}{4}-\arcsin\frac{5}{7}-\frac{1}{98}. \] **Сложение.** \[ S=\left(\frac{25}{49}+\frac{10\sqrt{6}}{49}\right)+\left(\frac{3\pi}{4}-\arcsin\frac{5}{7}-\frac{1}{98}\right). \] Постоянные слагаемые: $\dfrac{25}{49}-\dfrac{1}{98}=\dfrac{50}{98}-\dfrac{1}{98}=\dfrac{49}{98}=\dfrac{1}{2}$. Окончательно \[ \boxed{\,S=\frac{1}{2}+\frac{10\sqrt{6}}{49}+\frac{3\pi}{4}-\arcsin\frac{5}{7}\,}\approx 2{,}560. \] Это совпадает с официальным ответом.5e:T1127,Обозначим два сравниваемых числа \[A=3x-4,\qquad B=\log_2\bigl(5\cdot 2^{2x-4}-2^{x-1}+1\bigr).\] Требуется найти все $x$, при которых наибольшее из них положительно. **Сведение к объединению условий.** Для любых двух чисел $A$ и $B$ их наибольшее $\max(A,B)$ положительно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел положительно. Действительно, если положительно большее, то оно и есть максимум; обратно, если положительно хотя бы одно, то максимум не меньше его, значит тоже положителен. Поэтому искомое множество есть объединение решений неравенств $A>0$ и $B>0$. При этом неравенство $B>0$ имеет смысл лишь там, где определён логарифм, то есть где его аргумент положителен; проверим сначала область определения. **Область определения логарифма.** Введём подстановку $t=2^{x}$, где $t>0$. Тогда $2^{2x-4}=\dfrac{2^{2x}}{16}=\dfrac{t^2}{16}$ и $2^{x-1}=\dfrac{t}{2}$, так что аргумент логарифма равен \[g(t)=5\cdot\frac{t^2}{16}-\frac{t}{2}+1=\frac{5}{16}t^2-\frac{1}{2}t+1.\] Это квадратный трёхчлен относительно $t$ с дискриминантом \[D=\left(-\tfrac12\right)^2-4\cdot\tfrac{5}{16}\cdot 1=\frac14-\frac54=-1<0,\] и старшим коэффициентом $\tfrac{5}{16}>0$. Значит $g(t)>0$ при всех $t$, то есть аргумент логарифма положителен при всех $x$, и функция $B$ определена на всей числовой прямой. Таким образом, никаких дополнительных ограничений ОДЗ не возникает. **Условие $A>0$.** Неравенство $3x-4>0$ равносильно \[x>\frac{4}{3}.\] **Условие $B>0$.** Так как основание логарифма $2>1$, неравенство $\log_2(\,\cdot\,)>0$ равносильно тому, что аргумент больше единицы: \[5\cdot 2^{2x-4}-2^{x-1}+1>1\quad\Longleftrightarrow\quad 5\cdot 2^{2x-4}-2^{x-1}>0.\] В переменной $t=2^x>0$ левая часть равна \[\frac{5}{16}t^2-\frac{1}{2}t=\frac{t}{16}\bigl(5t-8\bigr).\] Поскольку $t=2^x>0$, множитель $\dfrac{t}{16}$ положителен, и неравенство сводится к $5t-8>0$, то есть \[t>\frac{8}{5}\quad\Longleftrightarrow\quad 2^{x}>\frac{8}{5}\quad\Longleftrightarrow\quad x>\log_2\frac{8}{5}.\] **Объединение.** Сравним границы. Поскольку $\dfrac{8}{5}=1{,}6<2$, число $\log_2\dfrac{8}{5}$ лежит между $0$ и $1$; численно $\log_2\dfrac{8}{5}=3-\log_2 5\approx 0{,}678$. С другой стороны $\dfrac{4}{3}\approx 1{,}333$. Значит \[\log_2\frac{8}{5}<\frac{4}{3},\] и множество $\left\{x>\tfrac43\right\}$ целиком содержится в множестве $\left\{x>\log_2\tfrac85\right\}$. Поэтому объединение решений $A>0$ и $B>0$ совпадает с большим из множеств: \[\Bigl(\tfrac43;\,+\infty\Bigr)\cup\Bigl(\log_2\tfrac85;\,+\infty\Bigr)=\Bigl(\log_2\tfrac85;\,+\infty\Bigr).\] **Проверка граничной точки.** При $x=\log_2\dfrac{8}{5}$ имеем $t=\dfrac85$, аргумент логарифма равен $g\!