Найти наибольшее значение объёма пирамиды SABC при следующих ограничениях SA 4, SB 7, SC 9, AB=5, BC 6, AC 8.

Обозначим объём пирамиды через V. Возьмём в качестве основания грань SAB, а вершину C будем считать «верхней». Тогда V=(1)/(3)[SAB]* h, где [SAB] — площадь треугольника SAB, а h — расстояние от точки C до плоскости этого треугольника. Оценим оба сомножителя по отдельности. **Оценка высоты h.** Точка B лежит в плоскости SAB, поэтому расстояние от C до этой плоскости не превосходит длины наклонной CB: h<= BC<= 6. Равенство h=6 достигается, когда отрезок BC перпендикулярен плоскости SAB и имеет наибольшую допустимую длину BC=6. **Оценка площади [SAB].** В треугольнике SAB сторона AB=5 фиксирована, а на две другие наложены условия SA<= 4 и SB>= 7. Опустим из S перпендикуляр на прямую AB; пусть его длина равна y (y0), а основание перпендикуляра имеет на прямой AB координату t, отсчитываемую от A (точка A — это t=0, точка B — это t=5). Тогда SA^2=t^2+y^2<= 16, SB^2=(t-5)^2+y^2>= 49, а площадь равна [SAB]=12* AB* y=(5)/(2)y, так что нужно максимизировать y. Из первого неравенства y^2<= 16-t^2; чтобы y было как можно больше, возьмём y^2=16-t^2 (то есть SA=4). Подставляя это во второе неравенство, получаем условие на t: (t-5)^2+(16-t^2)>= 49 -10t+25+16>= 49 -10t>= 8 t<=-(4)/(5). Величина y^2=16-t^2 тем больше, чем меньше |t|; при допустимых t<=-45 наименьшее значение |t| равно 45. Значит максимум достигается при t=-(4)/(5), и тогда y^2=16-(16)/(25)=(384)/(25), [SAB]=(5)/(2)y=(5)/(2)sqrt((384)/(25))=(1)/(2)sqrt(384)=(1)/(2)* 86=46. (К тому же значению приводит формула Герона: при SA=4, AB=5, SB=7 полупериметр равен 8, и [SAB]=sqrt(8* 4* 3* 1)=sqrt(96)=46.) Итак, [SAB]<= 46. **Оценка объёма.** Перемножая независимые оценки, получаем V=13[SAB]* h<=13* 46* 6=86. **Достижимость.** Осталось проверить, что значение 86 действительно достигается с выполнением всех шести условий (включая ещё не использованные SC9 и AC8). Поместим плоскость SAB в координатную плоскость z=0 и возьмём A=(0,0,0), B=(5,0,0), S=(-(4)/(5), (sqrt(384))/(5), 0), C=(5,0,6). Прямое вычисление даёт SA=4, SB=7, AB=5, BC=6, AC=sqrt(61)~7,81, SC=sqrt(85)~9,22. Все ограничения выполнены: SA=44, SB=77, SC=sqrt(85)9 (так как 8581), AB=5, BC=66, AC=sqrt(61)8 (так как 6164). При этом отрезок BC перпендикулярен плоскости SAB, поэтому h=BC=6, а площадь основания равна 46. Объём этой пирамиды V=13* 46* 6=86. Поскольку верхняя оценка V<= 86 достигается, наибольшее значение объёма равно V_()=86.

\(8\sqrt{6}\)