Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Мехмат МГУ (архив)
В круге радиуса 1 проведены хорды AB=2 и BC=710. Найти площадь части круга, лежащей внутри угла ABC, если угол BAC острый.
Пусть O — центр окружности радиуса R=1, а A, B, C — концы данных хорд: AB=2, BC=710. Точки A, B, C лежат на окружности, поэтому они образуют вписанный в неё треугольник ABC, и нам нужна площадь той части круга, которая лежит внутри угла ABC (угол с вершиной B, образованный лучами BA и BC).
Углы треугольника. По теореме синусов для вписанного треугольника каждая сторона равна 2R на синус противолежащего угла; при R=1 сторона равна удвоенному синусу противолежащего угла.
Сторона BC лежит против угла A=∠BAC:
BC=2sinA⟹sinA=2BC=21⋅710=75.По условию угол BAC острый, поэтому из двух решений берём
∠BAC=arcsin75,cosA=1−4925=726.Сторона AB лежит против угла C=∠ACB:
AB=2sinC⟹sinC=2AB=22⟹∠ACB=4π или 43π.Если бы ∠ACB=43π, то ∠ABC=π−∠BAC−∠ACB=4π−arcsin75<0, что невозможно. Значит, однозначно
∠ACB=4π.Тогда третий угол
∠ABC=π−∠BAC−∠ACB=π−arcsin75−4π=43π−arcsin75.Численно ∠ABC≈89,42∘ — острый, всё согласовано.
Что входит в искомую область. Лучи BA и BC — это хорды, разрезающие круг. Внутри угла ABC (его раствор меньше 180∘) лежит, во-первых, весь треугольник ABC, а во-вторых — круговой сегмент, отсекаемый хордой AC и расположенный по другую сторону от AC, чем вершина B (то есть сегмент, опирающийся на дугу AC, не содержащую B). Сегменты же, отсекаемые хордами AB и BC, целиком лежат вне угла (по внешнюю сторону от соответствующих лучей), поэтому в площадь не входят. Таким образом,
S=S△ABC+Sсегм AC.Площадь треугольника.
S△ABC=21AB⋅BC⋅sin∠ABC.Так как ∠ABC=π−(∠BAC+4π), то sin∠ABC=sin(arcsin75+4π):
sin∠ABC=sinAcos4π+cosAsin4π=22(75+726)=142(5+26).Следовательно,
S△ABC=21⋅2⋅710⋅142(5+26)=4910(5+26)⋅11⋅11=4925+49106.Площадь сегмента над AC. Центральный угол, опирающийся на хорду AC, вдвое больше вписанного угла ∠ABC, который на эту хорду опирается:
φ=2∠ABC=2(43π−arcsin75)=23π−2arcsin75.Численно φ≈178,83∘<180∘, поэтому это центральный угол как раз дуги AC, не содержащей B, и площадь соответствующего сегмента при R=1 равна
Sсегм AC=21(φ−sinφ).Найдём sinφ. Поскольку φ=23π−2arcsin75, имеем
sinφ=sin(23π−2A)=−cos2A=−(1−2sin2A)=−(1−4950)=491.Тогда
Sсегм AC=21(23π−2arcsin75−491)=43π−arcsin75−981.Сложение.
S=(4925+49106)+(43π−arcsin75−981).Постоянные слагаемые: 4925−981=9850−981=9849=21. Окончательно
S=21+49106+43π−arcsin75≈2,560.Это совпадает с официальным ответом.