\left(\tfrac85\right)=1$, поэтому $B=\log_2 1=0$, а $A=3\log_2\tfrac85-4<0$. Значит $\max(A,B)=0$ — не положительно, и точка $x=\log_2\dfrac85$ в ответ не входит. Чуть правее $B$ становится положительным, чуть левее оба числа отрицательны. **Ответ.** \[\boxed{\,x\in\left(\log_2\frac{8}{5};\ +\infty\right)\,}.\]5f:T1148,Обозначим объём пирамиды через $V$. Возьмём в качестве основания грань $SAB$, а вершину $C$ будем считать «верхней». Тогда \[V=\frac{1}{3}\,[SAB]\cdot h,\] где $[SAB]$ — площадь треугольника $SAB$, а $h$ — расстояние от точки $C$ до плоскости этого треугольника. Оценим оба сомножителя по отдельности. **Оценка высоты $h$.** Точка $B$ лежит в плоскости $SAB$, поэтому расстояние от $C$ до этой плоскости не превосходит длины наклонной $CB$: \[h\le BC\le 6.\] Равенство $h=6$ достигается, когда отрезок $BC$ перпендикулярен плоскости $SAB$ и имеет наибольшую допустимую длину $BC=6$. **Оценка площади $[SAB]$.** В треугольнике $SAB$ сторона $AB=5$ фиксирована, а на две другие наложены условия $SA\le 4$ и $SB\ge 7$. Опустим из $S$ перпендикуляр на прямую $AB$; пусть его длина равна $y\ (y\ge0)$, а основание перпендикуляра имеет на прямой $AB$ координату $t$, отсчитываемую от $A$ (точка $A$ — это $t=0$, точка $B$ — это $t=5$). Тогда \[SA^2=t^2+y^2\le 16,\qquad SB^2=(t-5)^2+y^2\ge 49,\] а площадь равна $[SAB]=\dfrac12\cdot AB\cdot y=\dfrac{5}{2}\,y$, так что нужно максимизировать $y$. Из первого неравенства $y^2\le 16-t^2$; чтобы $y$ было как можно больше, возьмём $y^2=16-t^2$ (то есть $SA=4$). Подставляя это во второе неравенство, получаем условие на $t$: \[(t-5)^2+\bigl(16-t^2\bigr)\ge 49\ \Longrightarrow\ -10t+25+16\ge 49\ \Longrightarrow\ -10t\ge 8\ \Longrightarrow\ t\le-\frac{4}{5}.\] Величина $y^2=16-t^2$ тем больше, чем меньше $|t|$; при допустимых $t\le-\frac45$ наименьшее значение $|t|$ равно $\frac45$. Значит максимум достигается при $t=-\dfrac{4}{5}$, и тогда \[y^2=16-\frac{16}{25}=\frac{384}{25},\qquad [SAB]=\frac{5}{2}\,y=\frac{5}{2}\sqrt{\frac{384}{25}}=\frac{1}{2}\sqrt{384}=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt6=4\sqrt6.\] (К тому же значению приводит формула Герона: при $SA=4,\ AB=5,\ SB=7$ полупериметр равен $8$, и $[SAB]=\sqrt{8\cdot 4\cdot 3\cdot 1}=\sqrt{96}=4\sqrt6$.) Итак, \[[SAB]\le 4\sqrt6.\] **Оценка объёма.** Перемножая независимые оценки, получаем \[V=\frac13\,[SAB]\cdot h\le\frac13\cdot 4\sqrt6\cdot 6=8\sqrt6.\] **Достижимость.** Осталось проверить, что значение $8\sqrt6$ действительно достигается с выполнением всех шести условий (включая ещё не использованные $SC\ge9$ и $AC\le8$). Поместим плоскость $SAB$ в координатную плоскость $z=0$ и возьмём \[A=(0,0,0),\quad B=(5,0,0),\quad S=\left(-\tfrac{4}{5},\ \tfrac{\sqrt{384}}{5},\ 0\right),\quad C=(5,0,6).\] Прямое вычисление даёт \[SA=4,\quad SB=7,\quad AB=5,\quad BC=6,\quad AC=\sqrt{61}\approx7{,}81,\quad SC=\sqrt{85}\approx9{,}22.\] Все ограничения выполнены: $SA=4\le4$, $SB=7\ge7$, $SC=\sqrt{85}\ge9$ (так как $85\ge81$), $AB=5$, $BC=6\le6$, $AC=\sqrt{61}\le8$ (так как $61\le64$). При этом отрезок $BC$ перпендикулярен плоскости $SAB$, поэтому $h=BC=6$, а площадь основания равна $4\sqrt6$. Объём этой пирамиды \[V=\frac13\cdot 4\sqrt6\cdot 6=8\sqrt6.