В круге радиуса 1 проведены хорды AB=sqrt(2) и BC=(10)/(7). Найти площадь части круга, лежащей внутри угла ABC, если угол BAC острый.

Пусть O — центр окружности радиуса R=1, а A, B, C — концы данных хорд: AB=sqrt(2), BC=(10)/(7). Точки A, B, C лежат на окружности, поэтому они образуют вписанный в неё треугольник ABC, и нам нужна площадь той части круга, которая лежит внутри угла ABC (угол с вершиной B, образованный лучами BA и BC). **Углы треугольника.** По теореме синусов для вписанного треугольника каждая сторона равна 2R на синус противолежащего угла; при R=1 сторона равна удвоенному синусу противолежащего угла. Сторона BC лежит против угла A= BAC: BC=2sin A sin A=(BC)/(2)=(1)/(2)*(10)/(7)=(5)/(7). По условию угол BAC острый, поэтому из двух решений берём BAC=arcsin(5)/(7), cos A=sqrt(1-(25)/(49))=(2sqrt(6))/(7). Сторона AB лежит против угла C= ACB: AB=2sin C sin C=(AB)/(2)=(sqrt(2))/(2) ACB=(pi)/(4) или (3pi)/(4). Если бы ACB=(3pi)/(4), то ABC=pi- BAC- ACB=(pi)/(4)-arcsin(5)/(7)<0, что невозможно. Значит, однозначно ACB=(pi)/(4). Тогда третий угол ABC=pi- BAC- ACB=pi-arcsin(5)/(7)-(pi)/(4)=(3pi)/(4)-arcsin(5)/(7). Численно ABC~ 89,42^ — острый, всё согласовано. **Что входит в искомую область.** Лучи BA и BC — это хорды, разрезающие круг. Внутри угла ABC (его раствор меньше 180^) лежит, во-первых, весь треугольник ABC, а во-вторых — круговой сегмент, отсекаемый хордой AC и расположенный по другую сторону от AC, чем вершина B (то есть сегмент, опирающийся на дугу AC, не содержащую B). Сегменты же, отсекаемые хордами AB и BC, целиком лежат вне угла (по внешнюю сторону от соответствующих лучей), поэтому в площадь не входят. Таким образом, S=S_( ABC)+S_(сегм AC). **Площадь треугольника.** S_( ABC)=(1)/(2)AB* BC*sin ABC. Так как ABC=pi-( BAC+(pi)/(4)), то sin ABC=sin(arcsin(5)/(7)+(pi)/(4)): sin ABC=sin Acos(pi)/(4)+cos Asin(pi)/(4)=(sqrt(2))/(2)((5)/(7)+(2sqrt(6))/(7))=(sqrt(2)(5+2sqrt(6)))/(14). Следовательно, S_( ABC)=(1)/(2)*sqrt(2)*(10)/(7)*(sqrt(2)(5+2sqrt(6)))/(14)=(10(5+2sqrt(6)))/(49)*(1)/(1)*(1)/(1)=(25)/(49)+(10sqrt(6))/(49). **Площадь сегмента над AC.** Центральный угол, опирающийся на хорду AC, вдвое больше вписанного угла ABC, который на эту хорду опирается: =2 ABC=2((3pi)/(4)-arcsin(5)/(7))=(3pi)/(2)-2arcsin(5)/(7). Численно ~ 178,83^<180^, поэтому это центральный угол как раз дуги AC, не содержащей B, и площадь соответствующего сегмента при R=1 равна S_(сегм AC)=(1)/(2)(-sin). Найдём sin. Поскольку =(3pi)/(2)-2arcsin(5)/(7), имеем sin=sin((3pi)/(2)-2A)=-cos 2A=-(1-2sin^2A)=-(1-(50)/(49))=(1)/(49). Тогда S_(сегм AC)=(1)/(2)((3pi)/(2)-2arcsin(5)/(7)-(1)/(49))=(3pi)/(4)-arcsin(5)/(7)-(1)/(98). **Сложение.** S=((25)/(49)+(10sqrt(6))/(49))+((3pi)/(4)-arcsin(5)/(7)-(1)/(98)). Постоянные слагаемые: (25)/(49)-(1)/(98)=(50)/(98)-(1)/(98)=(49)/(98)=(1)/(2). Окончательно S=(1)/(2)+(10sqrt(6))/(49)+(3pi)/(4)-arcsin(5)/(7)~ 2,560. Это совпадает с официальным ответом.

\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{10\sqrt{6}}{49}+\dfrac{3\pi}{4}-\arcsin\dfrac{5}{7}\)