Задача №18072

Решить уравнение

$$3\sqrt{x+4}=5-2|x+2|.$$

Решаем уравнение

$$3\sqrt{x+4}=5-2|x+2|.$$

Область определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x+4⩾0⟺x⩾-4.$$

Поэтому далее рассматриваем только $x⩾-4\text{.}$

Необходимое условие на знак правой части. Левая часть $3\sqrt{x+4}⩾0$ при всех допустимых $x\text{.}$ Значит, корень возможен лишь там, где правая часть тоже неотрицательна:

$$5-2|x+2|⩾0⟺|x+2|⩽\frac{5}{2}⟺-\frac{9}{2}⩽x⩽\frac{1}{2}.$$

Это условие мы будем явно проверять при отсеивании посторонних корней.

Модуль $|x+2|$ раскрывается по-разному в зависимости от знака $x+2\text{,}$ поэтому разбиваем задачу на два случая.

Случай 1: $-4⩽x⩽-2\text{.}$ Здесь $x+2⩽0\text{,}$ поэтому $|x+2|=-(x+2)\text{,}$ и правая часть равна

$$5-2(-(x+2))=5+2(x+2)=2x+9.$$

Уравнение принимает вид

$$3\sqrt{x+4}=2x+9.$$

На отрезке $[-4,-2]$ правая часть $2x+9$ меняется от $1$ до $5\text{,}$ то есть всюду положительна, так что условие неотрицательности правой части выполнено автоматически. Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат равносильно:

$$9(x+4)=(2x+9{)}^2,9x+36=4x^2+36x+81,$$ $$4x^2+27x+45=0.$$

Дискриминант $D=27^2-4\cdot 4\cdot 45=729-720=9\text{,}$ откуда

$$x=\frac{-27\pm 3}{8},x_1=\frac{-24}{8}=-3,x_2=\frac{-30}{8}=-\frac{15}{4}.$$

Оба числа лежат в рассматриваемом промежутке $[-4,-2]$ (ведь $-\frac{15}{4}=-3,75$ и $-3$), поэтому оба являются корнями. Проверка подстановкой: при $x=-3$ имеем $3\sqrt{1}=3$ и $5-2\cdot 1=3\text{;}$ при $x=-\frac{15}{4}$ имеем $3\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}$ и $5-2\cdot \frac{7}{4}=\frac{3}{2}\text{.}$ Совпадает.

Случай 2: $x⩾-2\text{.}$ Здесь $x+2⩾0\text{,}$ поэтому $|x+2|=x+2\text{,}$ и правая часть равна

$$5-2(x+2)=1-2x.$$

Уравнение принимает вид

$$3\sqrt{x+4}=1-2x.$$

Возводить в квадрат можно лишь при неотрицательной правой части, то есть при $1-2x⩾0\text{,}$ что даёт $x⩽\frac{1}{2}\text{.}$ Итак, в этом случае допустимы $x\in [-2,\frac{1}{2}]\text{.}$ Возводим в квадрат:

$$9(x+4)=(1-2x{)}^2,9x+36=4x^2-4x+1,$$ $$4x^2-13x-35=0.$$

Дискриминант $D=13^2+4\cdot 4\cdot 35=169+560=729=27^2\text{,}$ откуда

$$x=\frac{13\pm 27}{8},x_3=\frac{40}{8}=5,x_4=\frac{-14}{8}=-\frac{7}{4}.$$

Корень $x=5$ посторонний: он не попадает в промежуток $[-2,\frac{1}{2}]\text{,}$ и формально $1-2\cdot 5=-9<0$ не может равняться неотрицательной левой части. Корень $x=-\frac{7}{4}=-1,75$ лежит в $[-2,\frac{1}{2}]$ и потому годится. Проверка подстановкой: при $x=-\frac{7}{4}$ имеем $3\sqrt{\frac{9}{4}}=3\cdot \frac{3}{2}=\frac{9}{2}$ и $1-2\cdot (-\frac{7}{4})=1+\frac{7}{2}=\frac{9}{2}\text{.}$ Совпадает.

Объединение. Из двух случаев получаем три корня:

$$\boxed{x=-\frac{15}{4},x=-3,x=-\frac{7}{4}.}$$

Замечание. Корень $x=-\frac{7}{4}$ — это точка касания графиков $y=3\sqrt{x+4}$ и $y=5-2|x+2|$ (правая часть на луче $x⩾-2$ убывает вдвое быстрее, чем растёт левая, и линии касаются), поэтому он легко теряется при «грубом» отсеивании; именно поэтому важно аккуратно проводить разбор по случаям и проверку.