\] Поскольку верхняя оценка $V\le 8\sqrt6$ достигается, наибольшее значение объёма равно \[\boxed{\,V_{\max}=8\sqrt6\,}.\]60:T1a97,**1. Преобразование уравнения.** Перенесём всё в левую часть: \[ \sin 2x+\sin x+\sin(x-\alpha)-\sin\alpha-\sin(x+\alpha)=0. \] По формуле разности синусов \[ \sin(x-\alpha)-\sin(x+\alpha)=-2\cos x\,\sin\alpha, \] поэтому уравнение приводится к виду \[ \sin 2x+\sin x-2\cos x\,\sin\alpha-\sin\alpha=0. \] Сгруппируем, используя $\sin 2x=2\sin x\cos x$: \[ \sin x(2\cos x+1)-\sin\alpha(2\cos x+1)=0, \] то есть \[ (\sin x-\sin\alpha)(2\cos x+1)=0. \] Уравнение распадается на два независимых: \[ \textbf{(A)}\quad \sin x=\sin\alpha,\qquad\qquad \textbf{(B)}\quad \cos x=-\frac12. \] **2. Промежуток.** Корни ищем на отрезке $I=\left[-\dfrac{4\pi}{3};\,\dfrac{5\pi}{4}\right]$ (см. примечание в самопроверке о записи левого конца). Длина $I$ равна $\dfrac{5\pi}{4}+\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{31\pi}{12}$, что чуть больше чем $2\pi$, поэтому в $I$ попадают «основные» решения каждой серии и часть соседних. **3. Серия (B): $\cos x=-\tfrac12$.** Эта серия от $\alpha$ не зависит: $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$. На $I$ лежат ровно три значения: \[ x=-\frac{4\pi}{3},\qquad x=-\frac{2\pi}{3},\qquad x=\frac{2\pi}{3}. \] (Значение $x=-\frac{4\pi}{3}$ совпадает с левым концом отрезка и потому включается; следующее $x=\frac{4\pi}{3}>\frac{5\pi}{4}$ уже вне $I$.) Итак, серия (B) всегда даёт **3 корня**. **4. Серия (A): $\sin x=\sin\alpha$, где $\alpha\in\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]$.** Общее решение \[ x=\alpha+2\pi k\quad\text{или}\quad x=\pi-\alpha+2\pi k. \] Выясним, какие из них попадают в $I=\left[-\tfrac{4\pi}{3};\tfrac{5\pi}{4}\right]$ при $\alpha\in\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]$. - $x_1=\alpha$: при $\alpha\in\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]$ это всегда внутри $I$ — присутствует **всегда**. - $x_2=-\pi-\alpha$ (это $\pi-\alpha-2\pi$): при $\alpha\le\tfrac{\pi}{2}$ имеем $x_2\le-\tfrac{\pi}{2}\le\tfrac{5\pi}{4}$, а условие $x_2\ge-\tfrac{4\pi}{3}$ даёт $-\pi-\alpha\ge-\tfrac{4\pi}{3}\Leftrightarrow \alpha\le\tfrac{\pi}{3}$. Значит $x_2\in I$ **тогда и только тогда, когда $\alpha\le\tfrac{\pi}{3}$** (при $\alpha=\tfrac{\pi}{3}$ точка $x_2=-\tfrac{4\pi}{3}$ попадает на левый конец). - $x_3=\pi-\alpha$: условие $\pi-\alpha\le\tfrac{5\pi}{4}\Leftrightarrow \alpha\ge-\tfrac{\pi}{4}$. Значит $x_3\in I$ **тогда и только тогда, когда $\alpha\ge-\tfrac{\pi}{4}$** (при $\alpha=-\tfrac{\pi}{4}$ точка $x_3=\tfrac{5\pi}{4}$ попадает на правый конец). - Остальные представители ($\alpha-2\pi$, $\alpha+2\pi$, $3\pi-\alpha$ и т.д.) при $\alpha\in\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]$ выходят за $I$: например $\alpha-2\pi\ge-\tfrac{4\pi}{3}$ требует $\alpha\ge\tfrac{2\pi}{3}$, что невозможно. **5. Совпадения корней.