Задача №18075

Найти наибольшее значение объёма пирамиды $SABC$ при следующих ограничениях

$$SA⩽4,SB⩾7,SC⩾9,AB=5,BC⩽6,AC⩽8.$$

Обозначим объём пирамиды через $V\text{.}$ Возьмём в качестве основания грань $SAB\text{,}$ а вершину $C$ будем считать «верхней». Тогда

$$V=\frac{1}{3}[SAB]\cdot h,$$

где $[SAB]$ — площадь треугольника $SAB\text{,}$ а $h$ — расстояние от точки $C$ до плоскости этого треугольника. Оценим оба сомножителя по отдельности.

Оценка высоты $h\text{.}$ Точка $B$ лежит в плоскости $SAB\text{,}$ поэтому расстояние от $C$ до этой плоскости не превосходит длины наклонной $CB\text{:}$

$$h\le BC\le 6.$$

Равенство $h=6$ достигается, когда отрезок $BC$ перпендикулярен плоскости $SAB$ и имеет наибольшую допустимую длину $BC=6\text{.}$

Оценка площади $[SAB]\text{.}$ В треугольнике $SAB$ сторона $AB=5$ фиксирована, а на две другие наложены условия $SA\le 4$ и $SB\ge 7\text{.}$ Опустим из $S$ перпендикуляр на прямую $AB\text{;}$ пусть его длина равна $y(y\ge 0)\text{,}$ а основание перпендикуляра имеет на прямой $AB$ координату $t\text{,}$ отсчитываемую от $A$ (точка $A$ — это $t=0\text{,}$ точка $B$ — это $t=5$). Тогда

$$S{A}^2=t^2+y^2\le 16,S{B}^2=(t-5{)}^2+y^2\ge 49,$$

а площадь равна $[SAB]=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot y=\frac{5}{2}y\text{,}$ так что нужно максимизировать $y\text{.}$

Из первого неравенства $y^2\le 16-t^2\text{;}$ чтобы $y$ было как можно больше, возьмём $y^2=16-t^2$ (то есть $SA=4$). Подставляя это во второе неравенство, получаем условие на $t\text{:}$

$$(t-5{)}^2+(16-t^2)\ge 49⟹-10t+25+16\ge 49⟹-10t\ge 8⟹t\le -\frac{4}{5}.$$

Величина $y^2=16-t^2$ тем больше, чем меньше $|t|\text{;}$ при допустимых $t\le -\frac{4}{5}$ наименьшее значение $|t|$ равно $\frac{4}{5}\text{.}$ Значит максимум достигается при $t=-\frac{4}{5}\text{,}$ и тогда

$$y^2=16-\frac{16}{25}=\frac{384}{25},[SAB]=\frac{5}{2}y=\frac{5}{2}\sqrt{\frac{384}{25}}=\frac{1}{2}\sqrt{384}=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{6}=4\sqrt{6}.$$

(К тому же значению приводит формула Герона: при $SA=4,AB=5,SB=7$ полупериметр равен $8\text{,}$ и $[SAB]=\sqrt{8\cdot 4\cdot 3\cdot 1}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\text{.}$) Итак,

$$[SAB]\le 4\sqrt{6}.$$

Оценка объёма. Перемножая независимые оценки, получаем

$$V=\frac{1}{3}[SAB]\cdot h\le \frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{6}\cdot 6=8\sqrt{6}.$$

Достижимость. Осталось проверить, что значение $8\sqrt{6}$ действительно достигается с выполнением всех шести условий (включая ещё не использованные $SC\ge 9$ и $AC\le 8$). Поместим плоскость $SAB$ в координатную плоскость $z=0$ и возьмём

$$A=(0,0,0),B=(5,0,0),S=\left(-\frac{4}{5},\frac{\sqrt{384}}{5},0\right),C=(5,0,6).$$

Прямое вычисление даёт

$$SA=4,SB=7,AB=5,BC=6,AC=\sqrt{61}\approx 7,81,SC=\sqrt{85}\approx 9,22.$$

Все ограничения выполнены: $SA=4\le 4\text{,}$ $SB=7\ge 7\text{,}$ $SC=\sqrt{85}\ge 9$ (так как $85\ge 81$), $AB=5\text{,}$ $BC=6\le 6\text{,}$ $AC=\sqrt{61}\le 8$ (так как $61\le 64$). При этом отрезок $BC$ перпендикулярен плоскости $SAB\text{,}$ поэтому $h=BC=6\text{,}$ а площадь основания равна $4\sqrt{6}\text{.}$ Объём этой пирамиды

$$V=\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{6}\cdot 6=8\sqrt{6}.$$

Поскольку верхняя оценка $V\le 8\sqrt{6}$ достигается, наибольшее значение объёма равно

$$\boxed{V_{\max }=8\sqrt{6}}.$$