Решить уравнение 3sqrt(x+4)=5-2|x+2|.

Решаем уравнение 3sqrt(x+4)=5-2|x+2|. **Область определения.** Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: x+4 0 x -4. Поэтому далее рассматриваем только x -4. **Необходимое условие на знак правой части.** Левая часть 3sqrt(x+4) 0 при всех допустимых x. Значит, корень возможен лишь там, где правая часть тоже неотрицательна: 5-2|x+2| 0 |x+2| (5)/(2) -(9)/(2) x (1)/(2). Это условие мы будем явно проверять при отсеивании посторонних корней. Модуль |x+2| раскрывается по-разному в зависимости от знака x+2, поэтому разбиваем задачу на два случая. **Случай 1: -4 x -2.** Здесь x+2 0, поэтому |x+2|=-(x+2), и правая часть равна 5-2(-(x+2))=5+2(x+2)=2x+9. Уравнение принимает вид 3sqrt(x+4)=2x+9. На отрезке [-4,-2] правая часть 2x+9 меняется от 1 до 5, то есть всюду положительна, так что условие неотрицательности правой части выполнено автоматически. Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат равносильно: 9(x+4)=(2x+9)^2, 9x+36=4x^2+36x+81, 4x^2+27x+45=0. Дискриминант D=27^2-4*4*45=729-720=9, откуда x=(-27+- 3)/(8), x_1=(-24)/(8)=-3, x_2=(-30)/(8)=-(15)/(4). Оба числа лежат в рассматриваемом промежутке [-4,-2] (ведь -(15)/(4)=-3,75 и -3), поэтому оба являются корнями. Проверка подстановкой: при x=-3 имеем 3sqrt(1)=3 и 5-2*1=3; при x=-(15)/(4) имеем 3sqrt(14)=32 и 5-2*74=32. Совпадает. **Случай 2: x -2.** Здесь x+2 0, поэтому |x+2|=x+2, и правая часть равна 5-2(x+2)=1-2x. Уравнение принимает вид 3sqrt(x+4)=1-2x. Возводить в квадрат можно лишь при неотрицательной правой части, то есть при 1-2x 0, что даёт x 12. Итак, в этом случае допустимы xin[-2,12]. Возводим в квадрат: 9(x+4)=(1-2x)^2, 9x+36=4x^2-4x+1, 4x^2-13x-35=0. Дискриминант D=13^2+4*4*35=169+560=729=27^2, откуда x=(13+- 27)/(8), x_3=(40)/(8)=5, x_4=(-14)/(8)=-(7)/(4). Корень x=5 посторонний: он не попадает в промежуток [-2,12], и формально 1-2*5=-9<0 не может равняться неотрицательной левой части. Корень x=-74=-1,75 лежит в [-2,12] и потому годится. Проверка подстановкой: при x=-74 имеем 3sqrt(94)=3*32=92 и 1-2*(-74)=1+72=92. Совпадает. **Объединение.** Из двух случаев получаем три корня: x=-(15)/(4), x=-3, x=-(7)/(4). Замечание. Корень x=-74 — это точка касания графиков y=3sqrt(x+4) и y=5-2|x+2| (правая часть на луче x -2 убывает вдвое быстрее, чем растёт левая, и линии касаются), поэтому он легко теряется при «грубом» отсеивании; именно поэтому важно аккуратно проводить разбор по случаям и проверку.

\(-\dfrac{15}{4};\ -3;\ -\dfrac{7}{4}\)