** Нужно учесть, что корни серий (A) и (B), а также корни серии (A) между собой, могут совпасть. Серия (A) с серией (B): приравниваем кандидатов $x_2,x_3$ к $-\tfrac{4\pi}{3},-\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3}$. \[ x_2=-\pi-\alpha=-\frac{2\pi}{3}\ \Rightarrow\ \alpha=-\frac{\pi}{3};\qquad x_2=-\pi-\alpha=-\frac{4\pi}{3}\ \Rightarrow\ \alpha=\frac{\pi}{3}; \] \[ x_3=\pi-\alpha=\frac{2\pi}{3}\ \Rightarrow\ \alpha=\frac{\pi}{3}. \] Кандидат $x_1=\alpha$ при $\alpha\in\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]$ ни с одним корнем (B) не совпадает. Внутри серии (A): $x_1=x_2\Leftrightarrow\alpha=-\pi-\alpha\Leftrightarrow\alpha=-\tfrac{\pi}{2}$; $x_1=x_3\Leftrightarrow\alpha=\pi-\alpha\Leftrightarrow\alpha=\tfrac{\pi}{2}$. **6. Подсчёт числа различных корней.** Серия (B) фиксированно даёт 3 корня; добавляем новые (несовпадающие) корни серии (A). Разберём промежуток $\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]$ по точкам $-\tfrac{\pi}{2},-\tfrac{\pi}{3},-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2}$. | $\alpha$ | корни (A) в $I$ (различные) | совпадения | всего корней | |---|---|---|---| | $\alpha=-\tfrac{\pi}{2}$ | $x_1=x_2=-\tfrac{\pi}{2}$ — слипаются; $x_3$ нет ($\alpha<-\tfrac{\pi}{4}$) | — | $3+1=4$ | | $\left(-\tfrac{\pi}{2};-\tfrac{\pi}{3}\right)$ | $x_1,x_2$ различны; $x_3$ нет | нет с (B) | $3+2=\mathbf{5}$ | | $\alpha=-\tfrac{\pi}{3}$ | $x_1,x_2$; но $x_2=-\tfrac{2\pi}{3}\in$(B) | $x_2$ слился с (B) | $3+1=4$ | | $\left(-\tfrac{\pi}{3};-\tfrac{\pi}{4}\right)$ | $x_1,x_2$ различны; $x_3$ нет | нет с (B) | $3+2=\mathbf{5}$ | | $\alpha=-\tfrac{\pi}{4}$ | $x_1,x_2,x_3$ ($x_3=\tfrac{5\pi}{4}$ на конце) | нет | $3+3=6$ | | $\left(-\tfrac{\pi}{4};\tfrac{\pi}{3}\right)$ | $x_1,x_2,x_3$ все есть и различны | нет с (B) | $3+3=6$ | | $\alpha=\tfrac{\pi}{3}$ | $x_2=-\tfrac{4\pi}{3}\in$(B), $x_3=\tfrac{2\pi}{3}\in$(B) | оба слились с (B) | $3+1=4$ | | $\left(\tfrac{\pi}{3};\tfrac{\pi}{2}\right)$ | $x_2$ вне $I$ ($\alpha>\tfrac{\pi}{3}$); есть $x_1,x_3$ | нет с (B) | $3+2=\mathbf{5}$ | | $\alpha=\tfrac{\pi}{2}$ | $x_1=x_3=\tfrac{\pi}{2}$ — слипаются; $x_2$ вне | — | $3+1=4$ | **7. Итог.** Ровно $5$ различных корней получается в точности на открытых промежутках \[ \boxed{\ \alpha\in\left(-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{3};-\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}\right).\ } \] Граничные значения $-\tfrac{\pi}{2},-\tfrac{\pi}{3},-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2}$ не входят: в них число корней равно $4$ или $6$ из-за слияния корней либо появления третьего корня серии (A) на конце отрезка.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — май 1994\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — май 1994\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-1994-05\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-09T22:20:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — май 1994\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — май 1994-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — май 1994"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-1994-05","serverCollection":{"id":"7b3b4566-859f-4722-8ae6-e82525c56009","name":"Мехмат МГУ — май 1994","code":"mehmat-1994-05","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"05","session_label":"Досрочный экзамен, 1994 год (май)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm1994-05.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":1994},"created_at":"2026-06-09T22:20:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"4eadc119-5b70-4bf9-913d-bee925c7f945","collection_id":"7b3b4566-859f-4722-8ae6-e82525c56009","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"4eadc119-5b70-4bf9-913d-bee925c7f945","short_id":18071,"task_number":91,"topic_id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Число \$x\$ удовлетворяет условиям\n\\[\\operatorname{tg}2x=-\\frac{3}{4},\\quad \\sin 2x>0.\\]\nОбязательно ли при этих условиях определено выражение \$\\log_{\\operatorname{tg}\\frac{\\pi}{6}}\\operatorname{tg}x\$ и чему оно тогда равно?","answer_text":"Обязательно определено и равно \$-2\$","answer":"Обязательно определено и равно \$-2\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"05","variant_key":"mm1994-05","year":1994},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","name":"Алгебраические преобразования","description":null},"tags":[{"id":"216e942d-23ac-41e6-9818-1b091baf30c1","code":"tag-30","name":"Синус, косинус, тангенс и котангенс числа"},{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"},{"id":"e082d742-24ab-47dd-aa86-811e2d0d11d4","code":"tag-215","name":"Логарифм числа"}]}},{"problem_id":"760c00d9-e586-44d9-b01e-114bd5f3b905","collection_id":"7b3b4566-859f-4722-8ae6-e82525c56009","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"760c00d9-e586-44d9-b01e-114bd5f3b905","short_id":18072,"task_number":17,"topic_id":"737609d1-c06e-45c6-904e-bf6aa264d3ff","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решить уравнение\n\\[3\\sqrt{x+4}=5-2|x+2|.\\]","answer_text":"\$-\\dfrac{15}{4};\\ -3;\\ -\\dfrac{7}{4}\$","answer":"\$-\\dfrac{15}{4};\\ -3;\\ -\\dfrac{7}{4}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"05","variant_key":"mm1994-05","year":1994},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"737609d1-c06e-45c6-904e-bf6aa264d3ff","name":"Иррациональные уравнения","description":null},"tags":[{"id":"cbfcdc3f-7c60-42fd-8b0c-b0e16a570b75","code":"tag-195","name":"Уравнение с модулем"},{"id":"dd1b76a0-263b-443b-abbd-179a85c1de5b","code":"tag-213","name":"Иррациональные уравнения"}]}},{"problem_id":"e0cacc82-3672-4603-8fe0-b870c6305e3c","collection_id":"7b3b4566-859f-4722-8ae6-e82525c56009","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"e0cacc82-3672-4603-8fe0-b870c6305e3c","short_id":18073,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"В круге радиуса \$1\$ проведены хорды \$AB=\\sqrt{2}\$ и \$BC=\\dfrac{10}{7}\$. Найти площадь части круга, лежащей внутри угла \$ABC\$, если угол \$BAC\$ острый.","answer_text":"\$\\dfrac{1}{2}+\\dfrac{10\\sqrt{6}}{49}+\\dfrac{3\\pi}{4}-\\arcsin\\dfrac{5}{7}\$","answer":"\$\\dfrac{1}{2}+\\dfrac{10\\sqrt{6}}{49}+\\dfrac{3\\pi}{4}-\\arcsin\\dfrac{5}{7}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"05","variant_key":"mm1994-05","year":1994},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"43c3ff5b-b8c7-472a-aa58-848addf09b5b","code":"tag-66","name":"Вписанный угол, опирающийся на диаметр"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"aef2e6ef-328e-47a4-b00a-b42d8dfcad84","code":"tag-163","name":"Окружность и круг"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"}]}},{"problem_id":"def35b9c-cfe0-4409-93fd-cbb0a43ba159","collection_id":"7b3b4566-859f-4722-8ae6-e82525c56009","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"def35b9c-cfe0-4409-93fd-cbb0a43ba159","short_id":18074,"task_number":16,"topic_id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Найти все значения \$x\$, при которых наибольшее из чисел \$3x-4\$ и \$\\log_2\\left(5\\cdot 2^{2x-4}-2^{x-1}+1\\right)\$ положительно.","answer_text":"\$\\left(\\log_2\\dfrac{8}{5};\\ +\\infty\\right)\$","answer":"\$\\left(\\log_2\\dfrac{8}{5};\\ +\\infty\\right)\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"05","variant_key":"mm1994-05","year":1994},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","name":"Показательные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"71f19a1a-c6b7-4320-9e0b-3cb73213fa41","code":"tag-104","name":"Показательные неравенства"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"0d9d3580-2751-4746-8f8e-e1e830a57f2e","collection_id":"7b3b4566-859f-4722-8ae6-e82525c56009","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"0d9d3580-2751-4746-8f8e-e1e830a57f2e","short_id":18075,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найти наибольшее значение объёма пирамиды \$SABC\$ при следующих ограничениях\n\\[SA\\leqslant 4,\\quad SB\\geqslant 7,\\quad SC\\geqslant 9,\\quad AB=5,\\quad BC\\leqslant 6,\\quad AC\\leqslant 8.\\]","answer_text":"\$8\\sqrt{6}\$","answer":"\$8\\sqrt{6}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"05","variant_key":"mm1994-05","year":1994},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"d910c52b-60cc-47a9-b58b-f21ab0d0fc24","code":"tag-205","name":"Треугольная пирамида"},{"id":"dc9d1c05-5fc8-4d47-9b65-1f606fc6a345","code":"tag-211","name":"Объем тела"},{"id":"fccaf147-c5ab-4708-b5a2-315cacf9246c","code":"tag-242","name":"Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы"}]}},{"problem_id":"bb953dc3-6615-4ab3-b41f-09b52b1bb7bc","collection_id":"7b3b4566-859f-4722-8ae6-e82525c56009","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"bb953dc3-6615-4ab3-b41f-09b52b1bb7bc","short_id":18076,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Найти все значения параметра \$\\alpha\\in\\left[-\\dfrac{\\pi}{2},\\dfrac{\\pi}{2}\\right]\$, для каждого из которых уравнение\n\\[\\sin 2x+\\sin x+\\sin(x-\\alpha)=\\sin\\alpha+\\sin(x+\\alpha)\\]\nимеет ровно \$5\$ различных корней на промежутке \$\\left[-\\dfrac{7}{4}\\pi,\\dfrac{5}{4}\\pi\\right]\$.","answer_text":"\$\\left(-\\dfrac{\\pi}{2};-\\dfrac{\\pi}{3}\\right)\\cup\\left(-\\dfrac{\\pi}{3};-\\dfrac{\\pi}{4}\\right)\\cup\\left(\\dfrac{\\pi}{3};\\dfrac{\\pi}{2}\\right)\$","answer":"\$\\left(-\\dfrac{\\pi}{2};-\\dfrac{\\pi}{3}\\right)\\cup\\left(-\\dfrac{\\pi}{3};-\\dfrac{\\pi}{4}\\right)\\cup\\left(\\dfrac{\\pi}{3};\\dfrac{\\pi}{2}\\right)\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"05","variant_key":"mm1994-05","year":1994},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"79cb1123-1ddd-42a3-b424-5fcae957f034","code":"tag-114","name":"Функции, зависящие от параметра"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